Как присоединиться к чату?

1) Откройте комментарии под постом
2) Нажмите на "Обсуждение" сверху
3) Нажмите на "Посмотреть обсуждение"

Да, этот канал в ближайшие дни я переименую, потому что тут уже собралось неожиданно много людей (спасибо вам всем!). Для интенсива будут отдельный канал и чат, чтобы не путаться. Этот канал останется для объявлений, занимательных задач и общения на тему образования

♟ Правильные банальности

Вчера я начал публикацию серии задач для самопроверки учеников и их родителей - и очень рад, что некоторые из вас уже их решили! Темой вчерашних задач были целые числа, и, думаю, они не вызвали у вас больших затруднений. Тем не менее, даже на таких несложных примерах можно прикоснуться к важным и неочевидным идеям. Для тех, кто пропустил или хочет проверить себя - приведу краткое решение задач А и Б из вчерашнего поста:

А) Задача про календарь:

1) Январь содержит 31 день.
2) 31 / 7 = 4 полных недели (28 дней) + 3 дня остаток.
3) Это означает, что 3 дня недели повторятся 5 раз, а 4 дня – 4 раза.
4) Раз, по условию задачи, в месяце было 4 понедельника и 4 пятницы, 5 раз выпадут вторник, среда, четверг.
5) Первый из этих дней - вторник - и будет днём недели, в который начался январь.

🧩 Звучит просто? Но это самый настоящий пример перехода между системами счисления! Сами того не замечая, провели операцию в семеричной системе счисления: разделили 31 день января на 7 дней недели, чтобы понять, на какой день недели у нас выпадет 1 января. Мы проделываем такие "кульбиты" каждый день, сами того не замечая: например, мы используем шестидесятеричную систему счисления каждый раз, когда глядим на часы. И не видим в этом ничего особенного! 😄

Б) Решение задачи про Мальвину и Буратино требует составить и решить линейное уравнение:

1) 15x + 4 = 4x + 15 (сгруппируем слагаемые)
2) 11x = 11
3) x = 1

🧩 Правила решения таких уравнений выучиваются как раз в пятом-шестом классе. И за этой, обманчиво простой, записью, на самом деле кроется нетривиальный мыслительный процесс! Каждый шаг основывается на безошибочном применении базовых правил математики.

Многие ошибки моих учеников возникают именно из-за автоматического применения правил без понимания их логической основы – "молчаливых предположений", которые они затвердили как "Отче наш" и даже не задумываются о их смысле.

Часто мы воспринимаем привычные вещи либо как недоступную для понимания истину, которую надо просто принять, либо как избитый трюизм. Но на проверку в них может оказаться совершенно неожиданная глубина и сложность. А замечали ли вы сами, как задачи, которые казались вам поначалу титанически сложными, стали со временем вообще не требовать приложения мыслительных усилий? И попадали ли вы впросак из-за такой обманчивой простоты привычных дел?

(на картинке - Койот Вилли из "Весёлых Мелодий". Его несчастья очень часто связаны с попытками чего-то достичь, не понимая сути проблемы)

#правильности #коварныезадачки

🧩 Очередная порция задачек из рубрики #коварныезадачки

На этот раз сложность повышается - мы приступаем к теме "последовательность действий". Правильная последовательность вычисления в математике так же важна, как правильная постановка запятой в предложении "казнить нельзя помиловать", и, точно так же, может означать разницу между жизнью и смертью. Но сегодня мы, конечно же, не будем играть с такими высокими ставками.

Напоминаю алгоритм решения задач:

🖊 Сперва перепишите условие.

🤓 Подумайте, где в задаче "зарыта собака".

✅ Когда решили задачу - проверьте ответ!

📜И только после проверки - напишите его в чат.

🔎 Посмотрите на чужие ответы. Нашли ошибки? Помогите их исправить!

А) При помощи 5 цифр «2», скобок и операций сложения, вычитания, умножения и деления получите выражения, равные числам от 2 до 16.

Пример: (2 + 2) – (2 + 2 : 2) = 1

Б) Нейросети "Алиса" был задан вопрос, как решить подобную задачу для числа 17. Вот что она предложила:

Для получения числа 17 из пяти двоек можно использовать различные математические операции, такие как сложение, умножение, возведение в степень, а также скобки для изменения порядка выполнения операций. Один из возможных способов:

17 = 22-2-2:2

Разберём это выражение по шагам:

1. Сначала составим число 22 из двух двоек: 22.

2. Вычтем из 22 две двойки: 22- 2- 2 = 18-2 = 16.

3. Далее, разделим одну двойку на другую: 2 : 2 = 1.

4. И, наконец, вычтем результат деления из предыдущего результата: 16 + 1 =17.

В чём ошиблась "Алиса"? Как решить эту задачу для числа 17?

Примечание: операция "составим 22 из двух двоек" - не ошибочная. Почему - обсудим завтра!

#порядок_действий

Доброе утро!

За ночь под последней записью развернулась кипучая работа, одно удовольствие читать! Если ещё не видели - загляните в комментарии предыдущего поста.

♟ Правильные банальности: что такое цифра и что такое число?

Вчера, в разборе задачи про календарь, мы обнаружили связь между распределением дней недели и операцией деления с остатком. Я упомянул, мы, по сути, "использовали семеричную систему счисления". Но сразу же встаёт вопрос: что то вообще такое - система счисления? Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно сперва понять разницу между числами и цифрами.

Число в записи - это не совсем то же самое, что и просто число. Запись - это образ, который позволяет нам понять, о каком числе идёт речь. Запись числа состоит из цифр - символов, которые выполняют для чисел ту же функцию, что и буквы для слов нашего языка. Число - это идея, означающая некое количество, а цифра - это всего лишь знак, который позволяет нам выразить эту идею и передать её другим людям.

Тогда можно сказать, что система счисления - это особая грамматика для записи чисел, которая пользуется цифрами, как алфавитом. Слова, имеющие одни и те же значения, мы можем записывать разными алфавитами, и любое число мы можем записать, используя самые разные системы счисления и наборы цифр.

Задача на подумать: какие вы можете вспомнить системы счисления и наборы цифр?

На картинке: страница из математического кодекса древних Майя

#правильности #цифры #системы_счисления

🧩 Коварные задачки

Сегодня - задачи на тему "обыкновенные дроби". Обыкновенные дроби - одно из самых основополагающих понятий, которые закладываются в начальной школе. Без понимания методов решения задач на дроби невозможно продвинуться дальше в изучении математики. Например, как и для многих других типов задач, бывает очень полезно составить рисунок.

Напоминаю алгоритм решения задач:

🖊 Сперва перепишите условие (и составьте рисунок, если он напрашивается!).

🤓 Подумайте, где в задаче "зарыта собака".

✅ Когда решили задачу - проверьте ответ!

📜И только после проверки - напишите его в чат.

🔎 Посмотрите на чужие ответы. Нашли ошибки? Помогите их исправить!

А)

Васе задали задачу: вычислить выражение (5 : 35) : (70 : 14).

Сначала Вася раскрыл все скобки:

1) 5 : 35 : 70 : 14

Затем начал вычислять результат слева направо:

2) 5 : 35 = 1 / 7

3) 1 / 7 : 35 = 1 / 245

4) 1 / 245 : 70 = 1 / 17 150

5) 1/ 17 150 : 14 = 1 / 240 100

Правильный ли получил ответ Вася? А если нет – то какой ответ он должен был получить?

Б)

Хозяйка испекла пирог. В гости на чай к ней придут либо 5 гостей, либо 7. На какое минимальное количество кусочков нужно разрезать пирог, чтобы его можно было поровну (по количеству пирога, а не по количеству кусочков) раздать всем гостям?

#коварныезадачки #обыкновенные_дроби

Добрый день!

При подготовке лекций для курса и для занятий с учениками мне приходится пользоваться множеством разных источников. Хотя образовательный стандарт задаёт общие контуры того, какие темы должны быть освещены в учебнике, всё же, у учебника каждого автора (а иногда у разных редакций одного и того же учебника) есть свои сильные и слабые стороны. Кому-то нравится Никольский, кому-то Виленкин (по 6 классу). По геометрии кто-то предпочитает Атанасяна, а кто-то - Погорелова. По физике многим не нравится Пёрышкин, да и разница между советскими и российскими изданиями учебника Пёрышкина - колоссальная.

Давайте поделимся друг с другом опытом. Какие учебники вы считаете лучшими? Почему?

🧩 Коварные задачки

Продолжим изучение свойств дробных чисел. Сегодня я предлагаю вам задачу, которая была записана примерно в 1550 году до Рождества Христова и обнаружена... антикваром Александром Риндом, которому однажды принесли на продажу обнаруженный в руинах Рамсессеума папирус. Этот папирус был переписан писцом Ахмесом, и в современной науке известен как "папирус Ахмеса" или "папирус Ринда"

Этот папирус содержит более 80 задач на все области арифметики, известной древним египтянам. Значительная его часть посвящена расчёту дробей 2/n.

Дело в том, что египтяне пользовались, в основном, только дробями, в числителе которых стояла единица: 1/2, 1/3, 1/4, и так далее. Такие дроби называются египетскими, или единичными. Кроме них они широко использовали только дроби 2/3 и 3/4. Кроме того, согласно правилам египетской арифметики, ни одна дробь не могла входить в расчёт более одного раза.

Для любого египетского писца было важно уметь рассчитать результат деления любых двух чисел в виде суммы египетских дробей, и таблица 2/n, в которой были приведены расчёты для нахождения удвоенных египетских дробей, была важным подспорьем для них.

Дробь 2/41, например, египтяне рассчитывали как 1/24 + 1/246 + 1/328.

Найдите разложения дробей 2/5, 2/7, 2/9, 2/11, 2/13 и 2/33 в виде суммы египетских дробей

Напоминаю алгоритм решения задач:

🖊 Сперва перепишите условие (и составьте рисунок, если он напрашивается!).

🤓 Подумайте, где в задаче "зарыта собака".

✅ Когда решили задачу - проверьте ответ!

📜И только после проверки - напишите его в чат.

🔎 Посмотрите на чужие ответы. Нашли ошибки? Помогите их исправить!

#коварныезадачки #история_математики #обыкновенные_дроби

📷 Фото и название канала меняется в преддверии запуска курса. Извините за неудобства!

🧩 Коварные задачки

Похоже, что вчерашняя задачка многим была не по зубам. Простите меня за это! Если у вас не получилось её сразу решить, не огорчайтесь: всегда труднее работать "от конца к началу", искать решение (разложение числа на слагаемые) по ответу (дроби 2/n).

Сегодня я предлагаю вам задачи на тему "десятичные дроби". Задачи разбиты на 2 части по уровню сложности:

Часть А - это примеры, которые должны быть в состоянии решить все, кто закончил 5 класс

Часть Б - это примеры повышенной сложности, для тех, кто закончил 6 класс (ну и для вас, родители, конечно же!)

А)

1. Расположите в порядке возрастания дроби: 1/1, 2/2, 1/3, 0.3, 15/16, 0.9, 1/2, 0.5

2. Вычислите квадрат 0.8

3. Рассчитайте, чему будет равно 0.4 + 1/4

Б)

1. Вычислите 0,3 (12,34 + 5,6)

2. Напоминание: периодической дробью называют число, в записи которого бесконечно повторяется какая-то группа цифр. Эта группа записывается в скобках: например, 0,(123) - это запись числа, которое равно 0,123123123123123.... - и так до бесконечности.
Найдите, чему равно 0.(9), 0.(3), 0.(5), 0.(12)

3. Катя отпила из чашки половину находившегося в ней молока. Затем она отпила половину оставшегося молока, а остальные 68 граммов допила кошка Мурка. Сколько граммов молока было в чашке сначала? Запишите решение с объяснением.

Напоминаю алгоритм решения задач:

🖊 Сперва перепишите условие (и составьте рисунок, если он напрашивается!).

🤓 Подумайте, где в задаче "зарыта собака".

✅ Когда решили задачу - проверьте ответ!

📜И только после проверки - напишите его в чат.

🔎 Посмотрите на чужие ответы. Нашли ошибки? Помогите их исправить!

#коварныезадачки #обыкновенные_дроби #десятичные_дроби

📝 Как же решать задачи из папируса Ахмеса? (1/1)

Да, должен признать - древние египтяне были теми ещё затейниками. Ну, неужели им было так сложно просто научиться считать при помощи дробей 2/n? Это было возможно: например, вавилоняне пользовались куда более удобной системой, напоминавшей наши десятичные дроби.

Однако, недостойно математика отказываться от задачи только потому, что она сложная и не имеет практического значения! Поэтому, попробуем всё-таки найти разложения дробей, которые устроили бы придирчивого Ахмеса.

Первая важная подсказка: все дроби от 2/3 до 2/100 можно представить в виде суммы двух или трёх египетских дробей. Из этого следует:

1️⃣ Решением задачи является сумма двух или трёх не равных друг другу египетских дробей , упорядоченных в порядке возрастания знаменателей.

2️⃣ Если числа 2, то первое должно быть больше, чем половина исходного, а второе - меньше, чем половина.

3️⃣ Если числа 3, то первое должно быть больше, чем треть от исходного, а третье - меньше, чем треть. При этом, зачастую, первое число оказывается больше половины исходного!

(продолжение следует)

🔽🔽🔽

📝 Как же решать задачи из папируса Ахмеса? (2/2)

(начало выше) 🔼🔼🔼

Начнём с дроби 2/3. Хотя египтяне использовали для её обозначения специальный значок, тем не менее, в папирусе Ахмеса приводится разложение и для неё.

Сначала попробуем найти её разложение в сумму двух египетских дробей. Половина от 2/3 равна 1/3. Это значит, что первое слагаемое будет между 2/3 и 1/3, а второе - между 1/3 и 0.

Предположим, что первое слагаемое - 1/2. Тогда остаётся 2/3 - 1/2 = 1/6. Но 1/6 - это египетская дробь!

Значит, 2/3 = 1/2 + 1/6

Немного усложним задачу - попробуем найти разложение для 2/19. Сначала, попробуем найти его в виде суммы двух египетских дробей, большая из которых лежит в диапазоне от 1/19 до 2/19 (чуть больше, чем 1/10).

Будем перебирать подходящие числа в порядке возрастания знаменателей и смотреть, не получится ли у нас чего-то интересного:

2/19 - 1/10 = 20/190 - 19/190 = 1/190

С первой попытки мы уже нашли разложение в две дроби! Однако, в папирусе оно не используется. Возможно, египетским писцам оно показалось слишком неудобным для практического использования.

Решение, которое приводится в папирусе, начинается с 1/12:

2/19 - 1/12 = 24/228 - 19/228 = 5/228

5/228 = 4/228 + 1/228

Далее, нам нужно найти разложение числа 4/228. Так как оно чётное, мы можем сократить дробь и получить 1/57. И вот мы получаем "каноническое" представление числа 2/19 как суммы трёх египетских дробей:

2/19 = 1/12 + 1/57 + 1/228

Надеюсь, это поможет вам попробовать собственные силы в решении задач из папируса!

🌧 Суббота - работать не охота

Доброе утро! Вчера Петербург порадовал своих жителей одним днём хорошей погоды - и, видимо, решил что этого довольно. Гулять даже просто морально тяжело. А как проходит ваше лето?

Я несколько раз перечитывала объяснение, потому что изо всех сил пыталась понять, зачем вообще египтяне так считали. И вот, когда встретила упоминание о том. что в Вавилоне использовались нормальные десятичные дроби, появилась такая гипотеза. Древняя Месопотамия - это серия цивилизаций, сменяющих друг друга. но некоторые из них были очень похожи по строю и экономике на СССР с его продразверсткой и уравниловкой. В некоторых династиях Шумера и Аккада идея равного распределения воплощалась с маниакальным упорством. Соответственно. им для всей этой уравниловки нужны были именно нормальные десятичные дроби. А вот в Египте общество было до мозга костей иерархичным. И поэтому. наверное, египетским математикам вообще не нужно было думать, как распрпеделять урожай поровну, им сама идея "равенства" была глубоко чужда. Урожай распределялся по номам (областям Египта) неравномерно. и внутри нома тоже неравномерно: большая часть отходила номарху и уходила в закрома следующая. меньшая -для пропитания и содержания его семьи и приближенных. еще меньшая - для слуг, крестьян и рабов. Я пока не разложила ни одной дроби, прошу прощения, но я еще не теряю надежды это сделать, потому что когда я сама себе объяснила. почему они такие странные. мне стало интересно повозиться с задачкой с культурологической, а не только математической целью.

♟ Сколько цифр было в славянской системе счисления?

В продолжение нашего разговора о системах счисления я не мог не затронуть такую интересную тему, как славянская цифирь. В течение многих столетий наша страна пользовалась для записи чисел обычными буквами кириллического алфавита. Русь не была одинока в этом: в то же время в Европе для записи чисел использовали латинские, а в Византии - греческие буквы. Единственным знаком, который отличал в записи числа от слов, было титло. Титло следовало писать над второй буквой справа.

Я не смог точно выяснить, когда цифирь получила широкое распространение и когда вышла из употребления. Скорее всего, будучи калькой с греческой системы счёта, она пришла к нам, вместе с грамотой, в районе 9 столетия, а начала вытесняться арабскими цифрами где-то в 17 веке. Если среди подписчиков канала есть специалисты по этой теме, я буду очень благодарен за уточнения!

Что такое цифра? Большая Российская Энциклопедия даёт очень общее определение термина - "знак для обозначения числа". Такие же определения дают Даль, Ожегов и Ушаков. При этом, даётся и подсказка: в словарях насчитывается 7 римских цифр I, V, X, L, C, D, M. Используя эти знания, определим, что считается цифрой, а что - нет.

Для этого отправимся в статью "Римские цифры" Википедии. И обнаружим: для записи тысяч римляне писали над обычный цифрой черту сверху, а для записи миллионов - две черты. Значит, значок ҂, который в цифири использовался для обозначения что дальше идёт число тысяч, цифрой не является. Так же и другие символы, образованные из основных цифр: тьмы, легионы, клады...

Итак, подытожим: цифра - это не любой знак, который обозначает отдельное число, а только те знаки, которые могут употребляться сами по себе.

Задача на сегодня:

1) Какие буквы на изображении сверху имеют самостоятельное числовое значение?
2) Сколько их?
3) Есть ли среди них ноль?
4) Как записать текущий год в цифирном обозначении?

📝 Vox populi - vox dei

(Глас народа - глас божий. Латинская поговорка)

Меня безумно радует, что нас в этом канале уже больше 400! Неделю назад я и мечтать не мог о таком внимании к моей деятельности, и, честно говоря, формат работы пришлось менять "на лету" 😄.

Поэтому время от времени я буду публиковать опросы, чтобы лучше понимать ваши интересы. Что бы вы хотели видеть в канале?

Первый опрос будет опубликован через несколько минут!

#опрос

🧩 Понедельник - день тяжёлый.

Продолжаем публикацию ежедневных задач! Чтобы нежно начать неделю на хорошей ноте - начнём с несложных задач на оценку. Постарайтесь решить их в уме!

А) Какое количество больше:
1. дней в десятилетии;
2. секунд в дне;
3. минут в неделе;
4. часов в году?

🎓 Теперь - более сложная задача. Для её решения вы можете пользоваться справочными ресурсами и калькуляторами, но постарайтесь не искать готовых ответов!

Б) Рассчитайте примерное число школьников в России.

#коварныезадачки

🧩 Уже заждались новой партии задач?

Извините, что заставил вас ждать. Сегодняшняя тема - текстовые задачи! Текстовые задачи - одна из самых "больных" тем для всех детей, с которыми я занимаюсь. Попробуйте решить эти задачи возрастающей сложности:

А)

Офеня купил на оптовом рынке партию ручек и предлагает покупателям либо одну ручку за 5 рублей, либо три ручки за 10 рублей. От каждого покупателя Офеня получает одинаковую прибыль. Сколько Офеня заплатил за ручки?

Б)

Гена пошёл с папой в тир. Договорились, что Гена делает 5 выстрелов и за каждое попадание в цель получает право сделать ещё 2 выстрела. Всего Гена сделал 17 выстрелов. Сколько раз он попал в цель?

В)

Когда "послезавтра" станет "вчера", то "сегодня" будет так же далеко от воскресенья, как тот день, который был "сегодня", когда "вчера" было "завтра". Как вы думаете, какой сегодня день недели?

Напоминаю алгоритм решения задач:

🖊 Сперва перепишите условие (и составьте рисунок, если он напрашивается!).

🤓 Подумайте, где в задаче "зарыта собака".

✅ Когда решили задачу - проверьте ответ!

📜И только после проверки - напишите его в чат.

🔎 Посмотрите на чужие ответы. Нашли ошибки? Помогите их исправить!

#коварныезадачки

📜 Так сколько же цифр было у древних славян?

На самом деле, ответить на этот вопрос совсем не трудно. Посмотрите на картинку к исходной записи. Буквы от А до Д соответствуют нашим цифрам. I - это десять, и буквы от К до Ч - это десятки от 20 до 90. Дальше, от Р и до Ц идут сотни. Для тысяч уже нет отдельных цифр.

Интересно, что такая система счисления будет частично - позиционной, а частично - нет. Кроме того, можно заметить, что числа от 10 до 20 записываются иначе, чем все остальные - в них сначала идёт число единиц, а потом йота.

Сравните это с тем, как мы считаем вслух - мы говорим, например, пят-на-дцать, но двадцать-пять. Получается, такая система лучше отражает наш язык, но хуже приспособлена для расчетов.

Попрактикуйтесь в незнакомой системе счисления. Попробуйте записать цифирью:

А) День рождения Александра Сергеевича Пушкина
Б) Дату основания Санкт-Петербурга
В) Сегодняшнюю дату