Нецелая размерность фракталов

Сегодня поговорим о том, про что уже давно было пора — про фракталы. Потому что, во-первых, это красиво! А во-вторых — очень увлекательно.

Начнём с определения (одного из): фрактал — это бесконечная самоподобная фигура. Представьте, что у вас есть дерево, каждая веточка которого — точная уменьшенная копия этого дерева, сколько ни зумь! Но это в теории. В реальности же фракталы не столь идеальны и уж точно не всегда бесконечны.

Занимательный факт про фракталы: у них нецелая размерность. Что это значит?
Давайте сравним фракталы с одномерными, двумерными и трёхмерными фигурами. Представим, что эти фигуры сделаны из железа и обладают массой — она будет нам важна.

Начнём с одномерного отрезка. Что его одномерность значит с математической точки зрения? Пусть тонкий железный прут длины 1 имеет некую массу x, тогда такой же прут длины 2 имеет массу в 2 раза больше. Во сколько раз увеличилась длина — во столько же и масса.

Теперь возьмём тонкую квадратную пластину, она двумерна. Если мы увеличим сторону квадрата в 2 раза, то его площадь увеличится в 4 раза. И масса пластины, как следствие, тоже увеличится в 4 раза.

Затем возьмём железный кубик, он трёхмерный. При увеличении его ребра в 2 раза, объём увеличится в 8 раз, поэтому масса тоже увеличится в 8.

Каждый раз при увеличении ребра фигуры в 2 раза, масса увеличивалась в 2^{размерность фигуры} раз. У отрезка в 2¹, у квадрата в 2², у кубика в 2³. Во всех случаях показатели степени были целыми числами. А в какую степень придётся возводить для получения массы нового фрактала? В каждом случае будет свой ответ, сегодня рассмотрим один известный.

Знакомьтесь, на иллюстрации — треугольник Серпинского. Этот фрактал строят так:
- из закрашенного треугольника выкидывают «серединку» в виде перевёрнутого в два раза меньшего треугольника;
- потом из трёх оставшихся кусочков тоже выкидывают треугольные перевёрнутые «серединки» — и так бесконечное число раз. 😅

Представим, что нам как-то удалось смастерить из железной пластинки такой фрактал. Пусть сторона треугольника Серпинского равна 1, а его масса равна x. Чему будет равна масса такого треугольника со стороной 2? Посмотрите на иллюстрацию к посту.
На ней хорошо видно, что чтобы получить новый треугольник, надо объединить три одинаковых исходных треугольника. Получится один большой — тоже без серединки. Значит, и масса возрастёт в 3 раза. Не в 2, не в 4, не в 8, а в 3. Но ведь 3 — это не степень двойки…
Ага, 3=2^{log₂3} — в показателе стоит логарифм числа 3 по основанию 2. И именно числу log₂3 равна размерность данного фрактала. Она нецелая и примерно равна 1.585.

Вот такие пирожки с фракталами. Если интересно и хотите ещё про них — вот отличное видео.

Заходит как-то бесконечное число математиков в бар. Первый просит кружку… скажем, яблочного сока. Второй — половину кружки. Третий просит четверть кружки. Бармен решил с этим не разбираться, налил им две кружки на всех и пошел обслуживать других клиентов.

К чему был этот математический анекдот? К теме нашего сегодняшнего поста — ряды или, как их ещё называют, бесконечные суммы. Когда мы хотим найти сумму двух, трех, четырех, … — в общем, конечного числа слагаемых, все понятно: берём числа, по очереди прибавляем, ничего необычного. А что делать, если слагаемых бесконечное количество? Как посчитать их сумму? Так вообще можно делать? Давайте разбираться.

Сегодня поговорим про два ряда: тот, что из анекдота и ещё один — он называется гармоническим.
Кстати, название «гармонический» пришло в математику из музыки — такое вот смешение наук!

Для обозначения длинных сумм используется заглавная греческая буква сигма, Σ. Наверняка такую запись вы уже видели: под сигмой записана нижняя граница (в данном случае, 0 или 1) над сигмой — верхняя, (в данном случае это ∞), а правее указан общий вид слагаемых.

Кажется, что сумма бесконечного числа слагаемых всегда будет бесконечной — зачем вообще заниматься такими штуками? На самом деле, всё не так просто. Даже если рассматривать только ряды с положительными слагаемыми, будет много случаев, когда в итоге получится вполне конечная сумма — про такие ряды говорят, что они сходятся. Вернёмся к анекдоту из начала: можно заметить, что каждое следующее число было в два раза меньше предыдущего: 1, 1/2, 1/4, ….

Если просуммировать все эти числа (которых бесконечное количество!), то получится ровно 2. Есть разные доказательства этого факта, вот, например, видео, где приведены алгебраическое и геометрическое. Там правда рассматривают ряд, который начинается не с 1, а сразу с 1/2 — но и ответ на единичку меньше, так что всё в порядке.
Вот мы и нашли бесконечный ряд, сумма которого — не бесконечность!

А теперь посмотрим на очень похожую, на первый взгляд, сумму: сначала возьмём 1, потом 1/2, 1/3, 1/4 и так далее — в знаменатель последовательно ставим все натуральные числа. Сходится ли такой ряд? На самом деле, нет: начиная с какого-то момента сумма этого ряда будет больше любого числа, какое бы мы ни выбрали.
Поверить в это сложно, ведь ряд растёт ну ооочень медленно: чтобы получить суммарный результат больше 100, нужно взять примерно 10⁴⁴ слагаемых. 😅

Классическое доказательство расходимости гармонического ряда приведём в комментариях, заглядывайте!

Примечательно, что если бы числа в знаменателе были возведены в какую-то степень, большую 1 (подойдет даже степень 1.1), то ряд бы сошёлся — но это уже совсем другая история. ☺️

Сложные раскраски

В январе мы рассказывали вам про теорему о четырёх красках и предлагали раскрасить ёлочку. Сегодня продолжим и снова предложим порисовать.

В Америке с 19 века и по сей день выпускается научно-популярный журнал Scientific American. В него писал заметки математик-любитель Мартин Гарднер, великий популярзатор. Вы можете знать его по комментариям к Кэрролловской «Алисе», но его вклад в математику поистине огромен: своими статьями он взрастил интерес к науке у целого поколения читателей. Его заметки выходили на протяжении 25 лет.

Гарднер был большим фанатом теоремы о четырёх красках, у него даже есть фантастический рассказ «Остров пяти красок». Однажды в качестве первоапрельской шутки он опубликовал в журнале карту, которую якобы нельзя раскрасить лишь в 4 цвета. На самом деле, конечно, можно, хоть задачка эта и не из простых. Предлагаем вам раскрасить её и другие карты на сайте «Математических Этюдов». Там вас ждут пять несложных карт, затем та самая от Мартина Гарднера, и потом ещё одна — карта звёздного неба. Рекомендуем раскрашивать с компьютера.

Присылайте свои варианты последних двух карт в комментарии (картинки тоже можно прятать под спойлер) — потом сравним результаты. :)

Другой взгляд на векторы

Выходя из дома, вы делаете выбор, в какую сторону пойти. С точки зрения ног разницы, куда идти, нет. С точки зрения конечной цели — ещё какая. Чтобы дойти из пункта A в пункт B, нужно определить не только длину маршрута, но и его направление. В математике за это отвечают векторы.

В частности, в геометрии вектором называют направленный отрезок, для которого известно, где его начало, а где конец. Такое представление о векторах вам, скорее всего, хорошо знакомо. Для обозначения вектора используют латинские буквы со стрелочкой над ними: либо одной строчной a, либо двумя заглавными AB, где первая буква означает начало, вторая конец. В отличие от отрезков, AB и BA — это разные векторы.

Итак, вы стоите в пункте A. Как и любое другое место на плоскости или другой двумерной поверхности, его можно описать с помощью координат. Пункт B — другое место со своим набором координат. А разность координат этих двух точек — это координаты вектора AB. В некотором смысле, координаты вектора — это рассказ о том, чего этот вектор «добился»: куда и насколько сильно его конечная точка сместилась относительно начальной. Значит, вектор AB — это ещё и набор чисел, который описывает ваш путь.

Так мы получаем ещё одно определение вектора. В алгебре вектор — это упорядоченный набор числовых данных, например: (5, 7, 18). Этими данными может быть что угодно: и координаты Марса в космосе, и время будильников, и оценки по математике, и закодированные с помощью чисел слова из отзывов на плюшевого мишку. Любая информация кодируется в наборы чисел — то есть в векторы.

Почему же векторы так удобны? Во-первых, превращение данных в наборы чисел позволяет структурировать информацию. А во-вторых — с ними можно выполнять различные математические операции: складывать, вычитать, умножать, находить их длину и расстояние между разными векторами. Это бывает полезно. :)

Именно поэтому векторы лежат в основе всего анализа данных! А про операции с векторами мы ещё поговорим в следующих постах.
С вами была рубрика #объясняем_школьное

Когда мы имеем дело с обыкновенными дробями, в числителе и знаменателе часто получаются очень большие числа, с которыми не очень удобно работать. На помощь приходит основное свойство дроби: числитель и знаменатель можно разделить на одно и то же число, тогда дробь упростится, а значение её не изменится.

Но как узнать, на что можно сократить нацело? На помощь приходит наибольший общий делитель этих чисел, или, сокращенно, НОД.

Есть довольно много способов найти НОД, сегодня мы разберем довольно простой и, на первый взгляд, магический способ: алгоритм Евклида.

Работает этот алгоритм так:
1) Пусть есть два числа, a и b, причем a<b, и мы хотим посчитать НОД(a, b). Посчитаем значение b-a, пусть оно равняется числу r. Алгоритм утверждает, что НОД(a, b) = НОД(a, r).
2) Дальше поступаем аналогичным образом: из большего числа вычитаем меньшее, и заменяем большее число на эту разность.
3) Остановиться нужно в тот момент, когда одно из чисел будет нацело делиться на другое — вот меньшее из этих двух и будет являться НОДом для исходной пары чисел.

На словах сложновато, давайте рассмотрим пример. Каждый раз заменяем большее число на разность.
НОД(1955, 714) = НОД(1241, 714) = НОД(527, 714) = НОД(527, 187) = НОД(340, 187) = НОД(153, 187) = НОД(153, 34) = НОД(119, 34) = НОД(85, 34) = НОД(51, 34) = НОД(17, 34) = 17. И действительно, 1955 = 5*17*23, а 714 = 2*3*7*17.

Но как же это работает? У каждого числа существует разложение на простые множители. Мы его тут явно не используем, но оно есть. Давайте скажем, что у чисел a и b наибольший общий делитель равен k. Тогда пусть a=k*x, b=k*y. Если b-a=r, то можно выразить r так: r = k*y - k*x = k*(y-x). Получается, при такой операции мы сохраняем НОД чисел в качестве одного из множителей на каждом шаге. А вот разность y-x дойдёт до нуля, просто мы заканчиваем алгоритм раньше.

Этот алгоритм работает не только для пар чисел: если их больше, то можно вычислить НОД первых двух, а потом НОД первого НОДа и третьего числа — и так далее.
На прикладном уровне это нужно, к примеру, для решения диофантовых уравнений, а также для цепных дробей. А они используются в криптографических алгоритмах: защищают данные вашей банковской карты и фотографии в смартфоне. Про цепные дроби мы ещё расскажем подробнее.

Задачка для вас — посчитать НОД(3105, 2254). Ответы пишите в комментарии под скрытым текстом.

Друзья, у нас отличные новости! 🎉

С 15 мая по 30 мая мы запускаем бесплатный марафон по математике для подписчиков нашего канала. Это значит, что в течение двух недель у вас будет возможность в интенсивном режиме проходить задания тренажёра — с поддержкой наших преподавателей и в классной компании!

Это отличный способ получить мотивацию для изучения новых тем, если вы ещё не знакомы с тренажёром по основам математики для цифровых профессий, сомневаетесь в своих знаниях и хотите подтянуть их для использования в таких областях, как анализ данных.

На марафоне мы рассмотрим тему множеств, комбинаторику и теорию вероятностей в базовом понимании. Правда, если вы уже хорошо в них ориентируетесь, или проходили уроки из тренажёра «Основы математики для цифровых профессий», модуля «Спецкурс для аналитиков», много нового, возможно, на марафоне вы не узнаете. 🧠

Каждый день, включая выходные, вы будете проходить по одному уроку в специальном тренажёре. Участие потребует примерно 1,5 часа свободного времени каждый день. Отложить уроки на потом не получится — если вы не успеете в один день сделать урок, марафон придётся покинуть. Участникам марафона можно будет делиться ходом решения задач в чате, а команда преподавателей и куратор будут помогать вам на всех этапах.

Во время марафона мы проведём несколько закрытых эфиров с разбором тем, и участники смогут задавать вопросы по урокам. Отвечать будут наши преподаватели, которые занимались составлением тренажёра. Самые упорные участники, которые пройдут марафон до конца, получат скидку на курсы по математике и анализу данных. 🏆

Хотите участвовать? Оставьте свои контакты в форме для сбора заявок. И мы добавим вас в закрытую группу для участников марафона.

Недавно мы говорили про алгоритм Евклида, который используется для поиска наибольшего общего делителя. Сегодня расскажем вам про концепцию, которая появилась как раз благодаря этому алгоритму.
Давайте для начала немного переформулируем сам алгоритм. Для этого заметим такой факт: если мы вычитаем из числа b число a n раз, пока не получится, что 0<b-n*a<a, то фактически мы находим остаток при делении числа b на число a:
b = n*a + r.

Итак, предположим, что мы хотим найти наибольший общий делитель двух чисел a и b, где a<b.

1. Если b делится на a без остатка, то наибольший общий делитель равен a.
2. Если нет, то мы делим b на a с остатком и получаем новую пару чисел (a, r), где r — это остаток от деления b на a.
3. Затем мы повторяем шаги 1 и 2 для пары (a, r).
4. Процесс продолжается до тех пор, пока не получим пару чисел (d, 0), где d — это наибольший общий делитель.

Попробуем применить алгоритм Евклида для чисел a=5 и b=8:
8 = 5*1 + 3
5 = 3*1 + 2
3 = 2*1 + 1
2 = 1*2

А теперь разделим первую строку на a, вторую на r₁ (оно равно 3),третью строку разделим на r₂=2, а четвертую — на r₃=1. Получим:
8/5 = 1 + 3/5
5/3 = 1+2/3
3/2 = 1+1/2
2=2

Оказывается, последнее число в строке всегда равно выражению (1 / первое число в следующей строке). Тогда можно постепенно сократить записанное:
8/5 = 1 + 3/5, 5/3 = 1 + 1/(1 + 1/2) ⇒
8/5 = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/2)).
Обычно это выражение записывают как многоэтажную дробь.

Такое представление называется непрерывная дробь или цепная дробь — и действительно, итоговую дробь мы получили, как бы собирая по цепочке все промежуточные результаты.
Через цепную дробь можно выразить любое(!) действительное число, но для рациональных чисел последовательность дробей будет конечной, а вот для иррациональных — бесконечной.

Цепную дробь вида a₁ + 1/(a₂+1/(a₃+...)) можно коротко записать так: [a₁; a₂, a₃, a₄, ...] — гораздо более читаемая и компактная запись.

С помощью цепных дробей можно находить достаточно точные приближения иррационалных чисел: например, если рассмотреть всего лишь первые два символа бесконечной цепной дроби, которая равняется числу π (то есть, дробь [3; 7]), получится число 22/7, которое приближает первые три знака числа π — достаточно хорошая точность.

Приближения иррациональных чисел — не единственная задача, с которой помогают цепные дроби. Они применяются в комплексном анализе и в криптографии. Одним словом, полезная и красивая вещь!

Чтобы закрепить, предлагаем вам посчитать представление двух рациональных чисел в виде цепных дробей: 415/93 и 740785/516901. Ответы, как всегда, ждём в комментариях под скрытым текстом.