Аршак Айвазьян — «∞-топосы»
11 ноября, 17:00 | Онлайн-cеминар «Абстрактная теория гомотопий и приложения»

Понятие бесконечность топоса Гротендика: внутренняя и внешняя характеризация, теорема Жиро–Резка–Лури

Ссылка на плейлист с записями семинара

Ссылка на zoom-трансляцию. За курсом можно следить (в том числе спросить пароль трансляции) на форуме сообщества (отправьте модераторам сообщение с помощью бота, чтобы присоединиться)

UPD. Доклад перенесен на 23 ноября, 16:30.

Dmitri Pavlov — «Functorial Field Theory | Lecture 4»
12 ноября, 19:00 (UTC +03) | Онлайн-курс

Плейлист с записями курса

Страница курса с описанием и программой

Zoom-трансляция. Пароль доступен здесь (это ссылка на сообщение на форуме сообщества — напишите нам с помощью бота, чтобы присоединиться) или его можно спросить по почте у Дмитрия (см. на странице курса)

Сегодня (24 января) в 21:00 по московскому времени (UTC+03) первое (организационное) собрание Quantum Homotopy Seminar.

В этом семестре мы будем изучать статью

Grigorios Giotopoulos, Hisham Sati. Field Theory via Higher Geometry I: Smooth Sets of Fields
arxiv.org/abs/2312.16301

The physical world is fundamentally: (1) field-theoretic, (2) smooth, (3) local, (4) gauged, (5) containing fermions, and last but not least: (6) non-perturbative. Tautologous as this may sound, it is remarkable that the mathematical notion of geometry which reflects all of these aspects – namely, as we will explain: “supergeometric homotopy theory” – has received little attention even by mathematicians and remains unknown to most physicists. Elaborate algebraic machinery is known for perturbative field theories, but in order to tackle the deep open questions of the subject, these will need to be lifted to a global geometry of physics.

Our aim in this series is, first, to introduce inclined physicists to this theory, second to fill mathematical gaps in the existing literature, and finally to rigorously develop the full power of supergeometric homotopy theory and apply it to the analysis of fermionic (not necessarily super-symmetric) field theories.

To warm up, in this first part we explain how classical bosonic Lagrangian field theory (variational Euler-Lagrange theory) finds a natural home in the “topos of smooth sets”, thereby neatly setting the scene for the higher supergeometry discussed in later parts of the series. This introductory material will be largely known to a few experts but has never been comprehensively laid out before. A key technical point we make is to regard jet bundle geometry systematically in smooth sets instead of just its subcategories of diffeological spaces or even Frechet manifolds – or worse simply as a formal object. Besides being more transparent and powerful, it is only on this backdrop that a reasonable supergeometric jet geometry exists, needed for satisfactory discussion of any field theory with fermions.

Ссылка на Zoom доступна здесь (это сообщение на форуме сообщества -- напишите сюда, чтобы присоединиться).
Семинар также имеет Дискорд-сервер для дискуссий, ссылка-приглашение доступна там же.

Dmitri Pavlov — «Functorial Field Theory | Lecture 13»
28 января, 18:00 по московскому времени (UTC+03) | Онлайн

О курсе:

The initial goal is to understand the statement of the geometric cobordism hypothesis, including the relevant background material in homotopy theory. Additional goals include constructing elementary examples of functorial field theories using GCH. Further goals include looking at more advanced examples, including geometric factorization homology.

В предыдущих лекциях:

Lecture 1: Introduction.

Lecture 2-4: Functor of points: smooth sets. C^∞-rings.

Lecture 5: Sheaves.

Lecture 6: Stacks.

Lecture 7: Čech nerves and cocycle data.

Lecture 8: Homotopy categories and categories of fractions. Sheaves of sets as a category of fractions.

Lecture 9: Homotopy theory. Simplicial sets. Nerves of categories, classifying spaces of monoids.

Lecture 10: Model categories. Transferred model structures. Model structures on simplicial presheaves.

Lecture 11: Left Bousfield localizations.

Lecture 12: Local model structures on simplicial presheaves.

Плейлист с записями.

Страница курса на сайте Дмитрия с описанием, программой и литературой.

Zoom-трансляция. Пароль доступен здесь (это ссылка на сообщение на форуме сообщества — напишите нам с помощью бота, чтобы присоединиться) или его можно спросить по почте у Дмитрия (см. на странице курса)

Quantum Homotopy Seminar: сегодня (31 января) в 21:00 (по московскому времени) первый доклад

JJ Hoo -- Bosonic field spaces as smooth sets

Ссылка на Zoom доступна здесь (это сообщение на форуме сообщества -- напишите сюда, чтобы присоединиться).
Семинар также имеет Дискорд-сервер для дискуссий, ссылка-приглашение доступна там же.

Сегодня (13 февраля) в 19:00 по московскому времени первая встреча в этом семестре Texas Tech Topology and Geometry Seminar.

Grigorios Giotopoulos (NYU Abu Dhabi) — Smooth sets as a convenient setting for Lagrangian field theory

In this talk, I will indicate how the sheaf topos of smooth sets serves as a sufficiently powerful and convenient context to host classical (bosonic) Lagrangian field theory.
As motivation, I will recall the textbook description of variational Lagrangian field theory, and list desiderata for an ambient category in which this can rigorously be phrased. I will then explain how sheaves over Cartesian spaces naturally satisfy all the desiderata, and furthermore allow to rigorously formalize several more field theoretic concepts. Time permitting, I will indicate how the setting naturally generalizes to include the description of (perturbative) infinitesimal structure, fermionic fields, and (gauge) fields with internal symmetries. This is based on joint work with Hisham Sati.

Обратите внимание, что это автор статьи, которая изучается сейчас на Quantum Homotopy Seminar.

Ссылка на Zoom доступна здесь (это сообщение на форуме сообщества -- напишите сюда, чтобы присоединиться).

Nikita Golub - Introduction to Gravity
Online | English

В этом курсе мы погрузимся в важный аспект фундаментальной физики — теория гравитации и в связанные с ней проблемы. Почему гравитация была головной болью на протяжении уже нескольких веков? Заметим, что теория Эйнштейна (или аналогичные теории гравитации в обобщенной геометрии) обладают топологической некорректностью, что является одним из концептуальных препятствием к согласованию гравитации с квантовой теорией. Некорректность означает, что при рассмотрении теорий поля взаимодействующих с гравитацией и обладающих нетривиальным топологическим классом, только решая локально уравнения Эйнштейна мы не можем склеить глобально геометрию на пространстве.
Записав гравитацию внутри формализма когезивных топосов увидим, как эта проблема разрешается с помощью поднятия гравитации до параметризованной теории поля.

План курса

1. Сеттинг когезивных топосов как язык физики
2. Основы — классическая теория поля
3. Что такое процедура квантования?
4. Башня Уайтхеда ортогональной группы и как из неё получается весь спектр М-теории?
5. Что такое общековариантный контекст и как Эйнштейн пришел к своей общей теории относительности?
6. Поймем, что гравитация и взаимодействие полей с ней имеет место в старших геометриях Картана. За счет чего мы опишем множество других теорий гравитаций: супергравитация, гетеротическая теория струн в 11d, (Анти-) де Ситтеровская гравитация, гравитация Эйнштейна и др.
7. Обсудим квантование гравитации и почему уже 100 лет проблема не решена, несмотря на многие прорывы в виде М-теории и теории струн. Что произошло в последние пару лет в этом направлении и почему, наоборот, нужно смотреть на гравитацию как на что-то в себе, к чему не нужно применять известные процедуры квантования для согласования с квантовой теорией?

В курсе лекций сделаем вклад в это направление.

8. Поставим и решим (!) задачу о поиске формализма для гравитации внутренне в когезивных топосах. Это приведет к тому, что, например, теории гравитации, такие как общая теория относительности станут тем, что мы называем параметризованными теориями поля, что разрешит топологическую некорректность теорий гравитации. В сущности это означает, что гравитационная часть лагранжиана гравитации с полями зависит от топологического класса теории поля на пространстве.
9. Изучим следствия на примерах из космологии и др теорий.

Nikita Golub — «Introduction to Gravity | Lecture 1»
29 марта в 17:00 | Online | English

В первые занятия создадим представление, что такое классическая теория поля, обсудим основные принципы современной физики: калибровочный принцип, принцип локальности и принцип суперпозиции; процедуру квантования и самое главное, что же такое гравитация, и в чем состоит проблема согласования ее с квантовой теорией. Обсудим соответствия физических понятий и конструкций в разных типах топосов.

В дальнейшем, рассмотрев как физика записывается внутренне в когезивных бесконечность-топосах в виде так называемой предквантовой геометрии, продемонстрируем на простых примерах топологическую некорректность классических теорий гравитации (в частности общей теории относительности). Это одно из технических препятствий к согласованию гравитации с квантовой теорией, которым мы займемся.

Ссылка на Телемост, где будет проходить онлайн-курс, доступна здесь (это сообщение на форуме сообщества -- напишите сюда, чтобы присоединиться).

Texas Tech Topology and Geometry Seminar: сегодня (26 марта) в 23:30 (по московскому времени)

Pelle Steffens (Technische Universität München) — Differential geometric PDE moduli spaces: derived enhancements, ellipticity and representability

All sorts of algebro-geometric moduli spaces (of stable curves, stable sheaves on a CY 3-folds, flat bundles, Higgs bundles...) are best understood as objects in derived geometry.

Derived enhancements of classical moduli spaces give transparent intrinsic meaning to previously ad-hoc structures pertaining to, for instance, enumerative geometry and are indispensable for more advanced constructions, such as categorification of enumerative invariants and (algebraic) deformation quantization of derived symplectic structures.

I will outline how to construct such enhancements for moduli spaces in global analysis and mathematical physics, that is, solution spaces of PDEs in the framework of derived C^∞ geometry and discuss the elliptic representability theorem, which guarantees that, for elliptic equations, these derived moduli stacks are bona fide geometric objects (Artin stacks at worst).

If time permits some applications to enumerative geometry (symplectic Gromov-Witten and Floer theory) and derived symplectic geometry (the global BV formalism).

Обратите внимание на такие работы докладчика как Derived C^∞-Geometry I: Foundations (2023)

Ссылка на Zoom доступна здесь (это сообщение на форуме сообщества -- напишите сюда, чтобы присоединиться).

В субботу (13 апреля) в 16:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Теории когомологий и бесконечнократные пространства петель»
Вася Ионин

С каждым пространством X можно связать теорию когомологий Hom(-, X). Мы покажем, что так получаются все теории когомологий на гладких многообразиях, которые (а) гомотопически инвариантны; (б) удовлетворяют аксиоме склейки. Также мы покажем, что если пространство X является бесконечнократным пространством петель, то эта теория когомологий автоматически оснащается некоторой дополнительной структурой (конечными этальными трансферами), что приведёт к ещё одному решению задачи распознавания бесконечнократных пространств петель.

Специальных знаний от слушателей не предполагается, все термины из аннотации будут определены на докладе!

Пререквизиты: базовый курс топологии (понятие гомотопической эквивалентности, петельного пространства и надстройки), представление о сопряжённых функторах.

Texas Tech Topology and Geometry Seminar: сегодня (16 апреля) в 18:00 (по московскому времени)

Adrian Clough (New York University Abu Dhabi) -- Homotopical calculi and the smooth Oka principle

I will present a new proof of Berwick-Evans, Boavida de Brito, and Pavlov’s theorem that for any smooth manifold A, and any sheaf X on the site of smooth manifolds, the mapping sheaf Hom(A,X) has the correct homotopy type. The talk will focus on the main innovation of this proof, namely the use of test categories to construct homotopical calculi on locally contractible ∞-toposes. With this tool in hand I will explain how a suitable homotopical calculus may be constructed on the ∞-topos of sheaves on the site of smooth manifolds using a new diffeology on the standard simplices due to Kihara. The main theorem follows using a similar argument that for any CW-complex A, and any topological space X the set of continuous maps Hom(A,X) equipped with compact-open topology models the mapping-homotopy-type map(A,X).

Доклад основан на статье The homotopy theory of differentiable sheaves (2023)

Ссылка на Zoom доступна здесь (это сообщение на форуме сообщества -- напишите сюда, чтобы присоединиться).

From Analysis to Homotopy Theory, конференция 13-17 мая в Грайсфальде (Германия).

Регистрация открыта, см. сайт конференции, с расписанием, аннотациями и другой информацией.

Speakers

Denis-Charles Cisinski (Universität Regensburg)
Alexander Engel (Universität Greifswald)
David Gepner (Johns Hopkins University)
Fei Han (National University of Singapore)
Daniel Kasprowski (University of Southampton)
Markus Land (LMU München)
Clara Löh (Universität Regensburg)
Matthias Ludewig (Universität Regensburg)
Dmitri Pavlov (Texas Tech University)
Paolo Piazza (Sapienza Universita` di Roma)
Thomas Schick (Universität Göttingen)
Stephan Stolz (University of Notre Dame)
Georg Tamme (Universität Mainz)
Peter Teichner (Max Planck-Institut für Mathematik)
Andreas Thom (TU Dresden)
Charlotte Wahl (Gottfried Wilhelm Leibniz Bibliothek, Hannover)
Katrin Wendland (Trinity College Dublin)
Christoph Winges (Universität Regensburg)

Texas Tech Topology and Geometry Seminar: сегодня (23 апреля) в 18:00 (по московскому времени)

Darrick Lee (University of Oxford) -- Characterizing paths and surfaces via (higher) holonomy

Classical vector valued paths are widespread across pure and applied mathematics: from stochastic processes in probability to time series data in machine learning. Parallel transport of such paths in principal G-bundles have provided an effective method to characterise such paths. In this talk, we provide a brief overview of these results and their applications. We will then discuss recent work on extending this framework to characterizing random and possibly nonsmooth surfaces using surface holonomy. This is based on joint work with Harald Oberhauser.

Статья: Darrick Lee, Harald Oberhauser -- Random Surfaces and Higher Algebra

Ссылка на Zoom доступна здесь (это сообщение на форуме сообщества -- напишите сюда, чтобы присоединиться).

Вася Ионин — «Нестабильная теория гомотопий»
Оффлайн (Петербург, МКН) и онлайн (ID Zoom-канала 933-271-498, пароль стандартный, спросить у @jusanagi)

▪️Плейлист с записями.
▪️За курсом можно следить на форуме сообщества (отправьте модераторам сообщение с помощью бота, чтобы присоединиться).

Первая встреча состоится завтра (6 сентября) в 17:00

Можно считать, что этот курс — продолжение классического курса по теории гомотопий. Цель курса — научиться техникам, позволяющим получать качественную информацию про гомотопические типы.

Среди ярких теорем, которые мы докажем, можно выделить следующие:

Теорема Серра. Все гомотопические группы сфер конечны, кроме π_n(S^n) и π_{4n-1}(S^{2n}).

Теорема Серра. У односвязного конечного клеточного комплекса с ненулевыми приведенными гомологиями есть бесконечно много ненулевых гомотопических групп.

Теорема Джеймса. 4^n убивает 2-примарное кручение в π_*(S^{2n+1}).

Теорема Тоды. p^{2n} убивает p-примарное кручение в π_*(S^{2n+1}) для нечетных простых p.

Подробная программа в комментариях.

Виктор Лаврухин — «Стабильная теория гомотопий»
Оффлайн (Петербург, МКН) и онлайн (ID Zoom-канала 933-271-498, пароль стандартный, спросить у @jusanagi)

▪️Плейлист с записями.
▪️За курсом можно следить на форуме сообщества (отправьте модераторам сообщение с помощью бота, чтобы присоединиться).

Первая встреча состоится завтра (6 сентября) в 18:45

Центральными объектами изучения стабильной теории гомотопий являются категория спектров Spectra и её локализация, стабильная гомотопическая категория SH.

Категория SH имеет огромное значение для алгебраической топологии, гомологической и гомотопической алгебры.

Во-первых, категория SH содержит категорию "пространств с точностью до сколь угодно большой надстройки", поэтому позволяет выделять свойства пространств, стабильные, относительно действия функтора Σ.

Во-вторых, объекты SH представляют теории когомологий, а морфизмы описывают операции между ними (по теореме Брауна о представимости).

Наконец, категория Spectra в некотором смысле является аналогом категории цепных комплексов над кольцом Ch(R).

Помимо вычислений стабильных гомотопических групп сфер и приложений к геометрической топологии (топологическая К-теория, теория кобордизмов), для которых этот аппарат был изначально разработан, стабильная теория гомотопий находит некоторые применения в алгебраической геометрии.

Подробная программа в комментариях.

Борис Шойхет — «Алгебра и теория гомотопий» | Оффлайн (311 аудитория ПОМИ) и онлайн

▪️Страница курса (пожалуйста, регистрируйтесь).
▪️Записи будут выходить на этом YouTube-канале.
▪️За курсом можно следить в этой Telegram-группе.

Первая встреча состоится 14 сентября в 16:00!

Мы обсудим различные сюжеты связанные с алгебраическим описанием гомотопического типа n-кратных пространств петель. Мы начнем с изложения работы Мэя, в которой дается характеризация n-кратных пространств петель в терминах действия операды маленьких дисков E_n. Более того, строится явное распетливание, то есть пространство Y такое что данное пространство X с действием операды E_n и некоторым условием на π_0 слабо гомотопически эквилентно n-кратному пространству петель Ω^n(Y), с помощью монадной бар-конструкции.

Далее планируется обсудить подход Сигала к той же задаче через Γ-пространства, групповое пополнение, и доказательство Сигала теоремы Барратта-Придди-Квиллена. А также категоризацию распетливания Сигала по Томасону.

Подробная программа в комментариях.