#геометрия #задача

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность Ω. Лучи AB и DC пересекаются в точке P. W — середина меньшей дуги BC. Прямые AW и CD пересекаются в точке R, а прямые DW и AB — в Q. Окружность γ касается отрезков PB, PC и Ω внешним образом. Докажите, что окружности γ и (WRQ) касаются.

#теория_чисел #задача

#комбинаторика #задача

В правильном 100-угольнике 41 вершина покрашена в чёрный, а оставшиеся 59 вершин — в белый. Докажите, что существуют 24 попарно непересекающихся (не имеют общих точек) выпуклых четырёхугольника с вершинами в вершинах 100-угольника такие, что каждый из них имеет три вершины одного цвета и одну другого.

#алгебра #задача
Петя и Вася играют в такую игру. Сначала Петя задумывает некоторый многочлен P(x) с целыми коэффициентами. Далее делается несколько ходов. За ход Вася платит Пете рубль и называет любое целое число a по своему выбору, которое он ещё не называл, а Петя в ответ говорит, сколько решений в целых числах имеет уравнение P(x) = a. Вася выигрывает, как только Петя два раза (не обязательно подряд) назвал одно и то же число. Какого наименьшего числа рублей хватит Васе, чтобы гарантированно выиграть?

#геометрия #задача

Точка P симметрична A относительно прямой OH. K — пересечение AP и OH. Одноцветные отрезки равны. Докажите, что отмеченный угол прямой.

#теория_чисел #задача

#комбинаторика #задача

#алгебра #задача

#геометрия #задача

В равнобедренном треугольнике ABC на основании BC отмечена точка D, отличная от середины. Прямая AD вторично пересекает окружность (ABC) в точке E. Точка F выбрана на (ABC) так, что угол DFE прямой. Прямая FE пересекает лучи AB и AC в точках X и Y. Докажите, что DE — биссектриса угла XDY.

#теория_чисел #задача

#комбинаторика #задача

#алгебра #задача

В преддверии регионального этапа предлагаем задачу по алгебре, предлагавшуюся на регионе несколько лет назад

#геометрия #задача

В противоположные углы и параллелограмма вписаны окружности. Докажите, что если для третьего угла параллелограмма существует окружность, вписанная в него и касающаяся этих двух, то и для четвёртого такая окружность существует.

#теория_чисел #задача

#комбинаторика #задача

#алгебра #задача

#геометрия #задача

Задача по геометрии с прошедшего сегодня второго тура олимпиады Romanian Master!

Дан треугольник ABC, его ортоцентр H и центр описанной окружности O. Пусть Г — описанная окружность треугольника BOC. Прямая AO вторично пересекает Г в точке A'. Точка F, отличная от O на Г такова, что AF=AO. Докажите, что окружность с диаметром AA', описанная окружность треугольника AFH и Г имеют общую точку.

#теория_чисел #задача

#комбинаторика #задача

В языке три буквы: Ш, У и Е. Словом называется последовательность из 100 букв, ровно 40 из которых гласные (то есть У или Е), а остальные 60 — буквы Ш. Какое наибольшее количество слов можно выбрать так, чтобы у любых двух выбранных слов хотя бы в одной из ста позиций одновременно стояли гласные, причём различные?

#алгебра #задача

#геометрия #задача

В треугольнике ABC I — инцентр, K — середина меньшей дуги BC описанной окружности. На касательной к (ABC) в K выбрана произвольная точка P. Прямая PI вторично пересекает окружность (PBC) в точке Q. Докажите. что треугольник, образованный прямыми PQ, QA, PK равнобедренный.