من خودم درباره آینده ریاضیات هیجان‌زده هستم. ولی ظاهرا دیدگاه من با همه یکی نیست. چیزی که بهش می‌گن
Elisabeth Kübler-Ross’ model
خیلی شناخته شده است. پنج مرحله سوگ:
انکار، خشم، چانه‌زنی، افسردگی و پذیرش‌.
چهار مرحله اول رو توی جامعه ریاضی خیلی خوب می‌شه دید، ریاضیدان‌ها سوگواراند برای چیزی که براشون عزیز بوده‌ و حالا احساس می‌کنند در حال از دست رفتنه.
انکار:
یه انجمنی هست به اسم
The Association for Human Mathematics
کارش دفاع از ریاضیات در برابر تهدیدات هوش‌مصنوعی هست. هر چیزی که AI تولید کنه رو منتشر نمی‌کنند. نه فقط ریاضیات که نگران بشریت و خود سیاره زمین هستند. چهره شاخص اون فیلدز مدالیست معروف
Peter Scholze
که گفته از AI استفاده نمی‌کنه و
he will die on that hill.
خشم:
یه سایتی هست
Proofs and Prompts
دیدگاه‌های مختلفی داره درباره این موضوع ولی پیدا کردن مقالاتی که پر از خشم هست توش کار راحتی‌ هست.
چانه‌زنی:
گروه AGMAI که تازه تاسیس شده. یه توصیه‌ای جدیدا انجام داد و گفت که از شرکت‌های هوش‌مصنوعی می‌خوایم از مدل‌های داخلی برای حل مسائل ریاضی استفاده نکنند.
افسردگی:
اگر ریاضیدان باشید و یا با این افراد سروکار داشته باشید حتما یکی رو دیدید که به این احساس دچار شده باشه. یکی از اعضای هیات علمی که در زمینه سیالات کار می‌کنه بعد از حل مساله ناویر استوکس به من گفت: این خبری
extremely depressing
بوده. یه دانشجوی دکتری رو هم می‌شناسم که روی یه لمی گیر کرده بود و ChatGPT سریع اون رو حل کرده. از خودش پرسیده دنبال چی‌ام من؟
یه چیزی بگم همین اول که من انتقادی نسبت به این نظرات ندارم و حرف این افراد رو و نگرانی‌هاشون رو با دقت گوش می‌کنم. ولی خودم این‌طوری‌ام که هر روز با هیجان نسبت به آینده ریاضیات از خواب پا‌ می‌شم.

این رو در نظر بگیرید که اثبات‌های AI خروجی pdf نداشته یا به‌درد به خور نبوده. خود Scholze در واکنش به این اثبات‌ها گفته بود: ما که چیزی یاد نگرفتیم.
ولی ریاضی فقط اثبات قضیه نیست. البته یه سری می‌گن ریاضیدان‌ها از سرناچاری جدیدا این حرف رو می‌زنند. ولی این حرف درست نیست. نتایج بزرگ در ریاضی که جایزه هم بردند با خودشون همیشه درک‌وفهم آوردند. مثلا همین قضیه آخر فرما که وایلز و تیلور اثبات کردند
a silly little 350-year old puzzle about positive integers with no applications
که کلی insight جدید توی زمینه‌های مختلف به ما داد.
البته فقط دیدگاه Thurston نیست که داره دست‌به‌دست می‌شه. دیدگاه هاردی هم هست. دانشجوی لیسانس بودم که خوندم کتابش رو. بعدا به زور کتابش رو تموم کردم. دیدگاه هاردی متکبرانه و جنسیت‌زده است. هاردی می‌گه: ریاضیات هنره و احتمالا اگه بود از ورود AI به حوزه ریاضیات ناراحت می‌شد. دیدگاه هاردی مقابل دیدگاه Thurston هست. هاردی مخالف توضیح‌دادنه و می‌گه کار ریاضیدان این نیست. Thurston نگاه متفاوتی داره. من نظر خودم رو دارم. می‌گم نگاه Thurston هم واسه ریاضیات خوب نیست. امروز AI مساله‌ها رو حل می‌کنه، اگه تا سال بعد توی توضیح‌دادن هم حرفه‌ای شد، کار ریاضیدان‌ها چی باید بشه؟ سال‌ها پیش که مقاله Thurston رو خوندم خیلی با اون موافق نبودم. من جدیدا متوجه شدم که اوتیسم دارم، شاید همین باعث شده این دیدگاه‌ رو داشته باشم‌.
دعوا سر این بود: یه ایده ریاضی فقط وقتی ارزش داره که اثبات دقیق واسه اون وجود داشته باشه و از Thurston انتقاد می‌کردند که ایده‌های مهمی داشت و دنبال جزئیات اثبات نبود. من خودم زمینه کاری‌ام رو به خاطر همین رو هوا بودن همه چیز ول کردم و رفتم سمت Lean. نمی‌شه فریبش داد. زور و تهدید رو هم نمی‌شناسه‌. من توی Lean احساس امنیت می‌کنم.
دانشجوی تیلور بودم، چیزی که می‌خواستم اثبات کنم متکی به یه قضیه دیگه بود، به تیلور گفتم: بذار اول اون اثبات رو بخونم و بفهمم. تیلور گفت: بودجه من محدوده.
من همیشه با خودم فکر می‌کردم واقعا کار خودم رو فهمیدم؟
من برخلاف Thurston فکر می‌کنم. درک مفهومی مبهم هست. من این برام مهم هست: تعداد قضیه‌هایی که درست اثبات شدند. می‌دونم توی اقلیت هستم، ولی نظرم اینه.
از OpenAI می‌خوام هر چی اثبات ‌کرده در اختیار بقیه بذاره. تمیزنویسی و مرتب‌نویسی رو بعدا می‌شه انجام داد.
البته این شرکت‌ها باید دیتاهایی که دارند رو در اختیار همه بذارند، الان دارند شبیه سانسورچی‌ها کار می‌کنند.
من خوشبین هستم، پیشرفت AI رشد نمایی داره و از اون طرف ریاضیات هم بی‌نهایت هست و بی‌نهایت از رشد نمایی بزرگ‌تره‌.
ما باید بدونیم و خواهیم دانست!
https://xenaproject.wordpress.com/2026/10/01/to-grieve-or-not-to-grieve/

اثبات اصم بودن رادیکال ۲.
کاری از خانواده Hamkins.

#دانستنی های_ به درد_نخور ۵۵
می‌دونستید
Jean Leray
ریاضیدان فرانسوی یه متخصص pde بود که بعدا توی زندان در زمینه توپولوژی جبری کار کرد؟
توی سال‌های جنگ جهانی دوم اسیر شد و از ترس اینکه آلمان‌ها بفهمند توی ریاضیات کاربردی و هیدرودینامیک تخصص داره و مجبورش کنند با اونا همکاری کنه، خودش رو یه توپولوژیست جا زد و تمام اون سال‌هایی که اسیر بود روی توپولوژی کار کرد. مفهوم Spectral sequence رو که معرفی کرد حاصل همون دوران بود. بعدا و بعد از آزادی اثر
Algebraic topology taught in captivity
رو منتشر کرد.
عکس از Paul Halmos.

نکته مهمی که درباره ریاضیات باید به خاطر داشت این است که نباید از آن ترسید. آن‌قدرها هم که گاهی "کاهنان ریاضیات" وانمود می‌کنند، دشوار نیست.

Richard Dawkins

The paradox of the largest tweetable number

کتاب
Finite Groups I
اثر ریاضیدان آلمانی
Bertram Huppert
که مترجم اون به انگلیسی در مقدمه گفته یه کتاب
clear, precise and complete
در نظریه گروه‌ها است و تلاش کرده یه
faithful translation
از اون ارائه بده. جز این نمادگذاری‌ها و یه سری مساله باز که در این سال‌ها حل شده.
خود ناشر هم در توصیفش گفته:
A comprehensive, self-contained resource for graduate students and researchers
یک اکتبر ۲۰۲۳ درگذشت، زمانی گفته بود:

There were only the following two events that really surprised me: the discovery of the first Janko group and the fall of the Berlin Wall.

#دانستنی های_ به درد_نخور ۵۶
می‌دونستید که خانواده انیشتین با ازدواجش با Mileva Marić (همسر اولش) مخالف بودند؟
مادر انیشتین توی نامه‌ای گفته بود: این دختر، نمی‌تونه وارد یه خونواده محترم بشه.
خانم Mileva یهودی نبود، آلمانی نبود، کمی لنگ می‌زد و به نظر مادر انیشتین زیادی روشنفکر بود. پدرش هم که می‌گفت: اول کار، بعد ازدواج.

نوجوون که بودم توی یه مدرسه حسابی تو مجارستان درس می‌خوندم. هفته‌ای هشت ساعت ریاضی و کلاس‌های ویژه برای آمادگی برای مسابقات ریاضی. فقط یه وظیفه داشتیم: حل مسائل IMO. بخش زیادی از اون سال‌ها رو صرف حل مساله کردم.
دو ساعت اولی که آخرین امتحان دبیرستان رو دادم، آزادترین لحظه زندگی‌ام بود. بالاخره تموم شد. ولی از اون طرف پوچی هم از راه رسید. تازه فهمیدیم که مسابقه تموم شد. مسابقه بخشی از زندگی‌مون بود. مسابقه واسمون جدی بود. اگه کسی عضو تیم المپیاد هم می‌شد که واقعا عالی بود. چند روز غمگین بودم. مسابقه‌ای در کار نبود. هیجانی در کار نبود. آموزشی در کار نبود. تمرینی در کار نبود.

هر انقلاب علمی اولش شبیه یه اسباب‌بازیه. اولین پرواز برادران رایت ۱۲ ثانیه طول کشید. من می‌گم وضعیت هوش‌مصنوعی توی ریاضیات الان همون وضعیت هست. شرکت‌های هواپیمایی خیلی به خودشون افتخار می‌کنند که دارند قله‌های ریاضی رو فتح می‌کنند ولی کوهنوردها می‌گن: پرچم‌هاتون رو اینجا نذارید! کوهنوردها می‌گن این دیگه کشف نیست، فتح نیست، یه بیزینس هست‌.
ولی من یه نظری دارم: روی باخت هواپیما شرط نبندید. هر کس می‌گه: هوش‌مصنوعی نمی‌تونه کار x رو انجام بده، داره خونه‌اش رو روی آب بنا می‌کنه.
الان ریاضیدان‌ها حس من رو بعد از آخرین امتحان دبیرستان دارند: گیج و بی‌هدف.
That grief is real...But it will not last.
The age of lone climbers is closing, and the age of mapping the whole continent is opening.
لینک

Primitive Pythagorean Triangle

نگار صابریان از مدیران ارشد شرکت Lyft، یکی از بزرگ‌ترین پلتفرم‌های تاکسی اینترنتی در آمریکاست. با پس‌زمینه‌ی مهندسی صنایع و ریاضی، سال‌هاست که در حوزه‌ی علم داده، تحقیق در عملیات و بهینه‌سازی فعالیت می‌کنه.

نگار بعد از تحصیل در دانشگاه صنعتی شریف و اخذ مدرک دکتری از University of Washington، سابقه‌ی کار به‌عنوان دانشمند تحقیق در عملیات در Apple و فعالیت تحلیلی و مدیریتی در McKinsey را در کارنامه خودس داره.

نگار توی Lyft روی تصمیم‌گیری‌های داده‌محور، الگوریتم‌های قیمت‌گذاری، تعادل میان عرضه و تقاضا (راننده و مسافر) و استراتژی‌های کلان رشد بازار کار کرده و نقش کلیدی در تصمیم‌گیری‌های مالی و عملیاتی این پلتفرم داشته.

https://youtu.be/qpiHnpP6yXU

جایزه
Wolf Prize in Mathematics
امسال رسید به
Joseph Bernstein, David Kazhdan
دلیل اون هم:

David Kazhdan and Joseph Bernstein fundamentally changed the way mathematicians understand the connections between different areas of mathematics. Their groundbreaking ideas created new bridges between algebra, geometry, and analysis, and helped lay the foundations of a major field in modern mathematics – geometric representation theory.

آقای برنشتاین متولد مسکو هست در سال ۱۹۴۵. از همون بچگی وارد دنیای ریاضیات شد، اون هم از طریق فضایی که حول‌وحوش ریاضی در شوروی اون زمان وجود داشت: رقابت، المپیاد، مسابقات ریاضی. مدال طلای IMO سال ۱۹۶۲ رو داره. خودش گفته دوره المپیاد براش خیلی خوب بود، ولی این تصور رو براش ایجاد کرده بود که اگه مساله‌ای ۵ ساعته حل نشه، دیگه حل شدنی نیست! بعدها فهمید که حل مسائل ریاضی در دنیای واقعی زمان می‌بره: هفته‌ها، ماه‌ها و حتی سال‌ها. شعارش در ریاضی اینه: ساده باش و شفاف، هم توی صورت مساله و هم در جواب.

چرا حل مساله‌های ریاضی موج وحشت بین ریاضیدان‌ها ایجاد کرده؟ کی گفت ریاضی یه
zero-sum game
هست؟ کی گفته جام‌ها محدودند و یکی دو نفر برنده می‌شن و بقیه بازنده‌اند؟ کی گفته باید جایی رو فتح کرد که فاتحان قبلی گفتند؟
بیاین نگاه کنیم توی فیزیک‌نظری چطور ارزش‌گذاری می‌کنند. من بیشتر زندگی‌ام رو بین این دو نقطه بودم.
a balance between the originality of ideas and their degree of connectedness
توی ریاضی فقط به تخصص‌گرایی اونم به شکل افراطی اهمیت می‌دن. شاید این به خاطر نگاه افلاطونی به ریاضیات باشه. چیزی در عالم بالا روی سنگی حک شده و فاتحانی مسلح بر سر "کشف" اون با هم می‌جنگند.
طنز ماجرا می‌دونید کجاست؟ روزی رسید و فاتحان اون سرزمین غیرانسانی، خودشون غیرانسانی از آب در اومدند! فاتحانی که حالا از خود انسان جلو افتادند برای فتح قلمرو انسان.
ریاضیدان‌ها سال‌ها شب‌ها با رویای حل مسائل بزرگ به خواب می‌رفتند و حالا هوش‌مصنوعی این دسته "مسائل بزرگ" رو که از زمان هیلبرت به این شکل شروع شد، داره نابود می‌کنه.
ارزش‌گذاری در جامعه ریاضی سال‌ها است اینجوریه:
این مساله رو M نفر به مدت N سال نتونستند حل کنند ( M و N رو به اندازه کافی بزرگ در نظر بگیرید).
چرا مثل فیزیک نظری ارزش‌‌گذاری نمی‌کنیم؟ چرا اینقدر اون M و N مهم هست؟ کی گفته بزرگ بودن اونا ارزشه؟
ریاضیات از نظر من اینه: یه زبان برای فهم واقعیت و توانایی برای بیان اون‌ دقیقا مثل هنر‌. خب اگه اینجوری نگاه کنیم به ریاضیات، چه ترسی از AI داریم؟
سوال اصلی اینه: اون چه بخشی و چیزی از ریاضیات هست که درون شما زنده است و هیچ‌جا نیست؟ دنبال اون برید. لازم نیست قبل از تموم کردن قهوه صبح برید سراغ حدس‌های بزرگ.
اگه ریاضی از نظر شما چند تا حدس مشهوره که حل اون پاداش داره و اگه اونا حل بشن ریاضیات تموم می‌شه
Well, the sooner the better! Good riddance!
https://www.its.caltech.edu/~matilde/AImathNew.pdf

Can you name the women who have won a science Nobel prize?
Take Nature’s quiz on female Nobel laureates in physics, chemistry and physiology or medicine.
https://www.nature.com/immersive/d41586-026-03133-9/index.html

You might be graduating into a profession that might not even exist, or that will be very different than what you expected, You need to brace.

Ken Ono
https://www.quantamagazine.org/is-ai-the-end-of-math-as-we-know-it-20261005/

باید برای ریاضیاتی آماده بشیم که ما هدایتش نمی‌کنیم و باید ازش استقبال کنیم.
دوره دانشجویی شیفته ریاضی بودم، رفتم توی یه دانشگاه یه سری درس درباره ریاضی بگذرونم. کیف می‌کردم. حتی چند بار دست زدم!
دوران دانشجویی نوشته‌های گروتندیک رو می‌خوندم درباره اینکه درست انجام دادن ریاضیات چیه اصلا؟ هر کتابی مربوط به کارم بود می‌خریدم و می‌خوندم. دوست داشتم ریاضیدان بشم، نه به عنوان یه کار، دوست داشتم مثل اونا فکر کنم.
بعدها که درسم تموم شد با خودم گفتم اینا چی بود من خوندم؟ ارزش داشت؟ ولی ریاضیات شیوه فکر کردن من رو عوض کرده بود. آره، ارزش داشت، ولی نمی‌شد توی یه ترازنامه ثبتش کرد.
خود ریاضیدان‌های محض معمولا نمی‌گن کارهایی که می‌کنند کجا توی دنیای واقعی به کار میاد، ولی دولت‌ها قبول کردند که تامین مالی ریاضیات رو به عهده بگیرند.
البته دو تا ریاضیدان هم داشتیم که وارد حوزه مالی شدند:
Jim Simons, Alex Gerko
و بعدها هم از ریاضیات حمایت کردند.
شاید بپرسید که ریاضیات محض به صنعت هم ربط داشته؟ پدرهای
modern computing
یعنی
Claude Shannon, Alan Turing, and John von Neumann
همه‌شون دکترای ریاضی داشتند.
اصلا هوش‌مصنوعی Claude از اسم اولی میاد.
الان با اومدن AI ریاضیات داره می‌شه یه کالا.
توی این مدت خیلی‌ها می‌گن هوش مصنوعی چی‌کار کرده مگه؟ فقط سوالات IMO رو حل کرده، بعد گفتند فقط یه سری حدس حل کرده، بعد گفتند خودش که نمی‌تونه حدس بزنه، بعد گفتند...
توی این اعتراض‌ها من به یه جور "انسان‌محوری پنهان" رو می‌بینم. باور به خاص بودن هوش انسانی.

هالموس تعریف می‌کنه که توی IAS اولین آزمایش رو با کامپیوتر داشتند انجام می‌دادند و فون‌نویمان هم اونجا بود. یه مساله درباره توان‌های دو. هالموس می‌گه:
"ماشین و جانی با هم شروع کردند و جانی زودتر تموم کرد."
چند سال بعد چی شد؟ هیچ انسانی نمی‌تونست با کامپیوتر رقابت کنه.

زمانی از قهرمان شطرنج جهان یعنی کاسپاروف پرسیدند که کامپیوترها می‌تونند انسان رو شکست بِدن در شطرنج؟ و کاسپاروف گفته بود: مسخره است، هرگز.
هشت سال بعد از
Deep Blue
شکست خورد.

بعد هم اون ماجرای بازی Go پیش اومد. ۲۰۱۴ یکی گفت: ده سال زمان نیازه تا بتونند انسان رو شکست بِدن. تعداد حرکت‌ها خیلی زیاده و
brute-force
جواب نمی‌ده و بازیکن‌ها یه جاهایی به شهود متکی هستند. قبل از مسابقه
Lee Sedol
گفت: این برنامه در سطح من نیست. چند هفته بعد ۴-۱ باخت ازش.
شبیه وضع ریاضیدان‌ها شده. جدیدا یکی گفته هوش‌مصنوعی هواپیما است. ولی به نظرم درست نیست. هوش‌مصنوعی داره اوج می‌‌‌گیره، می‌ره، می‌ره و دور می‌شه و سرعتش به سرعت نور می‌رسه.
حرکت ۳۷ رو به یاد بیارید.
به زودی AI هم build می‌کنه و هم explore و ما مثل بچه‌هایی می‌شیم که هیچی نمی‌فهمیم و من می‌گم دقیقا همین‌جا ارزش ریاضیات بیشتر می‌شه: پایه و اساس تمام پیشرفت‌های علمی.
https://justinasher.me/math-approaching-light-speed

ظاهرا OpenAI می‌خواد ۴۰۰ اثبات که به کمک AI بدست اومده رو منتشر کنه.
بعضی‌ها می‌گن اگه چیزی رو اثبات کردی، منتشر کن. بعدا شاید رقبا زودتر منتشر کنند و خودت ضرر می‌کنی. پنهان کردن یه اثبات فایده‌اش چیه؟
بعضی‌ها هم می‌گن ریاضیات یه سری گزاره که روی هم جمع شده باشه نیست. تا وقتی ریاضیدان‌ها درک نکنند یه مُشت حروف مرده روی کاغذ هست.