Давайте первым делом мы поделимся полезными ссылками, о существовании которых знают далеко не все

YouTube канал матфака вышки: https://youtube.com/@mathematicsathse1021?si=G_VQmGQ8WbesbePe

материалы курсов матфака вышки: https://math.hse.ru/teaching

вики страничка с материалами курсов ФКН вышки: https://wiki.cs.hse.ru/Заглавная_страница

страничка с курсами ПОМИ РАН В. А. Стеклова: https://www.lektorium.tv/university/20100

страничка с курсами НОЦ МИАН: https://mi-ras.ru/index.php?c=noc2526_1

курсы НМУ: https://mccme.ru/ru/nmu/courses-of-nmu/osen-20252026/

Моя задача с проходящего сейчас турнира им. Коломгорова. Пока будет без картинки.

На окружности $\omega$ выбраны точки $A$, $B_1$, $B_2$, $B_3$, $C_1$, $C_2$, $C_3$ именно в таком порядке. Прямые $B_1C_1$, $B_2C_2$, $B_3C_3$ образуют треугольник $\Delta$. Внутри треугольников $AB_1C_1$, $AB_2C_2$, $AB_3C_3$ выбрана точка $P$, так, что образы $P$ при изогональном сопряжении относительно треугольников $AB_1C_1$, $AB_2C_2$, $AB_3C_3$ лежат на одной прямой. Докажите, что $P$ лежит на описанной окружности треугольника $\Delta$.

Симпатичная и не очень сложная задача из одной из наших домашек.

Существует ли такое семейство подмножеств натуральных чисел, что одновременно выполнены
следующие условия:
(а) пересечение любых двух различных множеств в этом семействе конечно;
(б) мощность семейства — континуум?

Поскольку в этом астрономическом году больше не предвидится олимпиад, на которых будут мои задачи, я постарался собрать все мои задачи, которые когда-либо где-либо всплывали.

Забавное утверждение из нашего листика по матану.

Докажите, что любое метрическое пространство можно изометрически вложить в некоторое банахово пространство.

Задача от С. Кузнецова

Верно ли, что в канторовом множестве есть всюду плотное подмножество гомеоморфное Q?

Не очень сложная задача с древней ММО.

На табло горят несколько лампочек. Имеется несколько кнопок. Нажатие на кнопку меняет состояние лампочек, с которыми она соединена. Известно, что для любого набора лампочек найдется кнопка, соединенная с нечетным числом лампочек из этого набора. Докажите, что, нажимая на кнопки, можно погасить все лампочки.

Смешное утверждение, если кто-то придумает доказательство без индукции, объясняющее почему так происходит будет здорово.

Есть n видов пар скобок - открывающиеся и закрывающиеся.
Докажите что для любой произвольной скобочной последовательности S минимальное число скобок, нужное чтобы дополнить S(скобки можно вставлять в начало, конец и между уже выписанных скобок) до правильной скобочной последовательности, равно минимальному числу скобок, которое нужно удалить из S чтобы получить правильную скобочную последовательность.

задача из экзамена! Найдите сумму ряда

Не очень сложная, но, на мой взгляд, красивая теорема.

Красная точка - точка велосипедистов зеленых окружностей (для прямых через оранжевую точку). Тогда красные отрезки равны.

Я это замечательное утверждение не знал, рассказал его мне @AndrewShishko.

Хорошие задачки по мотивам недавнего экзамена по алгебре в НМУ:
(источник Г. Нидеррайтер, Р. Лидл "Конечные поля")