Решение, которое стало популярным, предложил картограф Герард Меркатор. Он спроецировал сферу на цилиндр, после чего «разрезал» цилиндр по вертикали, применил некоторые преобразования и получил карту. У этой модели есть достоинства, которые есть далеко не у всех других карт:
- формы стран соответствуют реальным;
- углы между объектами тоже сохраняются. Если мы соединим две точки линией и пойдём по компасу в полученном направлении, то в итоге доберёмся туда, куда нужно. До изобретения GPS это было особенно ценно!
Есть у карты Меркатора и недостатки, и они кроются как раз в её неточности. У Земли есть параллели, и они разного диаметра: на экваторе — длиннее, на полюсе — короче. Когда мы преобразуем сферу в цилиндр, то как бы «растягиваем» параллели и делаем их равной длины — как экватор. Вблизи экватора преобразование получается точным, а вот ближе к полюсам сильно искажает размеры.
Поэтому на привычной нам карте Меркатора размеры разных объектов соотносятся не всегда так, как в реальности. Например, Гренландия не больше Австралии, как могло казаться, а наоборот — в несколько раз меньше. В комментариях приложим гифку, на которой площади стран мира уменьшаются до настоящих соотношений.
Ещё одна проблема искажения в проекции Меркатора: если две точки соединить прямой линией, то эта линия окажется не самым коротким путём. Вспомните, как выглядит маршрут самолёта на карте. Это кратчайший путь из возможных, но отображается не как прямая, а как дуга. Самолёт летит над объёмной планетой по Римановской прямой, но проекция Меркатора её искажает.
Конечно, эта проекция — не единственная попытка перенести трёхмерный глобус в плоскость. Есть множество других проекций, каждая из них решает конкретную задачу. Самая точная сейчас — двусторонняя карта, на которой каждое полушарие представлено кругом. Однако самое точное представление о масштабах, формах и маршрутах можно получить только с помощью глобуса.
***
Ещё по теме:
- Подробнее о проекции Меркатора
- Интерактив, на котором можно перетаскивать страны к другим и сравнивать их реальные размеры
- Короткое видео про самую точную карту
- Видео про маршруты самолётов
- Карта маршрутов самолётов
- формы стран соответствуют реальным;
- углы между объектами тоже сохраняются. Если мы соединим две точки линией и пойдём по компасу в полученном направлении, то в итоге доберёмся туда, куда нужно. До изобретения GPS это было особенно ценно!
Есть у карты Меркатора и недостатки, и они кроются как раз в её неточности. У Земли есть параллели, и они разного диаметра: на экваторе — длиннее, на полюсе — короче. Когда мы преобразуем сферу в цилиндр, то как бы «растягиваем» параллели и делаем их равной длины — как экватор. Вблизи экватора преобразование получается точным, а вот ближе к полюсам сильно искажает размеры.
Поэтому на привычной нам карте Меркатора размеры разных объектов соотносятся не всегда так, как в реальности. Например, Гренландия не больше Австралии, как могло казаться, а наоборот — в несколько раз меньше. В комментариях приложим гифку, на которой площади стран мира уменьшаются до настоящих соотношений.
Ещё одна проблема искажения в проекции Меркатора: если две точки соединить прямой линией, то эта линия окажется не самым коротким путём. Вспомните, как выглядит маршрут самолёта на карте. Это кратчайший путь из возможных, но отображается не как прямая, а как дуга. Самолёт летит над объёмной планетой по Римановской прямой, но проекция Меркатора её искажает.
Конечно, эта проекция — не единственная попытка перенести трёхмерный глобус в плоскость. Есть множество других проекций, каждая из них решает конкретную задачу. Самая точная сейчас — двусторонняя карта, на которой каждое полушарие представлено кругом. Однако самое точное представление о масштабах, формах и маршрутах можно получить только с помощью глобуса.
***
Ещё по теме:
- Подробнее о проекции Меркатора
- Интерактив, на котором можно перетаскивать страны к другим и сравнивать их реальные размеры
- Короткое видео про самую точную карту
- Видео про маршруты самолётов
- Карта маршрутов самолётов
❤20👍4
Привет!
Мы знаем, что не у всех в школе сложилось с математикой. Кто-то не понял, как вычислять логарифмы, а кого-то до сих пор с ужасом вспоминает задачи на смеси.
Бывает, осталось неясным, как считать площади разных многоугольников. А кто-то не разобрался, как меняется объём конуса при изменении его высоты.
Если у вас остались непонятки по школьному материалу, напишите нам прямо здесь, в комментариях. А мы объясним (там же или отдельными постами) через что-то милое.
Например, на котиках! Или на пельмешках.
Мы знаем, что не у всех в школе сложилось с математикой. Кто-то не понял, как вычислять логарифмы, а кого-то до сих пор с ужасом вспоминает задачи на смеси.
Бывает, осталось неясным, как считать площади разных многоугольников. А кто-то не разобрался, как меняется объём конуса при изменении его высоты.
Если у вас остались непонятки по школьному материалу, напишите нам прямо здесь, в комментариях. А мы объясним (там же или отдельными постами) через что-то милое.
Например, на котиках! Или на пельмешках.
❤34🥰9👍2
Спасибо вам за отклик под вчерашним постом!
Мы обдумаем, как лучше раскрыть предложенные вами темы: какие-то ответы уложатся в пост, где-то сможем дать ссылки на наши бесплатные уроки, а что-то станет темой вебинара.
В чём есть определённость — благодаря вашим ответам теперь появится постоянная рубрика #объясняем_школьное.
Мы обдумаем, как лучше раскрыть предложенные вами темы: какие-то ответы уложатся в пост, где-то сможем дать ссылки на наши бесплатные уроки, а что-то станет темой вебинара.
В чём есть определённость — благодаря вашим ответам теперь появится постоянная рубрика #объясняем_школьное.
❤🔥24🥰3👍2❤1
Число пи и ваш день рождения
Вокруг числа π ходит так много легенд! Причина понятна — оно является бесконечной непериодической дробью (что уже непросто осознать), но при этом регулярно вылезает в геометрии, теории чисел и вообще почти любой области математики. Людям настолько нравится число π, что у него вычислены уже первые 100 триллионов знаков. Говорят, в нём сокрыт смысл всего мироздания… Насчёт этого не подскажем, но что точно спряталось в знаках после запятой, так это ваш день рождения! Не верите? Всё уже посчитано!
Любой день рождения можно записать в формате шестизначного числа как ДДММГГ. И вот дело в том, что среди уже вычисленных триллионов знаков числа π встречается абсолютно любое шестизначное число. Это узнали скучным перебором (не вручную, конечно). А раз там есть любое шестизначное число — и ваш день рождения тоже найдётся! Узнать, где же именно спрятана ваша знаменательная дата, можно на сайте.
Например, сегодня 12 апреля 2023 года (кстати, с Днём Космонавтики!). Число 120423 находится на позиции номер
734 470 после запятой.
А что будет, если брать не шестизначные числа, а более длинные? Все ли они встретятся среди «хвоста» числа π? Никто не знает — пока не доказано, содержит ли десятичная запись π любое конечное число. Впрочем, не доказано и обратное.
Вокруг числа π ходит так много легенд! Причина понятна — оно является бесконечной непериодической дробью (что уже непросто осознать), но при этом регулярно вылезает в геометрии, теории чисел и вообще почти любой области математики. Людям настолько нравится число π, что у него вычислены уже первые 100 триллионов знаков. Говорят, в нём сокрыт смысл всего мироздания… Насчёт этого не подскажем, но что точно спряталось в знаках после запятой, так это ваш день рождения! Не верите? Всё уже посчитано!
Любой день рождения можно записать в формате шестизначного числа как ДДММГГ. И вот дело в том, что среди уже вычисленных триллионов знаков числа π встречается абсолютно любое шестизначное число. Это узнали скучным перебором (не вручную, конечно). А раз там есть любое шестизначное число — и ваш день рождения тоже найдётся! Узнать, где же именно спрятана ваша знаменательная дата, можно на сайте.
Например, сегодня 12 апреля 2023 года (кстати, с Днём Космонавтики!). Число 120423 находится на позиции номер
734 470 после запятой.
А что будет, если брать не шестизначные числа, а более длинные? Все ли они встретятся среди «хвоста» числа π? Никто не знает — пока не доказано, содержит ли десятичная запись π любое конечное число. Впрочем, не доказано и обратное.
👍36❤10
Привет!
Сегодня в 19:00 состоится разбор задач из первоапрельского квиза. Разбирать их будет Артём, преподаватель курса
«Математика для анализа данных».
Приходите послушать, даже если вы не решали задачи — всегда приятно поговорить о математике. К тому же, Артём классный и понятно объясняет. 😇
Вход по ссылке.
Сегодня в 19:00 состоится разбор задач из первоапрельского квиза. Разбирать их будет Артём, преподаватель курса
«Математика для анализа данных».
Приходите послушать, даже если вы не решали задачи — всегда приятно поговорить о математике. К тому же, Артём классный и понятно объясняет. 😇
Вход по ссылке.
👍15😍3❤2
Есть учёные, которые занимаются математикой из любопытства. Их увлекают теоретические исследования, абстракции и доказательства.
Другие больше интересуются применением математики и моделируют реальные явления математическими инструментами.
Но все вместе они создают огромный математический мир — прекрасный в своём многообразии. 🥰
Посмотрите видео, в котором рассказывают о карте математики, и убедитесь сами. 😇
Всем классных выходных!
Другие больше интересуются применением математики и моделируют реальные явления математическими инструментами.
Но все вместе они создают огромный математический мир — прекрасный в своём многообразии. 🥰
Посмотрите видео, в котором рассказывают о карте математики, и убедитесь сами. 😇
Всем классных выходных!
YouTube
The Map of Mathematics
The entire field of mathematics summarised in a single map! This shows how pure mathematics and applied mathematics relate to each other and all of the sub-topics they are made from.
#mathematics #DomainOfScience
If you would like to buy a poster of this…
#mathematics #DomainOfScience
If you would like to buy a poster of this…
❤22👍7🔥1
Нецелая размерность фракталов
Сегодня поговорим о том, про что уже давно было пора — про фракталы. Потому что, во-первых, это красиво! А во-вторых — очень увлекательно.
Начнём с определения (одного из): фрактал — это бесконечная самоподобная фигура. Представьте, что у вас есть дерево, каждая веточка которого — точная уменьшенная копия этого дерева, сколько ни зумь! Но это в теории. В реальности же фракталы не столь идеальны и уж точно не всегда бесконечны.
Занимательный факт про фракталы: у них нецелая размерность. Что это значит?
Давайте сравним фракталы с одномерными, двумерными и трёхмерными фигурами. Представим, что эти фигуры сделаны из железа и обладают массой — она будет нам важна.
Начнём с одномерного отрезка. Что его одномерность значит с математической точки зрения? Пусть тонкий железный прут длины 1 имеет некую массу x, тогда такой же прут длины 2 имеет массу в 2 раза больше. Во сколько раз увеличилась длина — во столько же и масса.
Теперь возьмём тонкую квадратную пластину, она двумерна. Если мы увеличим сторону квадрата в 2 раза, то его площадь увеличится в 4 раза. И масса пластины, как следствие, тоже увеличится в 4 раза.
Затем возьмём железный кубик, он трёхмерный. При увеличении его ребра в 2 раза, объём увеличится в 8 раз, поэтому масса тоже увеличится в 8.
Каждый раз при увеличении ребра фигуры в 2 раза, масса увеличивалась в 2^{размерность фигуры} раз. У отрезка в 2¹, у квадрата в 2², у кубика в 2³. Во всех случаях показатели степени были целыми числами. А в какую степень придётся возводить для получения массы нового фрактала? В каждом случае будет свой ответ, сегодня рассмотрим один известный.
Сегодня поговорим о том, про что уже давно было пора — про фракталы. Потому что, во-первых, это красиво! А во-вторых — очень увлекательно.
Начнём с определения (одного из): фрактал — это бесконечная самоподобная фигура. Представьте, что у вас есть дерево, каждая веточка которого — точная уменьшенная копия этого дерева, сколько ни зумь! Но это в теории. В реальности же фракталы не столь идеальны и уж точно не всегда бесконечны.
Занимательный факт про фракталы: у них нецелая размерность. Что это значит?
Давайте сравним фракталы с одномерными, двумерными и трёхмерными фигурами. Представим, что эти фигуры сделаны из железа и обладают массой — она будет нам важна.
Начнём с одномерного отрезка. Что его одномерность значит с математической точки зрения? Пусть тонкий железный прут длины 1 имеет некую массу x, тогда такой же прут длины 2 имеет массу в 2 раза больше. Во сколько раз увеличилась длина — во столько же и масса.
Теперь возьмём тонкую квадратную пластину, она двумерна. Если мы увеличим сторону квадрата в 2 раза, то его площадь увеличится в 4 раза. И масса пластины, как следствие, тоже увеличится в 4 раза.
Затем возьмём железный кубик, он трёхмерный. При увеличении его ребра в 2 раза, объём увеличится в 8 раз, поэтому масса тоже увеличится в 8.
Каждый раз при увеличении ребра фигуры в 2 раза, масса увеличивалась в 2^{размерность фигуры} раз. У отрезка в 2¹, у квадрата в 2², у кубика в 2³. Во всех случаях показатели степени были целыми числами. А в какую степень придётся возводить для получения массы нового фрактала? В каждом случае будет свой ответ, сегодня рассмотрим один известный.
✍1🔥1😍1
Знакомьтесь, на иллюстрации — треугольник Серпинского. Этот фрактал строят так:
- из закрашенного треугольника выкидывают «серединку» в виде перевёрнутого в два раза меньшего треугольника;
- потом из трёх оставшихся кусочков тоже выкидывают треугольные перевёрнутые «серединки» — и так бесконечное число раз. 😅
Представим, что нам как-то удалось смастерить из железной пластинки такой фрактал. Пусть сторона треугольника Серпинского равна 1, а его масса равна x. Чему будет равна масса такого треугольника со стороной 2? Посмотрите на иллюстрацию к посту.
На ней хорошо видно, что чтобы получить новый треугольник, надо объединить три одинаковых исходных треугольника. Получится один большой — тоже без серединки. Значит, и масса возрастёт в 3 раза. Не в 2, не в 4, не в 8, а в 3. Но ведь 3 — это не степень двойки…
Ага, 3=2^{log₂3} — в показателе стоит логарифм числа 3 по основанию 2. И именно числу log₂3 равна размерность данного фрактала. Она нецелая и примерно равна 1.585.
Вот такие пирожки с фракталами. Если интересно и хотите ещё про них — вот отличное видео.
- из закрашенного треугольника выкидывают «серединку» в виде перевёрнутого в два раза меньшего треугольника;
- потом из трёх оставшихся кусочков тоже выкидывают треугольные перевёрнутые «серединки» — и так бесконечное число раз. 😅
Представим, что нам как-то удалось смастерить из железной пластинки такой фрактал. Пусть сторона треугольника Серпинского равна 1, а его масса равна x. Чему будет равна масса такого треугольника со стороной 2? Посмотрите на иллюстрацию к посту.
На ней хорошо видно, что чтобы получить новый треугольник, надо объединить три одинаковых исходных треугольника. Получится один большой — тоже без серединки. Значит, и масса возрастёт в 3 раза. Не в 2, не в 4, не в 8, а в 3. Но ведь 3 — это не степень двойки…
Ага, 3=2^{log₂3} — в показателе стоит логарифм числа 3 по основанию 2. И именно числу log₂3 равна размерность данного фрактала. Она нецелая и примерно равна 1.585.
Вот такие пирожки с фракталами. Если интересно и хотите ещё про них — вот отличное видео.
❤23🤯8🙉2
Как освоить новую сложную профессию без технического бэкграунда и найти хорошую работу? Выпускник Яндекс Практикума Иван Рычков, аналитик данных, делится своим опытом:
«Я живое доказательство, что обычному человеку это доступно, даже если он не математик и не программист со стажем 10 лет. Бэкграунд у меня гуманитарный, творческий. Хотя профессия частично и техническая, я звукорежиссёр по образованию. Считаю, что мне очень повезло: чуть больше, чем за 2 года с начала обучения я попал на работу в Яндекс.
Забегая вперёд, скажу так: самое главное — найти такое дело, которым ты не можешь не заниматься. Для меня этим делом стала аналитика, хотя я и не подозревал об этом раньше. А когда прошёл вводную часть курса — затянуло так, что не отпускает до сих пор».
Попробуйте и вы! Вводная часть курса «Специалист по Data Science» бесплатна и доступна по ссылке.
«Я живое доказательство, что обычному человеку это доступно, даже если он не математик и не программист со стажем 10 лет. Бэкграунд у меня гуманитарный, творческий. Хотя профессия частично и техническая, я звукорежиссёр по образованию. Считаю, что мне очень повезло: чуть больше, чем за 2 года с начала обучения я попал на работу в Яндекс.
Забегая вперёд, скажу так: самое главное — найти такое дело, которым ты не можешь не заниматься. Для меня этим делом стала аналитика, хотя я и не подозревал об этом раньше. А когда прошёл вводную часть курса — затянуло так, что не отпускает до сих пор».
Попробуйте и вы! Вводная часть курса «Специалист по Data Science» бесплатна и доступна по ссылке.
❤11👎7👍2🤔1🤗1
Заходит как-то бесконечное число математиков в бар. Первый просит кружку… скажем, яблочного сока. Второй — половину кружки. Третий просит четверть кружки. Бармен решил с этим не разбираться, налил им две кружки на всех и пошел обслуживать других клиентов.
К чему был этот математический анекдот? К теме нашего сегодняшнего поста — ряды или, как их ещё называют, бесконечные суммы. Когда мы хотим найти сумму двух, трех, четырех, … — в общем, конечного числа слагаемых, все понятно: берём числа, по очереди прибавляем, ничего необычного. А что делать, если слагаемых бесконечное количество? Как посчитать их сумму? Так вообще можно делать? Давайте разбираться.
К чему был этот математический анекдот? К теме нашего сегодняшнего поста — ряды или, как их ещё называют, бесконечные суммы. Когда мы хотим найти сумму двух, трех, четырех, … — в общем, конечного числа слагаемых, все понятно: берём числа, по очереди прибавляем, ничего необычного. А что делать, если слагаемых бесконечное количество? Как посчитать их сумму? Так вообще можно делать? Давайте разбираться.
🤣10👍4
Сегодня поговорим про два ряда: тот, что из анекдота и ещё один — он называется гармоническим.
Кстати, название «гармонический» пришло в математику из музыки — такое вот смешение наук!
Для обозначения длинных сумм используется заглавная греческая буква сигма, Σ. Наверняка такую запись вы уже видели: под сигмой записана нижняя граница (в данном случае, 0 или 1) над сигмой — верхняя, (в данном случае это ∞), а правее указан общий вид слагаемых.
Кажется, что сумма бесконечного числа слагаемых всегда будет бесконечной — зачем вообще заниматься такими штуками? На самом деле, всё не так просто. Даже если рассматривать только ряды с положительными слагаемыми, будет много случаев, когда в итоге получится вполне конечная сумма — про такие ряды говорят, что они сходятся. Вернёмся к анекдоту из начала: можно заметить, что каждое следующее число было в два раза меньше предыдущего: 1, 1/2, 1/4, ….
Если просуммировать все эти числа (которых бесконечное количество!), то получится ровно 2. Есть разные доказательства этого факта, вот, например, видео, где приведены алгебраическое и геометрическое. Там правда рассматривают ряд, который начинается не с 1, а сразу с 1/2 — но и ответ на единичку меньше, так что всё в порядке.
Вот мы и нашли бесконечный ряд, сумма которого — не бесконечность!
А теперь посмотрим на очень похожую, на первый взгляд, сумму: сначала возьмём 1, потом 1/2, 1/3, 1/4 и так далее — в знаменатель последовательно ставим все натуральные числа. Сходится ли такой ряд? На самом деле, нет: начиная с какого-то момента сумма этого ряда будет больше любого числа, какое бы мы ни выбрали.
Поверить в это сложно, ведь ряд растёт ну ооочень медленно: чтобы получить суммарный результат больше 100, нужно взять примерно 10⁴⁴ слагаемых. 😅
Классическое доказательство расходимости гармонического ряда приведём в комментариях, заглядывайте!
Примечательно, что если бы числа в знаменателе были возведены в какую-то степень, большую 1 (подойдет даже степень 1.1), то ряд бы сошёлся — но это уже совсем другая история. ☺️
Кстати, название «гармонический» пришло в математику из музыки — такое вот смешение наук!
Для обозначения длинных сумм используется заглавная греческая буква сигма, Σ. Наверняка такую запись вы уже видели: под сигмой записана нижняя граница (в данном случае, 0 или 1) над сигмой — верхняя, (в данном случае это ∞), а правее указан общий вид слагаемых.
Кажется, что сумма бесконечного числа слагаемых всегда будет бесконечной — зачем вообще заниматься такими штуками? На самом деле, всё не так просто. Даже если рассматривать только ряды с положительными слагаемыми, будет много случаев, когда в итоге получится вполне конечная сумма — про такие ряды говорят, что они сходятся. Вернёмся к анекдоту из начала: можно заметить, что каждое следующее число было в два раза меньше предыдущего: 1, 1/2, 1/4, ….
Если просуммировать все эти числа (которых бесконечное количество!), то получится ровно 2. Есть разные доказательства этого факта, вот, например, видео, где приведены алгебраическое и геометрическое. Там правда рассматривают ряд, который начинается не с 1, а сразу с 1/2 — но и ответ на единичку меньше, так что всё в порядке.
Вот мы и нашли бесконечный ряд, сумма которого — не бесконечность!
А теперь посмотрим на очень похожую, на первый взгляд, сумму: сначала возьмём 1, потом 1/2, 1/3, 1/4 и так далее — в знаменатель последовательно ставим все натуральные числа. Сходится ли такой ряд? На самом деле, нет: начиная с какого-то момента сумма этого ряда будет больше любого числа, какое бы мы ни выбрали.
Поверить в это сложно, ведь ряд растёт ну ооочень медленно: чтобы получить суммарный результат больше 100, нужно взять примерно 10⁴⁴ слагаемых. 😅
Классическое доказательство расходимости гармонического ряда приведём в комментариях, заглядывайте!
Примечательно, что если бы числа в знаменателе были возведены в какую-то степень, большую 1 (подойдет даже степень 1.1), то ряд бы сошёлся — но это уже совсем другая история. ☺️
🔥10👍5❤2👏1
Сложные раскраски
В январе мы рассказывали вам про теорему о четырёх красках и предлагали раскрасить ёлочку. Сегодня продолжим и снова предложим порисовать.
В Америке с 19 века и по сей день выпускается научно-популярный журнал Scientific American. В него писал заметки математик-любитель Мартин Гарднер, великий популярзатор. Вы можете знать его по комментариям к Кэрролловской «Алисе», но его вклад в математику поистине огромен: своими статьями он взрастил интерес к науке у целого поколения читателей. Его заметки выходили на протяжении 25 лет.
Гарднер был большим фанатом теоремы о четырёх красках, у него даже есть фантастический рассказ «Остров пяти красок». Однажды в качестве первоапрельской шутки он опубликовал в журнале карту, которую якобы нельзя раскрасить лишь в 4 цвета. На самом деле, конечно, можно, хоть задачка эта и не из простых. Предлагаем вам раскрасить её и другие карты на сайте «Математических Этюдов». Там вас ждут пять несложных карт, затем та самая от Мартина Гарднера, и потом ещё одна — карта звёздного неба. Рекомендуем раскрашивать с компьютера.
Присылайте свои варианты последних двух карт в комментарии (картинки тоже можно прятать под спойлер) — потом сравним результаты. :)
В январе мы рассказывали вам про теорему о четырёх красках и предлагали раскрасить ёлочку. Сегодня продолжим и снова предложим порисовать.
В Америке с 19 века и по сей день выпускается научно-популярный журнал Scientific American. В него писал заметки математик-любитель Мартин Гарднер, великий популярзатор. Вы можете знать его по комментариям к Кэрролловской «Алисе», но его вклад в математику поистине огромен: своими статьями он взрастил интерес к науке у целого поколения читателей. Его заметки выходили на протяжении 25 лет.
Гарднер был большим фанатом теоремы о четырёх красках, у него даже есть фантастический рассказ «Остров пяти красок». Однажды в качестве первоапрельской шутки он опубликовал в журнале карту, которую якобы нельзя раскрасить лишь в 4 цвета. На самом деле, конечно, можно, хоть задачка эта и не из простых. Предлагаем вам раскрасить её и другие карты на сайте «Математических Этюдов». Там вас ждут пять несложных карт, затем та самая от Мартина Гарднера, и потом ещё одна — карта звёздного неба. Рекомендуем раскрашивать с компьютера.
Присылайте свои варианты последних двух карт в комментарии (картинки тоже можно прятать под спойлер) — потом сравним результаты. :)
🔥12❤4👍3😭1