Вы б, кстати, послушали лекцию Жана Фраунсау Помаре про дифференциальные операторы и главное видели бы на этой лекции меня. Я до сих пор не понимаю, я там единственный был, кто вообще ничего не понял, а остальные кто сидели были актёры, которые делали вид что понимают? Это реально было ржачно. Жаль этой лекции нет на видео, я там мог бы получитъ Оскара за возведения глаз к небу и просьбе простить меня и помиловать, что зря занимаю чьё-то место на этой лекции. Ладно, я бы успокоился, если бы все сидели так же понуро как я, но, блин, они задавали вопросы! Может быть не к месту, может быть глупые, но они задавали вопросы! А я даже вопроса задать не мог - я не понимал ничего в этой лекции. Сейчас, конечно, я понимаю, о чём речь на той лекции шла, но тогда я думал, блин, куда я попал, зачем я здесъ, шо за чейны операторов, какие пвсевдогруппы, ребята, вы о чём?? И главное лекция так хорошо начиналась - обыкновенные дифференциальные уравнения, маятник, всё по классике и потом за 15 минут тыгыдым в какуют-то гремчую теорию. ААА, я ещё обыкновенные дифференциалъные уравнения не освоил аналитически, ребята, вы куда??

Однако я пережил этот психологический стресс, так как на тот момент умел решать уравнения в частных производных численно довольно хорошо. Например, Навьер-Стокса с разными числами Рейнольдса и на разным геометриях и мне было понятно, что ладно, даже если я тут не понимаю пока, они тоже врядли умеют так же хорошо решать такие дифуры как Навье-Стокс в произвольных геометриях. И я даже схватил Помаре после лекции и загрузил его на эту тему, на что он мне сказал, что это не его работа, но скорее всего я прав, но он точно не знает и посоветовал бросать курить: мол, что тебя не вижу, говорит, в любой стране - всегда куришь в гостинице после завтрака ) шо у вас за мода, стоять и курить возле гостиницы, кто так делает! нормальные люди о математике думают, а не курят!

Повторю пару недавних постов, вдруг кто их не заметил в канале

2/2. Продолжение. Начало тут.

Но сначала вернёмся от Теренса Тао на почти 100 лет назад к работам Андрея Колмогоровa.

🌀 Контекст: турбулентность и энергетический каскад
Когда жидкость начинает двигаться слишком быстро или неравномерно, её движение становится турбулентным — это означает, что в ней появляются завихрения разных размеров, от больших до очень мелких.

Андрей Колмогоров в 1941 году предложил статистическую теорию турбулентности, которая не пытается предсказать каждое завихрение, а описывает их в среднем. Он задался вопросом: Как распределяется энергия в турбулентном потоке между завихрениями разных размеров, по шакале от метров до мили-, микро-,- и т.д. метров?

Как распределяется энергия в турбулентном потоке между завихрениями разных размеров?

📐 Формула Колмогорова: 𝐸(𝑘) ∼ 𝑘⁻⁵⸍³
Здесь:
— 𝐸(𝑘) — энергетический спектр: сколько энергии содержится в завихрениях размера, соответствующего волновому числу k;
— 𝑘 — волновое число, обратно пропорциональное размеру вихря: чем больше k, тем мельче вихрь
— ∼ 𝑘⁻⁵⸍³ — энергия убывает с ростом k по степенному закону: чем мельче завихрение, тем меньше в нём энергии.
📉 Крупные вихри содержат больше энергии, и по мере распада потока на всё более мелкие — энергия «перетекает вниз». Это и есть энергетический каскад Колмогорова.

📌 Почему это важно?
Формула 𝐸(𝑘) ∼ 𝑘⁻⁵⸍³ — это золотой стандарт в турбулентности. Её подтверждали во множестве экспериментов: от потоков в трубах до атмосферных ветров.

📡 В спектре турбулентности вы реально видите "горку", убывающую как 𝑘⁻⁵⸍³, между зоной внешних сил (где поток "раскачивается") и зоной вязкости (где энергия гасится).

🤝 Колмогоров и Тао
Колмогоров предложил макроскопическую модель: что делает турбулентность в среднем. А Тао, десятилетия спустя, пытается понять:

А возможно ли, чтобы вся энергия сконцентрировалась в одной точке — чтобы вместо каскада вниз случился взрыв вверх, сингулярность?

🔍 Что сделал Тао:

1. Создал модифицированную модель Навье–Стокса
Тао предложил упрощённые версии уравнений — не настоящие Навье–Стокса, а их "игровые" аналоги. Он отключил некоторые физические ограничения, но сохранил важные структурные черты, чтобы изучить, возможен ли в принципе сценарий сингулярности.

2. Показал, что в этих уравнениях возможен blow-up
Он построил пример, где энергия жидкости стекается в одну точку всё быстрее и быстрее, пока не становится бесконечной за конечное время. Это — математическая модель сингулярности.

🧠 Главная идея:

Если слегка ослабленные уравнения могут "взорваться", значит, в оригинальных уравнениях такие механизмы где-то на грани — и, возможно, их можно "выдавить" или, наоборот, доказать, что они невозможны.

📈 Его идея: представить сценарий, где вихри в жидкости ведут себя как программа, которая самовоспроизводится — каждый раз в меньшем масштабе и с большей скоростью. Такая каскадная структура ведёт к тому, что вся энергия стягивается в одну точку, ускоряясь бесконечно — как жидкостная версия компьютера, с встроенным механизмом “взрыва”.

🤖 Тао даже сравнивает это с Тьюринг-машиной из жидкости — машиной, которая вычисляет собственную эволюцию, ускоряясь и масштабируясь вниз, пока не обрушится в математическую бесконечность.

В своём интервью он наглядно объясняет, как с помощью конструкции типа машины Тьюринга он перепрограммирует уравнения Навье-Стокса не на рассеивание энергии через механизмы транспорта и вязкости на отдельные вихри, а пускает энергию вниз по масштабам через вихри большего размера к вихрям меньшего и ещё меньшего и т.д. размера. Очень интересный метод. Мне понра и захотелось даже заглянуть в его оригинальную статью 2016-го года. Надо отметить что подобные темы мы уже разбирали тут и тут.

#NavierStockes #MilleniumPrize #Kolomogorov #Tao #MathPhysics

@easy_about_complex