Продолжение. Начало👆
Это было очень упрощённое описание идеи знаменитого доказательства — но именно так работает современная математика: она переводит задачу из одной «вселенной» в другую. В данном случае — из вселенной чисел во вселенную геометрии и симметрий, где действуют более строгие законы, позволившие полностью исключить возможные решения равенства Ферма.
🔷 Цепочки рассуждений и гигантский граф
Работа Уайлса — это более 150 страниц, разбитых на множество технических лемм. Если грубо оценить, всё доказательство — это примерно 200–250 логических шагов вида «из утверждения А следует утверждение Б».
Можно представить утверждения А и Б как вершины графа.
Из вершины А можно перейти к вершине Б, если утверждение Б логически следует из А.
Если сравнить решение задач такого масштаба с поиском пути в графе от начальной вершины (условие задачи) до конечной (решение), то очень приблизительно можно оценить количество потенциальных вершин этого графа как что-то порядка:
👉 10²⁰⁰–10²⁵⁰ вариантов.
Но работа математика — это не перебор всего этого астрономического пространства. Математики следуют опыту и интуиции.
🔷 Как это работает у людей?
Если подойти к математику и сказать: «Вот такая задача, как её решать?» — он может ответить: «Я на конференции слышал доклад такого-то. Это не совсем про Вашу задачу, но посмотрите его работы».
То есть он видит в задаче определённые структуры или паттерны и знает, какие идеи из предыдущего опыта могут вести к решению.
Эту способность — узнавать структуры и связи, угадывать направление, ещё до того как сделан первый формальный шаг — я бы назвал математической интуицией, которая приходит с опытом.
В следующей части мы углубимся в математические цепочки рассуждений на примере этих двух задач и перейдём от построения цепочек рассуждений математиков к цепочкам рассуждений больших языковых моделей.
Продолжение следует. Оставайтесь на связи!
Это было очень упрощённое описание идеи знаменитого доказательства — но именно так работает современная математика: она переводит задачу из одной «вселенной» в другую. В данном случае — из вселенной чисел во вселенную геометрии и симметрий, где действуют более строгие законы, позволившие полностью исключить возможные решения равенства Ферма.
🔷 Цепочки рассуждений и гигантский граф
Работа Уайлса — это более 150 страниц, разбитых на множество технических лемм. Если грубо оценить, всё доказательство — это примерно 200–250 логических шагов вида «из утверждения А следует утверждение Б».
Можно представить утверждения А и Б как вершины графа.
Из вершины А можно перейти к вершине Б, если утверждение Б логически следует из А.
Если сравнить решение задач такого масштаба с поиском пути в графе от начальной вершины (условие задачи) до конечной (решение), то очень приблизительно можно оценить количество потенциальных вершин этого графа как что-то порядка:
👉 10²⁰⁰–10²⁵⁰ вариантов.
Но работа математика — это не перебор всего этого астрономического пространства. Математики следуют опыту и интуиции.
🔷 Как это работает у людей?
Если подойти к математику и сказать: «Вот такая задача, как её решать?» — он может ответить: «Я на конференции слышал доклад такого-то. Это не совсем про Вашу задачу, но посмотрите его работы».
То есть он видит в задаче определённые структуры или паттерны и знает, какие идеи из предыдущего опыта могут вести к решению.
Эту способность — узнавать структуры и связи, угадывать направление, ещё до того как сделан первый формальный шаг — я бы назвал математической интуицией, которая приходит с опытом.
В следующей части мы углубимся в математические цепочки рассуждений на примере этих двух задач и перейдём от построения цепочек рассуждений математиков к цепочкам рассуждений больших языковых моделей.
Продолжение следует. Оставайтесь на связи!
Telegram
Истории (не)успеха (ИИ)ЕИ
Цепочки рассуждений человека и машины для очень сложных задач математики: конкретные примеры.
Часть I/III. Как это работает у людей?
Итак, коллеги, давайте подумаем, сможет ли ИИ когда-либо решать нерешённые задачи математики, с которыми самые лучшие математики…
Часть I/III. Как это работает у людей?
Итак, коллеги, давайте подумаем, сможет ли ИИ когда-либо решать нерешённые задачи математики, с которыми самые лучшие математики…
👍5🔥2
Forwarded from Кофейный теоретик
День математика сегодня празднуют в России. Повод, надо сказать, пристойный: день рождения Николая Ивановича Лобачевского, великого геометра, создателя (в некотором смысле) неевклидовой геометрии и ректора Казанского университета.
Я вот уже несколько месяцев размышляю о том, что математика — на самом деле очень жестокая наука. Возможно, самая жестокая из всех. В естественных науках всегда можно позаниматься какими-то экспериментами. Даже отсутствие результата — часто некий результат, информация о том, что так-то и так-то сделать нельзя. А у нас…
В математике отсутствие результата — это именно отсутствие результата. Сотни (тысячи?) исписанных страниц, всяких попыток и так далее — никому не покажешь, если ничего не доказал. А если и доказал, то часто такая ерунда, что даже и не опубликуешь. Когда я ещё писал на бумаге (уже много лет пишу в планшетнике), я как-то прикинул, что один из моих результатов — довольно ерундовый — стоил мне буквально пачки листов А4. А сколько таких «пачек» не привели вообще ни к чему…
Вот и сейчас: вымучиваю результат, которым занимаюсь уже года два, если не больше. Всего-то третий раз переписываю текст, исправляю определения, подбираю нужную общность. Сплошные мучения ради редких секунд удовольствия от пришедшего понимания.
И я ещё довольно благополучный парень. У меня есть много задач, которые розданы моим верным падаванам, и с которыми мучаются в основном они. Кстати, они зайки: часто получаются очень неплохие результаты — «я бы такого не придумал». Хотя и от них часто слышу: «Ой, ничего не получается, что делать… Ой, прокрастинация замучала… Ой, там всё сложно и/или и так всё наверное известно…»
Кстати, о самом Лобачевском. Человек вроде бы успешный: ректор университета, награждённый орденами, возведённый в потомственное дворянство. Лавировавший между религиозным фанатиком Магницким и необходимостью развивать естественные науки (банально иметь анатомические препараты). Человек, которого костерили за неевклидову геометрию не в последнюю очередь с точки зрения «недостаточной духовности» оной.
Тут небольшое замечание: в те времена к аксиомам подход был достаточно строгий. И замена Лобачевским одной аксиомы на другую воспринималась как возмутительное вольтерьянство. Чего уж: даже введение им в курс (обычной) геометрии метрической системы было воспринято как реверанс в сторону французских вольнодумцев. Ну, а за неевклидову геометрию его крыли последними словами в «Сыне отечества». Это примерно как если бы сейчас его прополоскали в эфире у Соловьёва.
В последние месяцы жизни, вытуренный из родного Казанского университета, Лобачевский ослеп. И, почти не вставая с кровати, надиктовывал последнюю книгу, «Пангеометрию», своим ученикам — которые, по воспоминаниям, были очень недовольны, что им приходится терпеть старого дурака и его бредни. Когда ещё через десяток лет, благодаря работам Бельтрами и других, построивших модели для его геометрии, к Николаю Ивановичу пришла слава, университет решил издать полное собрание сочинений. И многие работы не нашли… Кстати, и до сих пор, как я понимаю, не все его труды обнаружены.
Правда про профессию «математик» в том, что ей нужно заниматься только когда нет другого выхода. Мне кажется, если есть вариант между математикой и чем-то ещё, радующим душу, надо выбирать второй вариант.
Впрочем, очень часто бывает, что выбор — это иллюзия, и никакого варианта нет. Тогда — добро пожаловать в профессию :-)
Удачи нам, дорогие коллеги! Всех причастных — с праздником! Keep pushing!
Я вот уже несколько месяцев размышляю о том, что математика — на самом деле очень жестокая наука. Возможно, самая жестокая из всех. В естественных науках всегда можно позаниматься какими-то экспериментами. Даже отсутствие результата — часто некий результат, информация о том, что так-то и так-то сделать нельзя. А у нас…
В математике отсутствие результата — это именно отсутствие результата. Сотни (тысячи?) исписанных страниц, всяких попыток и так далее — никому не покажешь, если ничего не доказал. А если и доказал, то часто такая ерунда, что даже и не опубликуешь. Когда я ещё писал на бумаге (уже много лет пишу в планшетнике), я как-то прикинул, что один из моих результатов — довольно ерундовый — стоил мне буквально пачки листов А4. А сколько таких «пачек» не привели вообще ни к чему…
Вот и сейчас: вымучиваю результат, которым занимаюсь уже года два, если не больше. Всего-то третий раз переписываю текст, исправляю определения, подбираю нужную общность. Сплошные мучения ради редких секунд удовольствия от пришедшего понимания.
И я ещё довольно благополучный парень. У меня есть много задач, которые розданы моим верным падаванам, и с которыми мучаются в основном они. Кстати, они зайки: часто получаются очень неплохие результаты — «я бы такого не придумал». Хотя и от них часто слышу: «Ой, ничего не получается, что делать… Ой, прокрастинация замучала… Ой, там всё сложно и/или и так всё наверное известно…»
Кстати, о самом Лобачевском. Человек вроде бы успешный: ректор университета, награждённый орденами, возведённый в потомственное дворянство. Лавировавший между религиозным фанатиком Магницким и необходимостью развивать естественные науки (банально иметь анатомические препараты). Человек, которого костерили за неевклидову геометрию не в последнюю очередь с точки зрения «недостаточной духовности» оной.
Тут небольшое замечание: в те времена к аксиомам подход был достаточно строгий. И замена Лобачевским одной аксиомы на другую воспринималась как возмутительное вольтерьянство. Чего уж: даже введение им в курс (обычной) геометрии метрической системы было воспринято как реверанс в сторону французских вольнодумцев. Ну, а за неевклидову геометрию его крыли последними словами в «Сыне отечества». Это примерно как если бы сейчас его прополоскали в эфире у Соловьёва.
В последние месяцы жизни, вытуренный из родного Казанского университета, Лобачевский ослеп. И, почти не вставая с кровати, надиктовывал последнюю книгу, «Пангеометрию», своим ученикам — которые, по воспоминаниям, были очень недовольны, что им приходится терпеть старого дурака и его бредни. Когда ещё через десяток лет, благодаря работам Бельтрами и других, построивших модели для его геометрии, к Николаю Ивановичу пришла слава, университет решил издать полное собрание сочинений. И многие работы не нашли… Кстати, и до сих пор, как я понимаю, не все его труды обнаружены.
Правда про профессию «математик» в том, что ей нужно заниматься только когда нет другого выхода. Мне кажется, если есть вариант между математикой и чем-то ещё, радующим душу, надо выбирать второй вариант.
Впрочем, очень часто бывает, что выбор — это иллюзия, и никакого варианта нет. Тогда — добро пожаловать в профессию :-)
Удачи нам, дорогие коллеги! Всех причастных — с праздником! Keep pushing!