🔎 Неделя 3

👉 Тема 5. Пропорции и равенства

- Равенство
- Тождественные преобразования равенства
- Пропорция
- Основное свойство пропорции
- Прямая и обратная зависимость
- Решение текстовых задач на пропорции

👉 Тема 6. Линейные уравнения и неравенства

- Неравенство
- Тождественные преобразования неравенств
- Линейное уравнение с одной переменной
- Этапы математического моделирования
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Решение текстовых задач на линейные уравнения

🔎 Неделя 4

👉 Тема 7. Начала геометрии

- Площади и периметры фигур
- Задачи на нарезку фигур
- Симметрия
- Координаты и графики

👉 Тема 8. Повторение и углубление

- Формулы сокращённого умножения для упрощения вычислений
- Приемы решения олимпиадных задач
- Итоговое повторение по запросам слушателей

Друзья, уже больше половины мест на курс заполнено! 🎉

Я не ожидал такого интереса к моему курсу. Спасибо всем огромное за ваше доверие!

В ближайшие дни в канале будут выкладываться разные материалы для самоподготовки. Для тех, кто колеблется - будет тест по 5-6 классам для самопроверки

Не отключайтесь!

⚡️К сожалению, набор на курс закрывается.

Уже набрана достаточно большая группа, и чтобы уделить должное внимание каждому ученику, численность группы придётся ограничить. Я обязательно сообщу, если в группе освободятся места.

Не расстраивайтесь - впереди ещё будут возможности совместной работы!

Всех кто успел записаться на курс - поздравляю, и с нетерпением жду начала нашей совместной работы! Чуть позже всем вам я перешлю ссылку на канал, в котором мы будем работать, и в котором будут выложены материалы.

🌞 Добрый день!

И он действительно добрый, судя по сегодняшнему прогнозу в Санкт-Петербурге

Вчера меня много спрашивали - подойдет ли мой курс для пятиклашек, не будет ли слишком сложно? А для закончивших шестой класс - не будет ли слишком просто?

Отвечаю: я не знаю! 😄

📝 Когда в математике мы чего-то не знаем, мы сразу берём ручку и тетрадку и начинаем считать! Вот и я вам всем (и ребятам, и их родителям) предлагаю посчитать.

Начиная с сегодняшнего дня, я в течение недели буду выкладывать в канал занимательные задачки повышенной сложности по курсу 5 и 6 классов. Я уверен, что, хорошенько потрудившись, их смогут решить и пятиклассники, и шестиклассники, и их родители 🤓.

Если вы не сможете решить какие-то задачи - не расстраивайтесь. Это просто значит, что вам надо поработать над собой 💪. Ну а если все задачи даются вам легко и без проблем - гордитесь (и ждите порции задачек для следующего класса)

Первая часть задачек будет через 5 минут ровно 🔽🔽🔽

#объявление #коварныезадачки

🧩 Коварные задачки, часть первая

Натуральные и отрицательные числа

Регламент: решайте задачки самостоятельно, не подглядывая в интернет и не открывая чат! Калькуляторами пользоваться разрешается только тем, кто уже закончил 11 класс 😂

🖊 Сперва перепишите условие на лист бумаги - да-да, от руки, карандашом или ручкой! Переписывайте только то, что кажется вам важным. Постарайтесь понять, какие части задачи самые важные, а какие - просто отвлекают ваше внимание. Иногда бывает полезно не только записать условие словами, но и нарисовать рисунок!

🤓 Переписали? Подумайте, где в задаче "зарыта собака". И начинайте решать!

✅ Когда решили задачу - проверьте ответ! Подходит ли он под записанное вами условие? А под исходную версию? Не нарушает ли он здравого смысла?

📜И только после проверки - напишите его в чат.

🔎 Посмотрите на чужие ответы. Нашли ошибки? Помогите их исправить! Обнаружили, что сами ошибались? Исправьте свой ответ, приписав к нему "P. S.". Не надо стирать следы своих ошибок - они помогут научиться другим!

А) Решите, не подглядывая в календарь. Известно, что в январе четыре пятницы и четыре понедельника. На какой день недели приходится 1 января?

Б) Мальвина велела Буратино умножить число на 4 и к результату прибавить 15, а Буратино умножил число на 15 и потом прибавил 4, однако, ответ получился верный. Какое это было число?

В) Эту задачку вы все, наверняка, уже решали - так что не подсказывайте друг другу!
Трое туристов устали в пути и зашли пообедать на постоялый двор. Прекрасно отобедав, они оставили на столе 30 рублей, по 10 с каждого человека. Затем все трое вышли из ресторана и направились дальше. Когда пришла хозяйка, она увидела 30 рублей и удивилась, ведь клиенты отобедали всего на 25 рублей. Добрая женщина решила вернуть путешественникам сдачу и отправила 5 рублей с мальчиком-посыльным. Тот нашел туристов и отдал им деньги. Каждый из них взял себе по 1 рублю, а оставшиеся 2 вернулись мальчику в качестве чаевых.
Когда мальчик вернулся обратно, хозяйка отругала его за недостачу:

- Негодник! Думал, я не пойму, что ты решил меня облапошить? Каждый из гостей потратил 10 рублей, а потом забрал обратно себе по одному рублю, верно? Значит, пообедали они на 9 + 9 + 9 = 27 рублей, так? Ещё 2 рубля, как ты говоришь, они дали тебе на чай. Получается, 29 рублей – рубля не хватает! Если бы ты честно принес мне этот рубль, я бы дала тебе его за беготню, но ты решил его прикарманить – отдавай сейчас же, а не то прогоню тебя прочь, жулик!

Куда делся рубль?

#коварныезадачки

Как присоединиться к чату?

1) Откройте комментарии под постом
2) Нажмите на "Обсуждение" сверху
3) Нажмите на "Посмотреть обсуждение"

Да, этот канал в ближайшие дни я переименую, потому что тут уже собралось неожиданно много людей (спасибо вам всем!). Для интенсива будут отдельный канал и чат, чтобы не путаться. Этот канал останется для объявлений, занимательных задач и общения на тему образования

♟ Правильные банальности

Вчера я начал публикацию серии задач для самопроверки учеников и их родителей - и очень рад, что некоторые из вас уже их решили! Темой вчерашних задач были целые числа, и, думаю, они не вызвали у вас больших затруднений. Тем не менее, даже на таких несложных примерах можно прикоснуться к важным и неочевидным идеям. Для тех, кто пропустил или хочет проверить себя - приведу краткое решение задач А и Б из вчерашнего поста:

А) Задача про календарь:

1) Январь содержит 31 день.
2) 31 / 7 = 4 полных недели (28 дней) + 3 дня остаток.
3) Это означает, что 3 дня недели повторятся 5 раз, а 4 дня – 4 раза.
4) Раз, по условию задачи, в месяце было 4 понедельника и 4 пятницы, 5 раз выпадут вторник, среда, четверг.
5) Первый из этих дней - вторник - и будет днём недели, в который начался январь.

🧩 Звучит просто? Но это самый настоящий пример перехода между системами счисления! Сами того не замечая, провели операцию в семеричной системе счисления: разделили 31 день января на 7 дней недели, чтобы понять, на какой день недели у нас выпадет 1 января. Мы проделываем такие "кульбиты" каждый день, сами того не замечая: например, мы используем шестидесятеричную систему счисления каждый раз, когда глядим на часы. И не видим в этом ничего особенного! 😄

Б) Решение задачи про Мальвину и Буратино требует составить и решить линейное уравнение:

1) 15x + 4 = 4x + 15 (сгруппируем слагаемые)
2) 11x = 11
3) x = 1

🧩 Правила решения таких уравнений выучиваются как раз в пятом-шестом классе. И за этой, обманчиво простой, записью, на самом деле кроется нетривиальный мыслительный процесс! Каждый шаг основывается на безошибочном применении базовых правил математики.

Многие ошибки моих учеников возникают именно из-за автоматического применения правил без понимания их логической основы – "молчаливых предположений", которые они затвердили как "Отче наш" и даже не задумываются о их смысле.

Часто мы воспринимаем привычные вещи либо как недоступную для понимания истину, которую надо просто принять, либо как избитый трюизм. Но на проверку в них может оказаться совершенно неожиданная глубина и сложность. А замечали ли вы сами, как задачи, которые казались вам поначалу титанически сложными, стали со временем вообще не требовать приложения мыслительных усилий? И попадали ли вы впросак из-за такой обманчивой простоты привычных дел?

(на картинке - Койот Вилли из "Весёлых Мелодий". Его несчастья очень часто связаны с попытками чего-то достичь, не понимая сути проблемы)

#правильности #коварныезадачки

🧩 Очередная порция задачек из рубрики #коварныезадачки

На этот раз сложность повышается - мы приступаем к теме "последовательность действий". Правильная последовательность вычисления в математике так же важна, как правильная постановка запятой в предложении "казнить нельзя помиловать", и, точно так же, может означать разницу между жизнью и смертью. Но сегодня мы, конечно же, не будем играть с такими высокими ставками.

Напоминаю алгоритм решения задач:

🖊 Сперва перепишите условие.

🤓 Подумайте, где в задаче "зарыта собака".

✅ Когда решили задачу - проверьте ответ!

📜И только после проверки - напишите его в чат.

🔎 Посмотрите на чужие ответы. Нашли ошибки? Помогите их исправить!

А) При помощи 5 цифр «2», скобок и операций сложения, вычитания, умножения и деления получите выражения, равные числам от 2 до 16.

Пример: (2 + 2) – (2 + 2 : 2) = 1

Б) Нейросети "Алиса" был задан вопрос, как решить подобную задачу для числа 17. Вот что она предложила:

Для получения числа 17 из пяти двоек можно использовать различные математические операции, такие как сложение, умножение, возведение в степень, а также скобки для изменения порядка выполнения операций. Один из возможных способов:

17 = 22-2-2:2

Разберём это выражение по шагам:

1. Сначала составим число 22 из двух двоек: 22.

2. Вычтем из 22 две двойки: 22- 2- 2 = 18-2 = 16.

3. Далее, разделим одну двойку на другую: 2 : 2 = 1.

4. И, наконец, вычтем результат деления из предыдущего результата: 16 + 1 =17.

В чём ошиблась "Алиса"? Как решить эту задачу для числа 17?

Примечание: операция "составим 22 из двух двоек" - не ошибочная. Почему - обсудим завтра!

#порядок_действий

Доброе утро!

За ночь под последней записью развернулась кипучая работа, одно удовольствие читать! Если ещё не видели - загляните в комментарии предыдущего поста.

♟ Правильные банальности: что такое цифра и что такое число?

Вчера, в разборе задачи про календарь, мы обнаружили связь между распределением дней недели и операцией деления с остатком. Я упомянул, мы, по сути, "использовали семеричную систему счисления". Но сразу же встаёт вопрос: что то вообще такое - система счисления? Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно сперва понять разницу между числами и цифрами.

Число в записи - это не совсем то же самое, что и просто число. Запись - это образ, который позволяет нам понять, о каком числе идёт речь. Запись числа состоит из цифр - символов, которые выполняют для чисел ту же функцию, что и буквы для слов нашего языка. Число - это идея, означающая некое количество, а цифра - это всего лишь знак, который позволяет нам выразить эту идею и передать её другим людям.

Тогда можно сказать, что система счисления - это особая грамматика для записи чисел, которая пользуется цифрами, как алфавитом. Слова, имеющие одни и те же значения, мы можем записывать разными алфавитами, и любое число мы можем записать, используя самые разные системы счисления и наборы цифр.

Задача на подумать: какие вы можете вспомнить системы счисления и наборы цифр?

На картинке: страница из математического кодекса древних Майя

#правильности #цифры #системы_счисления

🧩 Коварные задачки

Сегодня - задачи на тему "обыкновенные дроби". Обыкновенные дроби - одно из самых основополагающих понятий, которые закладываются в начальной школе. Без понимания методов решения задач на дроби невозможно продвинуться дальше в изучении математики. Например, как и для многих других типов задач, бывает очень полезно составить рисунок.

Напоминаю алгоритм решения задач:

🖊 Сперва перепишите условие (и составьте рисунок, если он напрашивается!).

🤓 Подумайте, где в задаче "зарыта собака".

✅ Когда решили задачу - проверьте ответ!

📜И только после проверки - напишите его в чат.

🔎 Посмотрите на чужие ответы. Нашли ошибки? Помогите их исправить!

А)

Васе задали задачу: вычислить выражение (5 : 35) : (70 : 14).

Сначала Вася раскрыл все скобки:

1) 5 : 35 : 70 : 14

Затем начал вычислять результат слева направо:

2) 5 : 35 = 1 / 7

3) 1 / 7 : 35 = 1 / 245

4) 1 / 245 : 70 = 1 / 17 150

5) 1/ 17 150 : 14 = 1 / 240 100

Правильный ли получил ответ Вася? А если нет – то какой ответ он должен был получить?

Б)

Хозяйка испекла пирог. В гости на чай к ней придут либо 5 гостей, либо 7. На какое минимальное количество кусочков нужно разрезать пирог, чтобы его можно было поровну (по количеству пирога, а не по количеству кусочков) раздать всем гостям?

#коварныезадачки #обыкновенные_дроби

Добрый день!

При подготовке лекций для курса и для занятий с учениками мне приходится пользоваться множеством разных источников. Хотя образовательный стандарт задаёт общие контуры того, какие темы должны быть освещены в учебнике, всё же, у учебника каждого автора (а иногда у разных редакций одного и того же учебника) есть свои сильные и слабые стороны. Кому-то нравится Никольский, кому-то Виленкин (по 6 классу). По геометрии кто-то предпочитает Атанасяна, а кто-то - Погорелова. По физике многим не нравится Пёрышкин, да и разница между советскими и российскими изданиями учебника Пёрышкина - колоссальная.

Давайте поделимся друг с другом опытом. Какие учебники вы считаете лучшими? Почему?

🧩 Коварные задачки

Продолжим изучение свойств дробных чисел. Сегодня я предлагаю вам задачу, которая была записана примерно в 1550 году до Рождества Христова и обнаружена... антикваром Александром Риндом, которому однажды принесли на продажу обнаруженный в руинах Рамсессеума папирус. Этот папирус был переписан писцом Ахмесом, и в современной науке известен как "папирус Ахмеса" или "папирус Ринда"

Этот папирус содержит более 80 задач на все области арифметики, известной древним египтянам. Значительная его часть посвящена расчёту дробей 2/n.

Дело в том, что египтяне пользовались, в основном, только дробями, в числителе которых стояла единица: 1/2, 1/3, 1/4, и так далее. Такие дроби называются египетскими, или единичными. Кроме них они широко использовали только дроби 2/3 и 3/4. Кроме того, согласно правилам египетской арифметики, ни одна дробь не могла входить в расчёт более одного раза.

Для любого египетского писца было важно уметь рассчитать результат деления любых двух чисел в виде суммы египетских дробей, и таблица 2/n, в которой были приведены расчёты для нахождения удвоенных египетских дробей, была важным подспорьем для них.

Дробь 2/41, например, египтяне рассчитывали как 1/24 + 1/246 + 1/328.

Найдите разложения дробей 2/5, 2/7, 2/9, 2/11, 2/13 и 2/33 в виде суммы египетских дробей

Напоминаю алгоритм решения задач:

🖊 Сперва перепишите условие (и составьте рисунок, если он напрашивается!).

🤓 Подумайте, где в задаче "зарыта собака".

✅ Когда решили задачу - проверьте ответ!

📜И только после проверки - напишите его в чат.

🔎 Посмотрите на чужие ответы. Нашли ошибки? Помогите их исправить!

#коварныезадачки #история_математики #обыкновенные_дроби

📷 Фото и название канала меняется в преддверии запуска курса. Извините за неудобства!

🧩 Коварные задачки

Похоже, что вчерашняя задачка многим была не по зубам. Простите меня за это! Если у вас не получилось её сразу решить, не огорчайтесь: всегда труднее работать "от конца к началу", искать решение (разложение числа на слагаемые) по ответу (дроби 2/n).

Сегодня я предлагаю вам задачи на тему "десятичные дроби". Задачи разбиты на 2 части по уровню сложности:

Часть А - это примеры, которые должны быть в состоянии решить все, кто закончил 5 класс

Часть Б - это примеры повышенной сложности, для тех, кто закончил 6 класс (ну и для вас, родители, конечно же!)

А)

1. Расположите в порядке возрастания дроби: 1/1, 2/2, 1/3, 0.3, 15/16, 0.9, 1/2, 0.5

2. Вычислите квадрат 0.8

3. Рассчитайте, чему будет равно 0.4 + 1/4

Б)

1. Вычислите 0,3 (12,34 + 5,6)

2. Напоминание: периодической дробью называют число, в записи которого бесконечно повторяется какая-то группа цифр. Эта группа записывается в скобках: например, 0,(123) - это запись числа, которое равно 0,123123123123123.... - и так до бесконечности.
Найдите, чему равно 0.(9), 0.(3), 0.(5), 0.(12)

3. Катя отпила из чашки половину находившегося в ней молока. Затем она отпила половину оставшегося молока, а остальные 68 граммов допила кошка Мурка. Сколько граммов молока было в чашке сначала? Запишите решение с объяснением.

Напоминаю алгоритм решения задач:

🖊 Сперва перепишите условие (и составьте рисунок, если он напрашивается!).

🤓 Подумайте, где в задаче "зарыта собака".

✅ Когда решили задачу - проверьте ответ!

📜И только после проверки - напишите его в чат.

🔎 Посмотрите на чужие ответы. Нашли ошибки? Помогите их исправить!

#коварныезадачки #обыкновенные_дроби #десятичные_дроби

📝 Как же решать задачи из папируса Ахмеса? (1/1)

Да, должен признать - древние египтяне были теми ещё затейниками. Ну, неужели им было так сложно просто научиться считать при помощи дробей 2/n? Это было возможно: например, вавилоняне пользовались куда более удобной системой, напоминавшей наши десятичные дроби.

Однако, недостойно математика отказываться от задачи только потому, что она сложная и не имеет практического значения! Поэтому, попробуем всё-таки найти разложения дробей, которые устроили бы придирчивого Ахмеса.

Первая важная подсказка: все дроби от 2/3 до 2/100 можно представить в виде суммы двух или трёх египетских дробей. Из этого следует:

1️⃣ Решением задачи является сумма двух или трёх не равных друг другу египетских дробей , упорядоченных в порядке возрастания знаменателей.

2️⃣ Если числа 2, то первое должно быть больше, чем половина исходного, а второе - меньше, чем половина.

3️⃣ Если числа 3, то первое должно быть больше, чем треть от исходного, а третье - меньше, чем треть. При этом, зачастую, первое число оказывается больше половины исходного!

(продолжение следует)

🔽🔽🔽

📝 Как же решать задачи из папируса Ахмеса? (2/2)

(начало выше) 🔼🔼🔼

Начнём с дроби 2/3. Хотя египтяне использовали для её обозначения специальный значок, тем не менее, в папирусе Ахмеса приводится разложение и для неё.

Сначала попробуем найти её разложение в сумму двух египетских дробей. Половина от 2/3 равна 1/3. Это значит, что первое слагаемое будет между 2/3 и 1/3, а второе - между 1/3 и 0.

Предположим, что первое слагаемое - 1/2. Тогда остаётся 2/3 - 1/2 = 1/6. Но 1/6 - это египетская дробь!

Значит, 2/3 = 1/2 + 1/6

Немного усложним задачу - попробуем найти разложение для 2/19. Сначала, попробуем найти его в виде суммы двух египетских дробей, большая из которых лежит в диапазоне от 1/19 до 2/19 (чуть больше, чем 1/10).

Будем перебирать подходящие числа в порядке возрастания знаменателей и смотреть, не получится ли у нас чего-то интересного:

2/19 - 1/10 = 20/190 - 19/190 = 1/190

С первой попытки мы уже нашли разложение в две дроби! Однако, в папирусе оно не используется. Возможно, египетским писцам оно показалось слишком неудобным для практического использования.

Решение, которое приводится в папирусе, начинается с 1/12:

2/19 - 1/12 = 24/228 - 19/228 = 5/228

5/228 = 4/228 + 1/228

Далее, нам нужно найти разложение числа 4/228. Так как оно чётное, мы можем сократить дробь и получить 1/57. И вот мы получаем "каноническое" представление числа 2/19 как суммы трёх египетских дробей:

2/19 = 1/12 + 1/57 + 1/228

Надеюсь, это поможет вам попробовать собственные силы в решении задач из папируса!