Выкладываем решение вчерашней задачи про простые числа.

Итак, мы случайно выбираем числа a ∈ [1; 500] и b ∈ [500; 1000]. Переформулировка теоремы гласит, что вероятность случайно выбрать простое число на промежутке от 1 до n равна 1 ÷ ln(n). Поэтому вероятность того, что число a окажется простым, равна 1 ÷ ln500 ≈ 0.16.

Для числа b эту формулу применить не удастся, так как в теореме речь о промежутке от 1, а у нас промежуток от 500. Пойдём другим путём — через количество!
Используем первую формулу: в первой тысяче найдётся 1000 ÷ ln1000 ≈ 144.76 простых чисел. При этом среди первых пятисот их будет 500 ÷ ln500 ≈ 80.46. Значит, в промежутке от 501 до 1000 будет 144.76 - 80.46 ≈ 64.3 простых чисел.
Число 500 не простое, так что для промежутка [500; 1000] верна та же оценка.
Посчитаем через отношение вероятность того, что число b из этого промежутка простое: 64.3 ÷ 501 ≈ 0.13.

Значит, вероятность того, что число на промежутке [1; 500] окажется простым, равна 0.16, а на промежутке [500; 1000] — 0.13. На первом — больше.

Если нужно не вычислять вероятности, а только сравнить их, то можно рассуждать так.
Числа a ∈ [1; 500] и b ∈ [500; 1000] принадлежат промежуткам почти одинаковой длины: a выбираем из 500 чисел, b — из 501 числа. Во втором промежутке числа больше по модулю, то есть он расположен правее.

Вероятность случайно выбрать простое число от 1 до n равна 1 ÷ ln(n). Значит, с увеличением n она уменьшается. Почему так происходит?
Если бы общее количество чисел отрезка и количество простых чисел отрезка росли равномерно, то вероятность встретить простое число оставалась бы примерно на одном уровне. Но она уменьшается — значит, и плотность простых чисел уменьшается по мере продвижения вправо.

Вывод: если брать достаточно большие отрезки равной (или почти равной) длины, то на правом отрезке простых чисел окажется меньше. И, как следствие, вероятность встретить простое число там тоже будет меньше.

Привет!
На связи команда математики.
Вы наверняка слышали о курсе «Математика для анализа данных», сегодня расскажем о нём подробнее. В конце следующего поста — сюрприз!

Что внутри курса?
Вы разберетё математические инструменты, которые помогут развиваться в анализе данных и Data Science, и научитесь их применять.

«Математика для анализа данных» поможет:
- закрыть пробелы в статистике и других разделах математики;
- разобраться, что «под капотом» у знакомых инструментов, и освоить новые;
- подготовиться к собеседованию;
- укрепить навыки и претендовать на вакансии, где ценят хорошее знание математики;
- решать математические задачи на Python.

Какие методы вы сможете применять после курса:
- A/B-тесты, статистические тесты, доверительный интервал, p-value;
- линейную регрессию и сингулярное разложение;
- градиентный спуск и другие алгоритмы обучения нейросетей;
- косинусное расстояние между текстами.

Курс подойдёт даже тем, у кого нет технического образования. Если это ваша ситуация, не беспокойтесь, вы всё поймёте: мы объясняем подробно, с примерами, графиками и интерактивами. А если техническое образование у вас есть, всё равно приходите — узнаете много нового. :)

Что с обратной связью?
Наедине с математикой мы вас не оставим! 😊
- Преподаватели ответят на вопросы в чате в любой день недели.
- Кураторы поддержат морально и помогут организовать учебный процесс.

Сколько стоит?
Курс стоит 30 000 рублей. Поддержка доступна 6 месяцев, материалы остаются у вас навсегда.

А теперь — обещанный сюрприз!
Мы подготовили для вас промокод со скидкой 10% на оплату курса. Это не простой промокод, а математический!
Чтобы получить скидку, нужно:
1. Решить задачу ниже и получить ответ в виде числа.
2. Это число нужно записать вместо X в коде PrakticheskiX. Например, если получится 99, то код будет Prakticheski99. Это не сам промокод, а только пример, как его записать. 😉
3. Ввести промокод на странице оплаты курса до 20 марта этого года.

А вот и сама задача для промокода.

В ночь на 8 марта цветочный магазин был пуст. Утром приехала фура с тюльпанами и розами. Всего привезли 1440 цветов, из них 25% красных. Среди тюльпанов красных — 10%, а среди роз — 30%. На сколько штук всех тюльпанов было меньше, чем всех роз?

Важно! На этот раз ответ к задаче не нужно писать в комментариях. :)
Можете задать там вопросы по курсу, если что-то осталось непонятным, или оставить отзыв, если вы его уже прошли.

Привет любителям порешать задачи!
Подъехал первый весенний квиз.🌱
В нём, как обычно, 10 задачек олимпиадного типа. Среди них — задачи про прыгающих коней, инопланетных рыцарей и игру-стрелялку. Присылайте в чат квиза решения и ответы, а 16 марта приходите на онлайн-разбор и обсуждение. Подробности в пересланном сообщении.

Привет, друзья!

Поздравляю вас с приходом долгожданной весны!
Пусть за окном ещё лежит снег и дует пронизывающий ветер - совсем скоро природа проснётся от зимней спячки и порадует нас ярким солнышком, зелёной листвой и чистым асфальтом! 🌞

А пока происходят эти метаморфозы жизни, я предлагаю вам скрасить пока ещё холодные вечера решением задачек из нашего очередного математического квиза:

https://forms.yandex.ru/u/6403c2c8e010db47361477b8/

Всё как всегда: решаем задачи, обсуждаем их в нашем чатике и, конечно же, приходим на разбор 16-го марта в 19.00.😊

А ещё напоминаю, что чудесный способ скоротать деньки до прихода первого тепла можно еще и за курсом «Математика для DA/DS», где вы сможете подтянуть знания по линейной алгебре, математическому анализу, статистике и теории вероятностей! А бонусом будет модуль с симуляцией собеседования с математическими задачами
Все подробности о курсе можно узнать у меня или у наших дорогих кураторов: @lyubava10, @vlbot01

Парадокс дней рождения

Давайте посмотрим на группу людей из примерно 30 человек. Такие часто встречаются в жизни: школьный класс, университетская группа, большая компания друзей, круг коллег на работе, посетители занятий «Здоровая спина» и т.п.

Нас интересуют дни рождения, а точнее — вероятность того, что они совпадут хотя бы у двоих человек из группы.
Интуитивно кажется, что эта вероятность невелика: в году целых 365 дней, а в группе всего 30 человек.
Но в жизни наверняка у каждого есть компания, в которой — надо же! — у двоих человек день рождения в один день. Вероятность совпадения должна быть мала, но между тем, она часто реализовывается. Это и называют парадоксом дней рождения.

На самом деле такое совпадение дней рождения совсем не случайность. Давайте всё посчитаем по шагам!

Возьмём когорту курса по математике из 30 человек. Для простоты будем считать, что в году 365 дней и вероятность родиться в каждый из них одинакова. Эти предположения влияют на результат незначительно, а считать так будет проще.

Найдём вероятность противоположного исхода, то есть вероятность того, что все студенты родились в разные дни.
Возьмём любого студента. Его день рождения может выпасть на один из 365 дней.
Берём второго студента. Если он родился в любой из оставшихся 364 дней, то дни рождения не совпадут — вероятность этого равна 364/365.
Добавим третьего. Если он родился в любой из оставшихся 363 дней, то все три дня рождения будут в разные дни. Вероятность этого равна (364/365)*(363/365).
И так далее: добавляем нового человека — добавляем новый множитель в произведение.

Для когорты в 30 человек вероятность того, что дни рождения всех студентов попадут на разные дни, составляет около 29%. Значит, вероятность хотя бы одного совпадения равна 71% — немало! То, что происходит в жизни, подтверждается математикой.

Если же в когорте 57 человек, то вероятность того, что дни рождения хотя бы у двоих совпадут, становится больше 99%. Хотя, опять же — всего 57 человек и целых 365 дней.

На такие неожиданные результаты влияют два фактора: психологический и математический.

Психологический заключается вот в чём. Когда люди думают про совпадение дней рождения, они обычно удивляются совпадению у конкретных людей: «Надо же, Вася и Маша родились в один день!». В задаче же мы рассчитали совпадение не для конкретной пары, а вообще для двух любых человек из группы. Случайность не «думала» именно об этой паре, совпадение дат у Васи и Маши — просто реализация одного из исходов, например, как выпадение именно 3 на игральном кубике.

Математический фактор связан с тем, что вероятность — это число от 0 до 1. Когда мы рассчитываем вероятность того, что все дни рождения будут разными, мы перемножаем такие числа. Чем больше таких множителей, тем меньше получается результат. И тогда вероятность совпадения быстро растёт.

Получается, в научном смысле эта ситуация не парадокс: логического противоречия здесь нет. Здесь речь о том, что интуиция не соответствует результату математического расчёта.

Напоследок предлагаем задачу без парадоксов, но про день рождения. Пусть в группе 31 человек вместе с вами. Какова вероятность того, что найдётся хотя бы один человек, у которого день рождения в тот же день, что и у вас?

А сегодня, между прочим, праздник! Дата 14 марта на американский манер записывается как 3/14, и если слэш заменить на точку, то получится 3.14 — приблизительное значения числа π. Поэтому сегодня математики и все желающие отмечают День π.

В честь этого дня математик и популяризатор Мэтт Паркер каждый год устраивает шоу — вручную вычисляет значение числа π каким-нибудь неординарным способом. Эта константа возникает в самых разных областях математики, так что способов предостаточно. Например, можно найти приближённое значение π с помощью взаимно простых чисел. Расскажем по порядку.

Два числа взаимно просты, если у них только один общий делитель — единица. Например, взаимно просты числа: 3 и 17, 7 и 15, 20 и 49. Очевидно, что если оба числа простые, то они взаимно просты. Но бывают и другие ситуации. Оба числа отдельно могут быть составными, а друг с другом — взаимно простыми. Например, таковы числа в паре 20 и 49. Может быть и так, что одно число простое, а другое составное, как в паре 7 и 15.

Причём же здесь π?

Есть интересный факт. Вероятность того, что два случайно взятых натуральных числа взаимно просты, равна 6/π^2. Этот факт можно доказать, подробнее Мэтт рассказывает в видео — мы считаем, у него это получается прекрасно, так что не будем пересказывать. А потом он ещё проводит реальный эксперимент и вычисляет примерное значение числа π.
Не будем спойлерить, хорошо ли у него получилось, но однозначно — весело. 😁

С Днём π вас!

Привет!
Это пост-напоминалка.
Осталось меньше недели: решить задачу и этим сэкономить 10% при оплате курса «Математика для анализа данных» можно до понедельника 20 марта включительно. Подробности в этом посте.

Вопросы про курс можно задавать под этим или под исходным постом. 😊

Привет!
Мы сегодня с места — в задачу.

Курьер везёт заказ со склада до клиента. Первую треть пути он едет со скоростью 38 км/ч. Вторую треть — со скоростью 45 км/ч.
1) С какой скоростью курьер должен преодолеть оставшуюся часть пути, чтобы средняя скорость на всём пути оказалась 66 км/ч?
2) С какой скоростью он должен преодолеть оставшуюся часть пути, чтобы средняя скорость на всём пути оказалась 54 км/ч?

Ваши ответы и решения ждём в комментариях под скрытым текстом.

Вчерашняя задача — с подвохом! Разберём её.

Когда требуется найти среднее, часто рассчитывают среднее арифметическое. И обычно это правильный подход. Но не в этот раз: средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей. Как же её найти?

Скорость — это отношение расстояния ко времени. Средняя скорость ищется как отношение всего расстояния ко всему времени, за которое проехали путь.
Во вчерашней задаче не даны расстояния, но известно, что они одинаковые, поэтому каждое из них можно считать равным одному и тому же числу, например, 1. Тогда весь путь будет иметь длину 3.

А чему равно всё затраченное время? Оно состоит из трёх слагаемых: 1/38, 1/45 и 1/v₃.
Тогда средняя скорость равна
3 ÷ (1/38 + 1/45 + 1/v₃).
Её значения различны в двух пунктах задачи.

1) В первом пункте средняя скорость равна 66 км/ч. Подставим в формулу, чтобы найти v₃:

3 ÷ (1/38 + 1/45 + 1/v₃) = 66;
1/38 + 1/45 + 1/v₃ = 3/66 = 1/22;
1/v₃ = 1/22 - 1/38 - 1/45 =
= (855 - 495 - 418) / 18810 < 0

Упс! Если 1/v₃ < 0, то и сама скорость v₃ отрицательна.
Как так получилось и что это означает? Дело в том, что не все средние скорости могут быть достигнуты. Курьер ехал довольно медленно на первом и втором участке, поэтому никакая скорость на третьем не даст желаемого результата. Что ж, бывает. 😊

2) Во втором пункте задачи средняя скорость равна 54 км/ч. Найдём v₃:

3 / (1/38 + 1/45 + 1/v₃) = 54;
1/38 + 1/45 + 1/v₃ = 3/54 = 1/18;
1/v₃ = 1/18 - 1/38 - 1/45 =
= (95 - 45 - 38) / 1710 = 12 / 1710 = 2 / 285.

Отсюда v₃ = 285 / 2 = 142.5 км/ч.

Ого! Даже для такой, казалось бы, небольшой средней скорости в 54 км/ч, курьеру придётся ускориться на третьем участке до фантастических 142.5 км/ч.

Забавный факт: даже если бы на третьем участке пути курьер двигался со скоростью света (она равна 1079252848.8 км/ч), его средняя скорость была бы меньше 62 км/. 🙃
Неудивительно, что в первом пункте ничего не вышло.

Для средней скорости есть готовая красивая формула — именно она приведена на иллюстрации. По ней ищут среднее гармоническое n чисел. Его используют не только для средней скорости, другие приложения можно посмотреть, например, в википедии.

Хороших вам выходных!

Формула для простых чисел

Сегодня у нас два простых вопроса про простые числа.

Для начала: сколько всего простых чисел? На этот вопрос ответил Евклид ещё в 3 веке до нашей эры: их бесконечное количество. Это легко доказать, так сделаем это!

Предположим обратное — допустим, простых чисел конечное количество. Тогда есть «самое большое простое число», пусть оно равно p. Перемножим все простые числа до p включительно, а затем прибавим к произведению 1. Результат не делится нацело ни на одно из предыдущих простых чисел, и уж тем более ни на одно из составных. Получается, что результат делится только сам на себя и на 1, а значит — это простое число. Этот способ всегда позволяет сконструировать новое простое число, которое больше «самого последнего». Значит, простых чисел бесконечное количество. Доказали.👌

Теперь второй вопрос: как найти простое число, зная только его номер?
Есть решето Эратосфена — о нём мы писали ранее. Этот алгоритм позволяет последовательно находить все простые числа. Но есть проблема: с увеличением чисел время на его реализацию растёт с огромной скоростью. Поэтому этот алгоритм неудобно использовать, чтобы найти очень большие простые числа.

Удобным вариантом была бы формула, которая по номеру простого числа помогала бы вычислить само число. К сожалению, попытки найти такую формулу не привели к успеху.

Лучшее, что получалось, — формулы, которые выдают простые числа часто, но не всегда. Одну из таких формул предложил известный математик Леонард Эйлер. Выглядит она так:
n² - n + 41. Числа, рассчитанные по ней, являются простыми для n = 0, 1, …, 40. Но при n = 41 значение обращается в 41² — а это уже составное число. При n = 42 тоже неудача.

Однако при n = 43 и дальше формула снова работает — часто, но не всегда. Определите, при каком n она ломается в следующий раз? Ответы присылайте под скрытым текстом.

И ещё раз привет!
Напоминаем, что сегодня последний день, когда вы можете решить задачу и воспользоваться скидкой на курс «Математика для анализа данных». Подробности в посте.

АПД к предыдущему посту: у нас тут были неполадки с промокодом.
Сейчас всё починили, извините за неудобства. :)

Продлили его действие на завтрашний день, чтобы все желающие точно успели. 😊

Привет!
Разберём цветочную задачу с прокомодом.
Напомним условие:

В ночь на 8 марта цветочный магазин был пуст. Утром приехала фура с тюльпанами и розами. Всего привезли 1440 цветов, из них 25% красных. Среди тюльпанов красных — 10%, а среди роз — 30%. На сколько штук тюльпанов было меньше, чем роз?

Обозначим количество тюльпанов за t, количество роз — за r. Всего цветов 1440, значит, t + r = 1440. Это наше первое уравнение.
По условию 25% от всех цветов — красные, это 0.25*1440 = 360 штук. Из тюльпанов красных 10%, в штуках это 0.1t цветов. Из роз красных 30%, то есть 0.3r штук. Всего получается 0.1t + 0.3r. Запишем второе уравнение: 0.1t + 0.3r = 360.

Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
t + r = 1440;
0.1t + 0.3r = 360.

Домножим второе уравнение на 10:
t + r = 1440;
t + 3r = 3600.

Вычтем из второго уравнения первое, результат запишем на второй строчке:
t + r = 1440;
2r = 2160.

Из второго уравнения получаем r = 1080. Тогда из первого уравнения t = 1440 - 1080 = 360.
Значит, в магазин привезли 1080 роз и 360 тюльпанов. Роз на 1080 - 360 = 720 штук больше.

Поздравляем всех, кто воспользовался промокодом. Набор на курс «Математика для анализа данных» идёт постоянно, можно присоединиться в любой день. Будем рады видеть вас среди студентов нового потока. ☺️

Недавно мы писали, что привычная нам геометрия Евклида — не единственная из возможных, а есть ещё геометрии Лобачевского и Римана. Сегодня продолжим эту тему.

Давайте ещё раз посмотрим на «прямые» в каждой из геометрий. В геометрии Евклида прямые действительно прямые. 😅
А вот в других геометриях объекты, которые называют прямыми, на самом деле изогнутые: ведь сами поверхности, на которых они находятся, имеют изгиб. Из-за этого возникает неожиданное свойство у треугольников.

В геометрии Евклида сумма углов в треугольнике всегда равна 180°, а в других геометриях это утверждение неверно.
В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника меньше 180°. Конкретное значение не зафиксировано — оно может меняться в зависимости от того, как изогнута поверхность и от места расположения треугольника на поверхности.
В геометрии Римана сумма углов в треугольнике больше 180°, но меньше 540°, фиксированного значения тоже нет. Конечно, сфера сама по себе меняться не может, но сумма углов зависит от выбранного треугольника. Поэтому в геометрии Римана существует, например, треугольник, все углы которого — прямые, то есть, по 90°. Ну очень прямоугольный треугольник!

Эти свойства интересны не только в теоретическом смысле, но и имеют практическое применение — например, в астрономии. Планеты по форме близки к шару, поэтому удобно изучать их с помощью геометрии Римана. Находить радиус планеты помогает именно сферический треугольник на её поверхности. Для этого используют формулу: R² = S / (∠A + ∠B + ∠C - π). Здесь R — радиус планеты, S — площадь этого треугольника, ∠A, ∠B, ∠C — его углы в радианах.

Мы ещё поговорим о применении неевклидовых геометрий в следующих постах!

Вокруг изучения математики витает много вопросов, например:

• Зачем студенты поступают на математические специальности и как они там учатся?
• Чем занимаются люди, которые закончили такие специальности?
• Где именно в Data Science нужна математика?
• В каком возрасте стоит учить математику и не поздно ли уже?
• Почему сложно учить математику одному?
• Как учить и всё-таки выучить?
• В чём смысл учить математику кроме собственно знаний?

Эти и другие вопросы обсуждают в подкасте факультета компьютерных наук ВШЭ. На наш взгляд, он получился полезный, при этом позитивный и недушный. Поэтому и делимся с вами. 😊

Бонус от гостя подкаста — подборка книг, которые помогут изучить математику для машинного обучения и анализа данных. Книги в подборке разделены по уровням подготовки. Если хотите подступиться к математике, но не знаете как — рекомендуем заглянуть.

О словах

Бывают понятия, которые встречаются в разных науках. Сегодня поговорим о словах — их изучают и лингвистика, и математика.

Слова состоят из букв, набор всех букв данного языка в лингвистике называют алфавитом. Например, бывает русский, английский, арабский, кхмерский и другие алфавиты. С помощью букв алфавита люди образуют слова, а слова образуют язык.

В математике же алфавитом может быть любое множество букв. Например, {ж, у, к} — это некоторый алфавит. В математическом алфавите необязательно должны быть только буквы одного языка. Более того, буквой здесь может быть любой символ. Например, {ф, j, +} — это тоже алфавит, в нём три буквы, из них можно составлять слова.

С точки зрения лингвистики, слова должны иметь смысл. Например, «конь» — это слово, а вот «окнь» уже нет. В математике слово — это просто любая упорядоченная последовательность букв: «конь», «окнь», «ьььнько» и любое другое. Буквы могут идти в любом порядке и повторяться любое количество раз — каждое изменение порождает новое слово. В англоязычной терминологии вместо «слова» используют термин «строка» (string).

Напоследок, как обычно, задачка. Возьмём алфавит из четырёх букв: {а, с, н, о}. Пусть множество T состоит из всех слов этого алфавита с длиной не более трёх букв.
1) Сколько элементов содержится во множестве T?
2) Какие из этих слов осмысленные в русском языке? Давайте выделим все осмысленные слова, любых частей речи и падежей.

Во вчерашней задаче нужно было составить слова: математические и осмысленные русские. Решаем!

1) Количество математических слов вычислим через правило произведения.
В нашем алфавите 4 буквы, и внутри слова они могут повторяться, так что получим:
однобуквенных слов — 4,
двухбуквенных — 4*4=16 штук,
трёхбуквенных — 4*4*4=64.
Всего получаем 4+16+64=84 слова.

2) В первом комментарии мы выпишем все эти слова и подпишем осмысленные. Стиль оформления позаимствовали у нашего подписчика Макса. Макс, спасибо вам!
Чтобы ничего не потерять, запишем слова в лексикографическом порядке. На некоторые неочевидные даём ссылки. Многие слова — аббревиатуры, но имеют значение! Мы даже не ожидали, что получим столько осмысленных слов.

Итог такой: 3 однобуквенных + 16 двухбуквенных + 48 трёхбуквенных = 67 слов уже нашли применение в русском языке, а у остальных 16 всё ещё впереди или пока википедия о них не знает. 😉