Привет!
Мы сегодня с места — в задачу.

Курьер везёт заказ со склада до клиента. Первую треть пути он едет со скоростью 38 км/ч. Вторую треть — со скоростью 45 км/ч.
1) С какой скоростью курьер должен преодолеть оставшуюся часть пути, чтобы средняя скорость на всём пути оказалась 66 км/ч?
2) С какой скоростью он должен преодолеть оставшуюся часть пути, чтобы средняя скорость на всём пути оказалась 54 км/ч?

Ваши ответы и решения ждём в комментариях под скрытым текстом.

Вчерашняя задача — с подвохом! Разберём её.

Когда требуется найти среднее, часто рассчитывают среднее арифметическое. И обычно это правильный подход. Но не в этот раз: средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей. Как же её найти?

Скорость — это отношение расстояния ко времени. Средняя скорость ищется как отношение всего расстояния ко всему времени, за которое проехали путь.
Во вчерашней задаче не даны расстояния, но известно, что они одинаковые, поэтому каждое из них можно считать равным одному и тому же числу, например, 1. Тогда весь путь будет иметь длину 3.

А чему равно всё затраченное время? Оно состоит из трёх слагаемых: 1/38, 1/45 и 1/v₃.
Тогда средняя скорость равна
3 ÷ (1/38 + 1/45 + 1/v₃).
Её значения различны в двух пунктах задачи.

1) В первом пункте средняя скорость равна 66 км/ч. Подставим в формулу, чтобы найти v₃:

3 ÷ (1/38 + 1/45 + 1/v₃) = 66;
1/38 + 1/45 + 1/v₃ = 3/66 = 1/22;
1/v₃ = 1/22 - 1/38 - 1/45 =
= (855 - 495 - 418) / 18810 < 0

Упс! Если 1/v₃ < 0, то и сама скорость v₃ отрицательна.
Как так получилось и что это означает? Дело в том, что не все средние скорости могут быть достигнуты. Курьер ехал довольно медленно на первом и втором участке, поэтому никакая скорость на третьем не даст желаемого результата. Что ж, бывает. 😊

2) Во втором пункте задачи средняя скорость равна 54 км/ч. Найдём v₃:

3 / (1/38 + 1/45 + 1/v₃) = 54;
1/38 + 1/45 + 1/v₃ = 3/54 = 1/18;
1/v₃ = 1/18 - 1/38 - 1/45 =
= (95 - 45 - 38) / 1710 = 12 / 1710 = 2 / 285.

Отсюда v₃ = 285 / 2 = 142.5 км/ч.

Ого! Даже для такой, казалось бы, небольшой средней скорости в 54 км/ч, курьеру придётся ускориться на третьем участке до фантастических 142.5 км/ч.

Забавный факт: даже если бы на третьем участке пути курьер двигался со скоростью света (она равна 1079252848.8 км/ч), его средняя скорость была бы меньше 62 км/. 🙃
Неудивительно, что в первом пункте ничего не вышло.

Для средней скорости есть готовая красивая формула — именно она приведена на иллюстрации. По ней ищут среднее гармоническое n чисел. Его используют не только для средней скорости, другие приложения можно посмотреть, например, в википедии.

Хороших вам выходных!

Формула для простых чисел

Сегодня у нас два простых вопроса про простые числа.

Для начала: сколько всего простых чисел? На этот вопрос ответил Евклид ещё в 3 веке до нашей эры: их бесконечное количество. Это легко доказать, так сделаем это!

Предположим обратное — допустим, простых чисел конечное количество. Тогда есть «самое большое простое число», пусть оно равно p. Перемножим все простые числа до p включительно, а затем прибавим к произведению 1. Результат не делится нацело ни на одно из предыдущих простых чисел, и уж тем более ни на одно из составных. Получается, что результат делится только сам на себя и на 1, а значит — это простое число. Этот способ всегда позволяет сконструировать новое простое число, которое больше «самого последнего». Значит, простых чисел бесконечное количество. Доказали.👌

Теперь второй вопрос: как найти простое число, зная только его номер?
Есть решето Эратосфена — о нём мы писали ранее. Этот алгоритм позволяет последовательно находить все простые числа. Но есть проблема: с увеличением чисел время на его реализацию растёт с огромной скоростью. Поэтому этот алгоритм неудобно использовать, чтобы найти очень большие простые числа.

Удобным вариантом была бы формула, которая по номеру простого числа помогала бы вычислить само число. К сожалению, попытки найти такую формулу не привели к успеху.

Лучшее, что получалось, — формулы, которые выдают простые числа часто, но не всегда. Одну из таких формул предложил известный математик Леонард Эйлер. Выглядит она так:
n² - n + 41. Числа, рассчитанные по ней, являются простыми для n = 0, 1, …, 40. Но при n = 41 значение обращается в 41² — а это уже составное число. При n = 42 тоже неудача.

Однако при n = 43 и дальше формула снова работает — часто, но не всегда. Определите, при каком n она ломается в следующий раз? Ответы присылайте под скрытым текстом.

И ещё раз привет!
Напоминаем, что сегодня последний день, когда вы можете решить задачу и воспользоваться скидкой на курс «Математика для анализа данных». Подробности в посте.

АПД к предыдущему посту: у нас тут были неполадки с промокодом.
Сейчас всё починили, извините за неудобства. :)

Продлили его действие на завтрашний день, чтобы все желающие точно успели. 😊

Привет!
Разберём цветочную задачу с прокомодом.
Напомним условие:

В ночь на 8 марта цветочный магазин был пуст. Утром приехала фура с тюльпанами и розами. Всего привезли 1440 цветов, из них 25% красных. Среди тюльпанов красных — 10%, а среди роз — 30%. На сколько штук тюльпанов было меньше, чем роз?

Обозначим количество тюльпанов за t, количество роз — за r. Всего цветов 1440, значит, t + r = 1440. Это наше первое уравнение.
По условию 25% от всех цветов — красные, это 0.25*1440 = 360 штук. Из тюльпанов красных 10%, в штуках это 0.1t цветов. Из роз красных 30%, то есть 0.3r штук. Всего получается 0.1t + 0.3r. Запишем второе уравнение: 0.1t + 0.3r = 360.

Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
t + r = 1440;
0.1t + 0.3r = 360.

Домножим второе уравнение на 10:
t + r = 1440;
t + 3r = 3600.

Вычтем из второго уравнения первое, результат запишем на второй строчке:
t + r = 1440;
2r = 2160.

Из второго уравнения получаем r = 1080. Тогда из первого уравнения t = 1440 - 1080 = 360.
Значит, в магазин привезли 1080 роз и 360 тюльпанов. Роз на 1080 - 360 = 720 штук больше.

Поздравляем всех, кто воспользовался промокодом. Набор на курс «Математика для анализа данных» идёт постоянно, можно присоединиться в любой день. Будем рады видеть вас среди студентов нового потока. ☺️

Недавно мы писали, что привычная нам геометрия Евклида — не единственная из возможных, а есть ещё геометрии Лобачевского и Римана. Сегодня продолжим эту тему.

Давайте ещё раз посмотрим на «прямые» в каждой из геометрий. В геометрии Евклида прямые действительно прямые. 😅
А вот в других геометриях объекты, которые называют прямыми, на самом деле изогнутые: ведь сами поверхности, на которых они находятся, имеют изгиб. Из-за этого возникает неожиданное свойство у треугольников.

В геометрии Евклида сумма углов в треугольнике всегда равна 180°, а в других геометриях это утверждение неверно.
В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника меньше 180°. Конкретное значение не зафиксировано — оно может меняться в зависимости от того, как изогнута поверхность и от места расположения треугольника на поверхности.
В геометрии Римана сумма углов в треугольнике больше 180°, но меньше 540°, фиксированного значения тоже нет. Конечно, сфера сама по себе меняться не может, но сумма углов зависит от выбранного треугольника. Поэтому в геометрии Римана существует, например, треугольник, все углы которого — прямые, то есть, по 90°. Ну очень прямоугольный треугольник!

Эти свойства интересны не только в теоретическом смысле, но и имеют практическое применение — например, в астрономии. Планеты по форме близки к шару, поэтому удобно изучать их с помощью геометрии Римана. Находить радиус планеты помогает именно сферический треугольник на её поверхности. Для этого используют формулу: R² = S / (∠A + ∠B + ∠C - π). Здесь R — радиус планеты, S — площадь этого треугольника, ∠A, ∠B, ∠C — его углы в радианах.

Мы ещё поговорим о применении неевклидовых геометрий в следующих постах!

Вокруг изучения математики витает много вопросов, например:

• Зачем студенты поступают на математические специальности и как они там учатся?
• Чем занимаются люди, которые закончили такие специальности?
• Где именно в Data Science нужна математика?
• В каком возрасте стоит учить математику и не поздно ли уже?
• Почему сложно учить математику одному?
• Как учить и всё-таки выучить?
• В чём смысл учить математику кроме собственно знаний?

Эти и другие вопросы обсуждают в подкасте факультета компьютерных наук ВШЭ. На наш взгляд, он получился полезный, при этом позитивный и недушный. Поэтому и делимся с вами. 😊

Бонус от гостя подкаста — подборка книг, которые помогут изучить математику для машинного обучения и анализа данных. Книги в подборке разделены по уровням подготовки. Если хотите подступиться к математике, но не знаете как — рекомендуем заглянуть.

О словах

Бывают понятия, которые встречаются в разных науках. Сегодня поговорим о словах — их изучают и лингвистика, и математика.

Слова состоят из букв, набор всех букв данного языка в лингвистике называют алфавитом. Например, бывает русский, английский, арабский, кхмерский и другие алфавиты. С помощью букв алфавита люди образуют слова, а слова образуют язык.

В математике же алфавитом может быть любое множество букв. Например, {ж, у, к} — это некоторый алфавит. В математическом алфавите необязательно должны быть только буквы одного языка. Более того, буквой здесь может быть любой символ. Например, {ф, j, +} — это тоже алфавит, в нём три буквы, из них можно составлять слова.

С точки зрения лингвистики, слова должны иметь смысл. Например, «конь» — это слово, а вот «окнь» уже нет. В математике слово — это просто любая упорядоченная последовательность букв: «конь», «окнь», «ьььнько» и любое другое. Буквы могут идти в любом порядке и повторяться любое количество раз — каждое изменение порождает новое слово. В англоязычной терминологии вместо «слова» используют термин «строка» (string).

Напоследок, как обычно, задачка. Возьмём алфавит из четырёх букв: {а, с, н, о}. Пусть множество T состоит из всех слов этого алфавита с длиной не более трёх букв.
1) Сколько элементов содержится во множестве T?
2) Какие из этих слов осмысленные в русском языке? Давайте выделим все осмысленные слова, любых частей речи и падежей.

Во вчерашней задаче нужно было составить слова: математические и осмысленные русские. Решаем!

1) Количество математических слов вычислим через правило произведения.
В нашем алфавите 4 буквы, и внутри слова они могут повторяться, так что получим:
однобуквенных слов — 4,
двухбуквенных — 4*4=16 штук,
трёхбуквенных — 4*4*4=64.
Всего получаем 4+16+64=84 слова.

2) В первом комментарии мы выпишем все эти слова и подпишем осмысленные. Стиль оформления позаимствовали у нашего подписчика Макса. Макс, спасибо вам!
Чтобы ничего не потерять, запишем слова в лексикографическом порядке. На некоторые неочевидные даём ссылки. Многие слова — аббревиатуры, но имеют значение! Мы даже не ожидали, что получим столько осмысленных слов.

Итог такой: 3 однобуквенных + 16 двухбуквенных + 48 трёхбуквенных = 67 слов уже нашли применение в русском языке, а у остальных 16 всё ещё впереди или пока википедия о них не знает. 😉

Что полезно знать коллекционерам

Что объединяет игрушки одной серии из киндеров, акцию «собери все виды стикеров и получи приз» и коллекцию вкладышей в жвачки “Love is”? Это всё модифицированные варианты одной задачи — задачи о коллекционировании купонов. Под «купонами» здесь понимают карточки, коллекцию которых нужно собрать, чтобы получить приз или просто иметь полную коллекцию. 😇

Пусть всего существует V различных купонов и каждый раз мы получаем по одному случайному купону. Будем считать условия акции честными, то есть купоны каждого вида встречаются одинаково часто, а значит, вероятности получить любой купон равны. Определим, сколько в среднем нужно купить купонов, чтобы получить хотя бы по одному купону каждого вида.

Сформулируем задачу в терминах теории вероятностей. Впереди будет много понятий, сейчас мы не будем останавливаться на них подробно. Все подробности — в нашем курсе по математике.

Неизвестно, сколько всего купонов нам придётся купить, чтобы собрать всю коллекцию. Значит, это случайная величина! Обозначим её: пусть X — случайная величина, описывающая количество купленных купонов до успеха.

Мы хотим определить, сколько в среднем нужно купить купонов, чтобы собрать всю коллекцию. Среднее значение случайной величины — это её математическое ожидание. Значит, ищем E(X).

Пусть у нас уже есть i-1 различных купонов, и нам нужен i-й новый купон. Снова неизвестно, какое количество покупок нужно совершить, чтобы его получить. Значит, это тоже случайная величина. Обозначим: xᵢ — случайная величина, описывающая количество купонов, которое нужно купить, чтобы получить i-й новый купон. Если коллекция состоит из V купонов, тогда всего у нас получится V таких случайных величин: x₁, x₂, …, xᵥ.

Запишем матожидание общего числа купонов:
E(X) = E(x₁ + x₂ + … + xᵥ) = E(x₁) + E(x₂) + … + E(xᵥ).

Случайные величины xᵢ описывают явления вида «количество попыток до первого успеха», а значит, для модели подойдёт геометрическое распределение. Посчитаем значение матожидания E(xᵢ). Вероятность получить новый купон равняется (V-i+1) / V, а матожидание для геометрического распределения обратно вероятности. Тогда E(xᵢ)=V/(V-i+1).

Запишем формулу для среднего X:
E(X) = V/V + V/(V-1) + … + V =
= V*(1/V + 1/(V-1) + … + 1) =
= V*(1/1+ 1/2 + 1/3 + … + 1/V).
Число в скобках — это частичная сумма гармонического ряда (про него подробнее ещё расскажем, он интересный).

На первый взгляд может показаться, что результат не очень большой. Для маленьких наборов так и есть. Например, чтобы собрать комплект из 5 купонов, нужно, в среднем, сделать около 11 покупок — примерно в два раза больше размера коллекции.
Но значение быстро растёт. Например, для V = 10 матожидание E(X) примерно равно 30 — в три раза больше размера коллекции. А для V= 30 его значение уже приближается к 120. Получается, чтобы собрать набор из 30 разных купонов, нужно в среднем совершить аж 120 покупок — в 4 раза больше, чем хотелось бы. 😅

Быть коллекционером непросто! Если задумали собрать полную коллекцию, то запасайтесь терпением. :)

Лучшее завершение поста — это задача. Пусть в киндер-сюрпризах спрятана коллекция бегемотиков из 8 штук. Будем считать, что это единственная серия в продаже и вероятность встретить каждую игрушку одинакова.
Посчитайте, сколько в среднем киндеров надо купить, чтобы собрать весь набор?
Решения и ответы ждём, как всегда, под скрытым текстом.

Как автоматически создать мем

Существуют так называемые боты-мемезаторы. Отправляете им картинку — они подбирают к ней подпись и автоматически создают из неё мем. Мы сгенерировали мем с котиком, положим его в комментарии к посту.
Некоторые мемы получаются удачные, другие — не очень, но в целом мемезатор неплохо подбирает подпись к картинке. Как ему это удаётся? «На пальцах» объясняет разработчик программы курса «Математика для анализа данных» Георгий Кожевников.

***

На просторах интернета собирают большой датасет картинок и описаний к ним. Размер датасета — сотни миллионов пар картинка-подпись.
Дальше обучают модель типа CLIP, которая умеет связывать текст и картинки. Она состоит из двух нейросетей: одна превращает картинки в векторы, вторая — текст в векторы.

Идея в том, чтобы измерить схожесть изображения и текста. В качестве меры используют расстояние между векторами: схожие векторы расположены близко друг к другу, а отличающиеся — далеко.
Обучение происходит так: берут картинку и подпись к ней из датасета, затем берут ещё около 30 000 случайных подписей. Нейросети превращают всё в векторы и строят модель так, чтобы вектор настоящей подписи был ближе всего к вектору картинки, а векторы всех остальных подписей — дальше.
Такой способ обучения называется contrastive learning, в переводе на русский — контрастное обучение (но русский вариант используют редко).

Со временем модель выучивает общее векторное пространство «смыслов» для картинок и текстов. В результате любой текст и любую картинку можно перевести в это пространство и измерить расстояние между ними.
Тут уже можно начать догадываться, как работает мемезатор. Заводят базу мемных фраз, вроде «Алло, это пожарная? Пожарьте картошечку» и с помощью нашей нейронной сети вычисляют расстояния между входной картинкой и каждой такой фразой в базе. Затем выбирают фразу, которая находится ближе всех к картинке, и приклеивают её на фотку.
Вуаля — мемезатор готов! Никакой ловкости рук, только наша любимая математика.

Систему можно улучшить, например, так:
1) Добавить вероятность. Чтобы каждый раз не выбиралась одна и та же фраза, можно сделать выбор случайным, с учётом расстояний. Чем ближе фраза к картинке, тем вероятнее она будет выбрана, но всегда есть шанс выбрать другую фразу. Иногда получается нелепо, а в других случаях появляется удивительный сарказм.
2) Дообучить модель на «мемном» датасете. Для этого нужно собрать датасет мемов: пары картинка + смешная подпись текстом + количество положительных реакций. Таким образом, мемы должны получаться более точными и смешными. Но чувство юмора — тонкая штука, поэтому оценить объективно, конечно, сложно.

***

В предыдущих постах Георгий советовал учебники по математике для Data Sience, ещё книги по математике для Data Science и рассказывал о математике в компьютерной графике. Заглядывайте, если интересно. 😇

Привет!
Как ваш вторник? Если тяжеловато, мы знаем, что всегда бодрит — это интересные задачи!
А если неделя началась активно, то задачи помогут поддержать активность. ;)
Присоединяйтесь к решению квиза от команды курса «Математика для анализа данных». В нём 10 задачек — типа тех, которые встречаются на олимпиадах или собеседованиях. Некоторые из них могут быть вам знакомы. 😇
Если есть вопросы — заходите в чат квиза.

Приятной мозговой разминки!

↓↓↓

Всем весенний привет!

Завтра на календаре уже 1 апреля, но мы люди серьёзные, нам не до шуток 😎

А серьёзным людям - серьёзные задачки, конечно же! Ловите очередную подборку задач от нашего невероятного Артёма @Artem_Rembo:

https://forms.yandex.ru/u/6426bb27068ff00f7db0503a/

Делитесь впечатлениями в этом чате, погружайтесь в решение с головой и обязательно приходите посмотреть разбор, который будет 13.04 в 19:00 по ссылке: https://yandex.zoom.us/j/3329047761


Ну и раз уж тут всё так серьёзно, то давайте вспомним, что для серьёзных ребят есть серьёзный курс по Математике для анализа данных 🤌 Там и алгебра, и математический анализ, и статистика, и теория вероятности... Полный набор!
Переходите по ссылке, чтобы узнать подробнее о том, какие ещё крутые штуки есть на курсе 🔥

До встречи на разборе, друзья!
Хороших вам выходных❤️

Периодические дроби

Все мы в школе проходили дроби и помним, что они бывают обыкновенными и десятичными. Каждую дробь можно записать в обоих видах.

Записать десятичную дробь в виде обыкновенной обычно легко: в числитель записываем всё, что после запятой, а в знаменатель — единичку с таким же количеством нулей, сколько цифр было после точки. Например: 0.045=45/1000.

Записать обыкновенную дробь в виде десятичной сложнее. Можно разделить числитель на знаменатель и иногда это закончится хорошо (потому что вообще закончится). Например, 3/8 = 0.375.
А вот с дробью 2/3 фокус не вполне удастся: представить эту дробь в виде конечной десятичной, как выше, не получится.
При делении 2 на 3 калькулятор выдаст 0.6666… или 0.6666666667, в зависимости от модели.
И это тоже десятичная дробь, но немного другая — она относится к бесконечным десятичным дробям. В её дробной части бесконечное количество шестёрок.

Этот бесконечный хвост из цифр хорошо видно при делении уголком. Разделим так 5 на 12, как на первой иллюстрации выше. Видно, что начиная с какого-то момента остаток всегда будет 8, и он будет порождать цифру 6 в ответе.
Есть удобный способ записать бесконечную дробь: повторяющееся число указать в скобках. В этом случае получится 0.41(6). Повторяющееся число называют периодом дроби, а саму дробь — бесконечной периодической дробью.
В периоде может быть и больше одной цифры. Например, 14/11 = 1.272727… = 1.(27).

Итак, если просто делить числитель на знаменатель, случится одно из двух:
- деление закончится — и мы получим конечную десятичную дробь;
- остатки от деления начнут повторяться — тогда получим бесконечную периодическую дробь.
Значит, с помощью деления уголком можно любую обыкновенную дробь записать в виде какой-то десятичной дроби. Приятно, когда что-то работает всегда!

Бесконечные периодические дроби тоже можно переводить в обыкновенные. Тут основная сложность — избавиться от периода. Разберём, как это делать, на примере, см. вторую иллюстрацию выше.

Запишем в виде обыкновенной дроби 0.(38). Для этого обозначим нашу дробь x, а затем умножим её на 100, так как в периоде два знака: 100x = 38.(38).
Мы как бы вытащили один период из скобок, но избавиться от него целиком не удалось. Зато если вычесть из полученного произведения исходную дробь, разностью будет целое число! А дальше дело техники — это наглядно видно на иллюстрации. На самом деле после вычитания ответ не всегда будет целым, но уже хотя бы без периодического «хвоста».

Алгоритм перевода периодических дробей в обыкновенные:
1. Обозначить исходную дробь за x.
2. Умножить её на 10ⁿ, где n — количество знаков в периоде.
3. Вычесть из полученной дроби исходную.
4. Выразить x.

Предлагаем вам поупражняться!
1) Переведите дробь 3/7 в десятичную периодическую.
2) Переведите 2.73(4) в обыкновенную дробь.
Ответы ждём под скрытым текстом.