احتمالا همه می‌دونند که یه حدسی هست به اسم
The Twin Prime Conjecture
که می‌گه:
اعداد اول جفت که فاصله‌شون از هم دوتا است، بی‌نهایت هست، مثلا
(۳,۵), (۵,۷), (۱۱ ,۱۳),...
این هنوز اثبات نشده ولی ثابت شده که
p_n+1−p_n≤246
برای بی‌نهایت عدد اول.
آقای
Zhang
معروف، اولین کسی بود که یه کران برای اون به دست آورد و بعد
James Maynard
که مدال فیلدز رو هم برده کران ۶۰۰ رو به دست آورد و بعدا در
Polymath8b
که یه پروژه آنلاین با مشارکت ریاضیدان‌ها است این عدد ۲۴۶ رو به دست آوردند.
عددی که آقای
Zhang
بدست آورده بود این بود:
7×10⁷
در این مقاله.
و حالا ظاهرا شرکت Axiom این قضیه رو در Lean
formalize
کرده.
بهش می‌گن
BGP246
یعنی
Bounded Gap Prime 246.
https://primegaps.axiommath.ai/

سخنرانی Sarnak در ICM. سخنرانی رو به زندگی و کارهای
Jean-Pierre Serre
اختصاص داده.
کمتر از یک ماه دیگه یعنی ۱۵ سپتامبر Serre صد ساله می‌شه.
توی این سایت هم پرسیدند که آیا ۱۰۰ سالگی رو می‌بینه؟ و ۸۲٪ گفتند که بله.
https://youtu.be/NK7R4Nnz2mg?is=UlExxHtBzvJb6atU

اول شروع کردند به حل مسائل کتاب‌های درسی، بعد رفتند سراغ مثال‌ نقض پیدا کردن و بعد مسائلی که سال‌ها open بودند رو حل کردند. الان با موضوعی متفاوت روبرو هستیم: خودشون یه مقاله کامل می‌نویسند.
وقتی این مدل‌‌ها به طور عمومی در دسترس قرار بگیرند، حرفه ما به پایان خودش می‌رسه، ما آماده نیستیم.
در این مقاله استدلال خودم رو در مخالفت کامل در استفاده از AI در ریاضیات بیان می‌کنم. ریاضیدان‌ها نیازی به استفاده از AI ندارند و نباید از اون استفاده کنند.
I argue, you will not want to have your name associated with AI.
مساله‌ها پایه و اساس ریاضیات هستند، ولی افزایش تعداد مسائلی که حل می‌شن هدف ریاضیات نیست. به تعبیر
Thurston

for mathematicians, the practice of mathematics is an end in itself.

برای ریاضیدان این مهم هست که دائما در حال فعالیت ریاضی باشه تا اینکه مرتب اسمش اینجا و اونجا یا پای یه مقاله ثبت بشه.
طرفدارهای AI
paradigm
جدیدی رو پیشنهاد دادن:
digesting arguments.
تصور درستی از ریاضیات ندارند. ابزارهای هوش مصنوعی با گرفتن فرصت کشف راه‌حل‌ها از خود ما، به عنوان انسان، ما رو از عمیق‌ترین تجربه‌های ریاضی‌ کنار می‌ذارند. کسی مثل
Tsimerman
در دو سال قبل فقط دانشجوهایی رو گرفت که به AI علاقه‌مند بودند، بعد دانشجویی نگرفت و در نهایت هم که نظریه اعداد رو رها کرد و رفت به سمت AI. من اعتقاد دارم که AI منجر به مرگ ریاضیات می‌شه.
حتی قبل از AI هم وضع ریاضی چندان خوب نبود، مقاله‌های خوب رو کسی نمی‌خوند، بهشون ارجاع داده نمی‌شد و سردبیرها برای پیدا کردن داور برای اون‌ مقاله‌ها به مشکل بر می‌خوردند. مقاله‌هایی که الان و با کمک AI تولید می‌شه، اوضاع رو بدتر می‌کنه. تائو پیشنهاد داده که افتخار و اعتبار یه قضیه رو بدیم به کسی که اثبات رو تا گام آخر پیش ببره و اون رو بررسی کنه‌. ولی بررسی مقاله‌های هوش‌مصنوعی خسته‌کننده است و هیجانی نداره. شرکت‌ها هم احتمالا راه‌حل‌شون اینه: مقالات رو هم بدیم به AIها که بررسی کنند.
تائو مثال حدس ژاکوبین رو کامل در وبلاگش بررسی کرده ولی گفته که در همین بررسی هم از AI کمک گرفته.
توی شطرنج هر بازیکن تازه‌کاری می‌تونه یه استاد بزرگ رو شکست بده. چطوری؟ همزمان با دو استاد بزرگ بازی کنه و هر حرکتی که یکی در مقابلش انجام می‌ده به بازی دوم منتقل کنه. در انتها یکی رو می‌بره و یکی رو می‌بازه (یا دو مساوی!) اما آیا بردش در اینجا معنادار هست؟ اگر جلوی AI رو نگیریم، ریاضیدان‌ها تبدیل می‌شن به یه
messenger.
تائو و Tsimerman دو سر نگاه، به رابطه AI و ریاضیات هستند: اولی خوش‌بینانه و دومی بدبینانه. در ظاهر مقابل هم. ولی هر دو یه نقطه مشترک با هم دارند: هر دو جبرگرا هستند. چرا؟ چون می‌گن ریاضیدان‌ها مجبور هستند و باید از AI استفاده کنند و عملا اون‌ها رو در موضع منفعلانه قرار می‌دن. اما من اعتقاد دارم واکنش ما ریاضیدان‌ها به AI یه واکنش سیاسی هست و حتی می‌تونه بیرون از جامعه ریاضی روی زندگی افراد دیگه هم تاثیر بذاره.
چرا شرکت‌های هوش‌مصنوعی سراغ ریاضیات اومدند؟ پزشکی و موضوعات فضایی که برای عامه جذاب‌تره. به دلایل زیر:
۱. انجام ریاضیات به فعالیت فیزیکی نیاز نداره.
۲. شهرت ریاضیات به سخت بودن.
۳. قضیه‌ها و حدس‌ها ارزش پولی ندارند و خیلی راحت می‌شه اون‌ها رو به اشتراک گذاشت.
تائو و Tsimerman هر دو در خدمت AI هستند. افکار عمومی، ما رو براساس این قضاوت می‌کنند که پولمون رو از کجا میاریم و برای کی کار می‌کنیم. تقصیر خودمونه.
شرکت‌های هوش‌مصنوعی دوست ما نیستند، حتی اگه دوستان ما اونجا کار کنند.
It is the Manhattan Project of our time!
https://arxiv.org/abs/2608.02859

ظاهرا یه حدس بسیار مهم در هندسه ریمانی که به
Hopf conjecture
معروف بوده رو حل کردند. در سال ۱۹۳۱
Hopf
اون رو مطرح کرد و تلاش‌های زیادی برای حل اون شد. عنوان مقاله دقیقا اشاره داره به چیزی که حل کردند:
a metric on S²×S² with positive sectional curvature.
سوال این بود که همچین چیزی روی
S²×S²
وجود داره یا نه؟ هیچ اشاره‌ای به استفاده از AI نشده و فقط گفتند برای یه سری محاسبات از
MATHEMATICA
استفاده کردیم.
قبلا عموما انتظار داشتند که جواب منفی باشه.
نویسنده اول ظاهرا ریاضیدان معتبری در این حوزه است و عدم اشاره به استفاده از AI رو می‌گن باید با توجه به سابقه و اعتبار این ریاضیدان بپذیریم.

Simon Brendle was awarded the 2024 Breakthrough Prize in Mathematics for his transformative contributions to differential geometry, including sharp geometric inequalities.

https://arxiv.org/pdf/2608.19068

رک جدید
OpenAI
رسید! اسمش هست
Vera Rubin
در واقع اسم یه
Astronomer
اهل آمریکا. کارهایی که انجام داد منجر به پیدا شدن شواهد تجربی برای وجود ماده تاریک شد. شوهرش
Robert Joshua Rubin
ریاضیدان بود (۲۰۰۸ درگذشت)
پسرشون
Karl
هم ریاضیدان هست (شاگرد وایلز بود)
دخترشون
Judith
هم فیزیکدان برجسته‌ای بود (۲۰۱۴ درگذشت)
دو تا بچه دیگه هم داره که اونا هم آدم حسابی هستند.
حالا بگذریم...
می‌گن گام مهمی به منظور pre-training نسل بعدی هوش‌مصنوعی.
به شوخی می‌گن منتظر باشید
Rubin
قراره کلی قضیه اثبات کنه!

دقیقا دو سال پیش آقای
Noam Elkies
و یه ریاضیدان دیگه یه
Elliptic curve
روی Q پیدا کردند که rank حداقل ۲۹ داشت و با فرض درست بودن
generalized Riemann hypothesis
اون عدد دقیقا می‌شد ۲۹.
قبلا خودش یه نمونه با rank برابر با ۲۸ پیدا کرده بود.
حالا یه curve پیدا کردند که این عدد به ۳۰ رسیده.
rank ≥ 30
احتمالا با AI به دست اومده.
کار قبلی اونقدر مهم بوده که کوانتا دو سال پیش یه مقاله در موردش نوشته.
https://www.quantamagazine.org/new-elliptic-curve-breaks-18-year-old-record-20241111/
https://elliptic-rank.icarm.cloud/curve/273

خیلی‌ها فکر می‌کنند که کتاب صرفا مجموعه‌ای از اطلاعات انتزاعی هست و می‌شه اون رو روی چیزی ذخیره کرد. خب، این حرف خطا است و اسم این خطا هست:
Dimension Overtruncation
(نادیده گرفتن ابعادی از یک شی یا فرآیند که به راحتی دیده نمی‌شه)
من ۱۳ سالم بود بینوایان رو خوندم. چند سال پیش دوباره اون رو خونه یکی از فامیل‌هام پیدا کردم. با حروفی فشرده روی کاغذ، شبیه کاغذ انجیل، مربوط به نیم قرن پیش. توی دستم گرفتم، حتی لازم نبود بازش کنم. اون تجربه عجیب و تکان‌دهنده خوندنش اومد به سراغم. مخصوصا اونجا که کوزت احساس می‌کرد سطل آبی که توی دستش بود، سبک‌ شده. ژان والژان سطل رو گرفته بود و داشت کمکش می‌کرد.
کتاب رو بو کردم. نفهمیدم یادآوری اون صحنه به خاطر خود کتاب بود و در دست گرفتن اون یا بوی کتاب.
به نظرم بیشتر از محتوا این
physicality
کتاب هست که اون رو واقعی می‌کنه.
مدتی بعد همه جا این دستگاه‌های آمازون برای خوندن کتاب مُد شد، یعنی
Kindle
اولین بار دست جف بزوس دیدم اون رو. وحشت زده شدم. من کتاب‌ها رو دوست دارم، منظورم همون چیز فیزیکی و دست‌ و پاگیری هست که از روی میز بر می‌داری و می‌ذاری تو کیف یا کوله‌ات.
حتی بدتر از اون یه بار با
Daniel Kahneman
صحبت می‌کردم و از
Kindle
تعریف می‌کرد. براش توضیح دادم که خوندن کتاب به صورت مجازی یعنی از دست دادن یه بُعد. به نظرم چیزهایی رو که online می‌خونیم به سختی به یاد میاریم. یه داستانی خونده بودم که فردی حافظه فوق‌العاده‌ای داشت و تکنیک‌اش این بود که هر جمله‌ یا مفهومی رو به یه شئ فیزیکی ربط می‌داد.
برای خود من تقریبا غیرممکن هست که از وسایل online برای خوندن استفاده کنم. مخصوصا در مورد موضوعات پیچیده‌تر مثل ریاضی، فقط نسخه‌ی فیزیکی جواب می‌ده. حتی این در مورد دانشجوهام هم صدق می‌کنه.
تصمیم گرفتم هر کتابی که می‌خونم، همون نسخه رو برای خودم نگه دارم، فقط به یه دلیل: نگاه دوباره به کتابی که خوندی، یعنی خوندن دوباره اون.
https://nntaleb.substack.com/p/the-book-is-a-book-not-disembodied

در واقع درستش اینه که اون ریاضی‌ایی که دوران کارشناسی خوندیم، حتی hard هم نیست.

در یک اثبات نوشته‌ شده توسط انسان، بخش‌هایی از استدلال که از نظر نویسنده سخت هست، معمولا نوعی اصطکاک طبیعی را در خود حفظ می‌کنند: مثلا یک توضیح ناکافی، لمی که با دقتی کم بیان شده، تغییری در نمادگذاری یا پاراگرافی که به‌وضوح چندین بار بازنویسی شده است.
این اصطکاک اطلاعات ارزشمندی در اختیار خواننده قرار می‌دهد. به خواننده نشان می‌دهد که کجا باید سرعت خود را کم کند و با دقت بیشتری توجه کند و این یکی از مهم‌ترین راه‌هایی است که از طریق آن دانش نانوشته یک حوزه به دیگران منتقل می‌شود.
در نقطه مقابل در
AI-polished proof
ممکن است هم اصطکاک مصنوعی (مثل غلط‌های تایپی، عبارت‌بندی‌های نامناسب و بی‌نظمی) و هم اصطکاک طبیعی از بین برود، در نتیجه متنی به وجود می‌آید که خواندنش آسان است، اما یادگیری از آن دشوار است.
به‌طور متناقض، "اشتباهات" موجود در توضیحات و نوشته‌های ریاضی انسانی می‌توانند واقعا برای خواننده مفید باشند.

اینجا تائو اشاره می‌کنه که زمانی که جوون‌تر بوده یه مقاله از
Bourgain
رو می‌خونده و کلافه‌ شده بوده. اما
by fighting
بالاخره تونسته شیوه فکری
Bourgain
رو بفهمه.
https://arxiv.org/abs/2608.16753

ظاهرا کار این‌ها بوده، همون کسی که مثال نقض رو برای حدس ژاکوبین پیدا کرد و Ava که درباره خودش اینجوری نوشته:

I'm a systems engineer, cryptographer, AI researcher, photographer, enjoyer of complex systems, physics, information theory, and more.

آقای
Zeilberger
که به خاطر Opinionهاش هم معروفه، آخرین نظرش اینه که A رو از AI حذف کنیم. هر وقت یه کاری رو صفر تا صد خودمون انجام دادیم بگیم: NI یعنی
Natural Intelligence.
https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/Opinion197.html

یه چیز عجیب و
not-entirely-serious
در مورد rank به دست اومده در این سال‌ها(از سال ۱۹۷۴ تا به امروز) اینه که rank و سال به دست اومدن رو، نمودارش رو رسم کنیم، تقریبا خطی می‌شه. نویسنده پُست می‌گه:

it's not clear (to me) why theoretical advances should also give linear growth!

https://mathoverflow.net/questions/38356/what-heuristic-evidence-is-there-concerning-the-unboundedness-or-boundedness-of/50868#50868