[среда 21 января, 16:15, ауд.302]
Фëдор Нилов (МГУ),
"Обобщение теоремы Данделена"

В 1822 году бельгийский инженер и математик Ж. Данделен придумал красивую конструкцию, с помощью которой наглядно продемонстрировал, что сечением цилиндра плоскостью, не параллельной его оси является эллипс. Он доказал, что если вписать в цилиндр шары, касающиеся наклонной плоскости, то точки касания будут фокусами, а линии пересечения наклонной плоскости с плоскостями точек касания сфер и цилиндра являются директрисами эллипса.

Оказывается, конструкцию Данделена можно обобщить на случай других квадрик вращения, например, гиперболоида или эллипсоида.

Мы обсудим, как это сделать с помощью обобщенных определений коник.

а вот и видео лекции https://www.youtube.com/watch?v=yTRroUmeC0Q

* желающим прочитать доказательства глазами рекомендуется статья Ф.Нилов, Обобщение теоремы Данделена в Кванте
* ещё можно посмотреть на движущиеся картинки в Мат.этюдах
* а если всё это выглядит слишком страшно, есть простая статья Два века теоремы Данделена в Квантике
* наконец, часть того что мы обсуждали после лекции изложена в статье В.Д.Конышев, О дважды касающихся кониках и теореме Дезарга об инволюции в 35 номере Матпроса

Дорогие коллеги!

В субботу на семинаре будет доклад О.Н. Германа. Кто любит теорию чисел и знает английский - приходите!

Knots, graphs and groups seminar

Title: On irrationality measure and geometric aspects of Diophantine approximation

Speaker: Oleg German

Abstract: In 1842, Dirichlet published his famous theorem which became the foundation of Diophantine approximation. The phenomenon he found inspired Liouville to study how well algebraic numbers can be approximated by rationals, and thus, to come up with a method of constructing transcendental numbers explicitly. The development of these ideas led to the concepts of irrationality measure and transcendence measure. Thanks to Minkowski, it became clear that many problems arising in the theory of Diophantine approximation could be addressed quite effectively using the tools of geometry of numbers. In particular, the geometric approach naturally offers a wide variety of multidimensional analogues of the concept of irrationality measure — so called Diophantine exponents. In the talk, we will discuss various Diophantine exponents and the geometry that arises when studying them.


Join Zoom Meeting https://us02web.zoom.us/j/81866745751?pwd=bEFqUUlZM1h..

Meeting ID: 818 6674 5751

Passcode: 141592

Нарисуйте на плоскости как можно больше точек так, чтобы любые три являлись вершинами равнобедренного треугольника.

В треугольнике ABC точки A_1, B_1, C_1 - основания биссектрис. Оказалось, что углы AA_1B_1 и CC_1B_1 равны. Верно ли, что треугольник ABC - равнобедренный?

Для синего эллипса на картинке вершины всех круговых конусов, содержащих его, лежат на красной гиперболе с фокусами в вершинах эллипса, проходящей через его фокусы и лежащей в плоскости, перпендикулярной плоскости эллипса. Несложно понять, что происходит в случае других коник. А что если кривая в пространстве не является коникой и не является дугой коники? Чему равно наибольшее число круговых конусов, содержащих ее?

На плоскости максимальное число таких точек - 6: вершины правильного пятиугольника и его центр. А что происходит в трехмерном пространстве?

Скульптура "Маяк" на Валовой улице

Можно проверить, что любые два сечения произвольного эллипсоида параллельными плоскостями подобны. В случае однополостного гиперболоида это не так: если двигать плоскость параллельно, то в положениях, где плоскость касается гиперболоида, происходит перестройка, эксцентриситет гипербол-сечений меняется. Посмотрите, что происходит для других квадрик.

Две похожие задачи:

1) Пусть все сечения выпуклого тела являются кругами. Докажите, что тело является шаром;

2) Пусть все сечения выпуклого тела являются эллипсами. Докажите, что тело является эллипсоидом.

Друзья! В следующий вторник на кружке будет доклад В.Ю.Протасова об “Оптическом методе”. Много интересных связей с геометрией. Доклад обещает быть понятным и интересным! Приходите и зовите друзей!

Докладчик: Протасов Владимир Юрьевич

Тема: Оптический метод

Аннотация: Вариационное исчисление — наука об оптимальных функциях и траекториях. Как найти форму самой прочной арки? Какой формы сделать горку между заданными точками, чтобы санки скатились по ней за наименьшее время? Решая последнюю задачу, Я.Бернулли в конце XVII века придумал «оптический метод», который представляет оптимальную функцию в виде траектории луча света в определенном поле скоростей.
Этим методом можно не только решить множество задач, включая две вышеупомянутые, но и, например, выбрав специальным образом поле скоростей, построить модель Бельтрами-Пуанкаре неевклидовой геометрии.

Лекция будет понятна старшеклассникам.

Дата и время: Вторник 10.02.2026, 15:30-17:05
Ссылка для подключения

Дан выпуклый четырехугольник, в котором построили красную и синюю сети Штейнера. Докажите, что их длины равны тогда и только тогда, когда диагонали четырехугольника перпендикулярны.

P.S.

1) Про сети Штейнера см.

https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/436442/Tochka_Torrichelli_i_seti_Shteynera

https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/436475/Tochka_Torrichelli_i_seti_Shteynera_okonchanie

2) Придумал эту задачу, прогуливаясь мимо схемы здания образовательного центра Сириус (оно имеет форму, похожую на сеть Штейнера), но факт оказался уже известен науке :)

Друзья! Завтра на нашем семинаре выступает частый гость нашего кружка Фёдор Нилов.
Его доклад приведён ниже:

Семинар "Knots and representation theory"
Monday, February 02, 18:30 - 20:00 Moscow time
Zoom talk

Fedor Nilov -- On families of similar conics tangent to four circles

The classical Steiner problem consists in finding the number of non-degenerate conics (second-order curves) tangent to 5 given conics in the plane. We will construct several configurations of four circles such that there is a family of similar conics tangent to these circles.

https://us02web.zoom.us/j/81866745751?pwd=bEFqUUlZM1hVV0tvN0xWdXRsV2pnQT09
Meeting ID: 818 6674 5751
Passcode: 141592

This email is sent to you because you have taken part in our seminars "Knots and representation theory”, “Mowcow-Beijing topology seminar” or "Knots, graphs, and groups", or the seminar "QUANTUM TOPOLOGY SEMINAR" of professor Louis Kauffman. If you have any question or any request, please contact with [email protected] or [email protected]. Thank you very much.

А вот и 6-й тур заочного математического конкурса. Присоединяйтесь!

Не обсуждайте эти задачи в комментариях, а присылайте решения в редакцию до 5 марта.

Если в шестиугольнике диагонали пересекаются в одной точке под углами в 60 градусов, то длины красной и синей сетей Штейнера равны.

Дан треугольник ABC. Точки X, Y, Z и T таковы, что треугольники ABX, YBC, AZC и TZX подобны. Докажите, что A является серединой TY.

Подсказка: композиция поворотных гомотетий

У двух равных противоположно ориентированных треугольников соответствующие вершины соединили отрезками. Докажите, что их середины лежат на одной прямой.

Подсказка: теорема Шаля