در مورد موفقیت شرکت‌های مختلف در حل مسائل ریاضی می‌گن: این شرکت‌ها صورت کسر رو می‌گن(تعداد موفقیت‌ها) ولی هیچ‌وقت حرفی از مخرج کسر نمی‌زنند(کل مسائلی که بررسی کردند)
حتی در مورد حل اون ده مساله توسط
Astra
هم می‌گن کمی اغراق شده(در مورد توانایی‌های خود مدل) ظاهرا خود OpenAI هم هنوز تصمیم نگرفته اسمش رو چی بذاره؟
GPT-5.7 or GPT-6?
می‌گن: فعلا marketing و science درهم ارائه می‌شه.

می‌گن یکی از نتایج خیلی خاص و جالب‌ توجه در زمینه نظریه تحلیلی اعداد.
البته اینکه به ۱۰۰٪ برسه RH رو اثبات نمی‌کنه.
به شوخی می‌گن AI شاید در نظریه تحلیلی اعداد خوب عمل کنه ولی در نظریه قاره‌ای اعداد بعید هست موفقیتی کسب کنه! (اشاره به دو نوع فلسفه تحلیلی و قاره‌ای)

وضعیت!

این مساله هم بعد از چند دهه، یه حالتش باقی مونده بود که حل شد.
می‌گه این research رو در کنفرانس
AI and number theory
شروع کردیم.
بعد می‌گه متن رو با AI ننوشتیم. بعد اضافه می‌کنه:

for searching the literature, code generation, testing hypotheses,
ruling out other approaches, devising computational strategies, checking our results, and proofreading our manuscript

از AI استفاده کردیم.
نتیجه نهایی رو هم در Magma بدون AI verified کردیم.
گاورز گفته بود دست‌کم در مقطعی این مرز تا حدی از بین می‌ره(که دقیقا کی چی کار کرده؟)
ریاضیدان برجسته‌ای مثل
BJORN POONEN
هم جز نویسنده‌ها است.
https://math.mit.edu/~poonen/papers/M23.pdf

اینجا خیلی خوب و گام‌به‌گام مهمترین مساله حل نشده ریاضیات رو توضیح داده و گفته این نتیجه‌ای که به دست اومده چیه؟
شاید قبل از مرگ نتونیم اثباتش رو ببینیم، دست‌کم بفهمیم چی می‌گه.

You do not need a maths background. Each new idea begins with a picture.

Prime Numbers and Two Thirds of the Zeros
https://muchmirul.github.io/conjectures/zeta-critical-line/

- اونا چی هستند؟ یه شبکه چند میلیون نورونی که به یه پایگاه دانش درب‌وداغون وصل هستند. کی به اینا گفته هوش؟
- همین رو درباره تو خواهند گفت.

آقای Harris در اینجا درباره اینکه مولف بالاخره کیه، صحبت می‌کنه. کسی مثل گاورز گفته بود مولف بودن AIها رو به رسمیت بشناسیم. آقای هریس می‌گه مولف باید
the intention of being an author
داشته باشه. اگر قطعات چوب که جایی قرار داده شدند، سقوط کنند و این کار به طور اتفاقی منجر بشه به اثبات مثلا فرضیه ریمان، به اون قطعات چوب باید بگیم مولف؟
آیا AI قصد و نیت داره؟ از کجا می‌دونیم که دوست داره یه ریاضیدان باشه و نه یه رقصنده باله؟
همین طور اشاره می‌کنه که به عنوان ریاضیدان دوست دارم تعیین کنم که دستاوردهای من چطور باید مورد استفاده قرار بگیره. من دوست ندارم کارهام
formalize
بشه.
این رو به یه ریاضیدانی گفتم و به من گفت: تو بی‌مسئولیتی!
به من گفت: این ممانعت تو در نهایت منجر می‌شه که پل‌هایی ساخته بشه که فرو می‌ریزه و هواپیماهایی که سقوط می‌کنه(البته توضیح نداد که چطوری؟)
https://substack.com/home/post/p-208701628

تعداد مقالات در زمینه
combinatorics
که در arXiv هر هفته آپلود شده.
ظاهرا
combinatorics
رکورددار بوده.

۱. ریاضیات رو
deeply and slowly
بخونید.
۲. توی ریاضی
start-up cost
ممکنه کمی بالا باشه. ولی الان دیگه ابزارهای زیادی هست. اهمیت مثال رو دست‌کم نگیرید. الان AI هم هست کمک می‌کنه، ولی خودتون تلاش کنید برای ساختن مثال، حتی اگه شکست بخورید.
۳. از داشتن تصویرهای ذهنی خودتون، مثال‌های خودتون و هر چیزی که از آن خودتون هست نترسید. الان AI می‌تونه همه چیز رو درست و تمیز بهتون توضیح بده‌. ولی چشم‌‌انداز خودتون رو داشته باشید. اصلا ریاضیات درست‌ودرمون نتیجه
friction between the truth and a lie
هست.
۴. محدودیت‌های خودتون رو مقابل AI در بعضی زمینه‌ها بپذیرید. بعضی از این محدودیت‌ها خودش یه مزیت‌ هست.
۵. گاهی برین توی مسیرهای فرعی، دست‌کم در حد معقول. الان با ظهور AI خود مفهوم
productivity
معنی‌اش عوض شده. در روزگار به تعبیر تائو
proof abundance
دیگه چاپ تعداد مقالات بالا در یه بازه مشخص معنایی نداره.
مساله
serendipity
رو هم دست‌کم نگیرید.
۶. آزادی برای دنبال کردن کنجکاوی‌هاتون رو فراموش نکنید.
و اینکه برخلاف اون تصور آرمانی که از مفهوم اثبات در ذهن همه هست، اثبات ریاضی یه
social construct
هست. وظیفه ریاضیدان هست که بقیه رو قانع کنه که ادعاش درسته.
https://eldenelmanto.com/wp-content/uploads/2026/08/advising-final.pdf

ایشون رزیدنت جراحی مغز و اعصاب هستند. یه مساله در
matrix analysis
رو که به حدس
Crouzeix's conjecture
معروف بوده و در سال ۲۰۰۴ یه ریاضیدان مطرح کرده بود، به کمک
ChatGPT 5.6
حل کرد.
دو نفر و خود اون فردی که حدس رو مطرح کرده، اثبات رو بررسی کردند و گفتند درست هست. گفته شانس هم دخیل بوده البته.
اجرای خودکار ChatGPT 5.6 به مدت ۱۶ ساعت و promptنویسی بسیار حرفه‌ای در حل مساله تاثیرگذار بوده. از پرامپتی که
OpenAI
برای حل
the Cycle Double Cover conjecture
استفاده کرده بود، الگو گرفته‌. ازش خواسته بود که راهبردهای مختلف رو برای حمله به مساله استفاده کنه و فقط وقتی اون رو کنار بذاره که یه مثال نقض براش پیدا بشه. همین طور

the prompt instructed ChatGPT not to give up until a complete proof survived checking.

لینک preprint
لینک پرامپت

اینجا گاورز می‌گه این روزها همه می‌گن AIها در پیدا کردن مثال نقض مهارت خوبی دارند. با یه مثال توضیح می‌ده که خود این مفهوم ممکن هست برداشت درستی از اون نشه. در اینجا قضیه
Vinogradov
رو مثال می‌زنه.
∀ n (sufficiently large odd nummber) ∃ prime numbers p1,p2,p3 such that
n=p1+p2+p3
حالا نقیض این گزاره می‌شه:
یه عدد فرد وجود داره که نمی‌شه اون رو به صورت جمع سه عدد اول نوشت.
حالا می‌گه اگه به این نگاه کنیم انگار طرف دنبال مثال نقض می‌گرده. در صورتی که این‌طور نیست.

در مورد اون قضیه بعدا نشون دادند که "به اندازه کافی بزرگ" یعنی بزرگ‌تر از
10¹³⁴⁶
و تا عدد
10²⁰
رو هم با روش‌های
brute force
چک کردند، درست بوده.
بین این دوتا، که فاصله‌شون کم هم نیست، هنوز بررسی نشده.
https://gowers.wordpress.com/2026/08/12/what-sort-of-maths-are-llms-good-at/

ماتریس Hadamard به ماتریسی می‌گن که تمام درآیه‌هاش از اعداد ۱+ و ۱- تشکیل شده و هر دوتا سطر رو که در هم ضرب داخلی می‌کنیم، بشه صفر. حالا یه تیم سه نفره با کمک Claude یه ماتریس Hadamard از مرتبه‌ی ۶۶۸ پیدا کرده.
خود Hadamard conjecture می‌پرسه که آیا برای هر k یه ماتریس از این نوع و از مرتبه 4k وجود داره؟ این مرتبه ۶۶۸ یکی از حالت‌هایی بود که جواب آره یا نه رو نمی‌دونستند.
در کل خود این اتفاق شاید اونقدر مهم نباشه، مگر اینکه یه روشی پیدا کرده باشند که برای پیدا کردن بقیه حالت‌ها هم جواب بده.
https://epoch.ai/frontiermath/open-problems/hadamard

اینجا فایل csv چند تا ماتریس از این نوع رو گذاشته، از جمله همین ماتریس جدید رو.
چیز خاصی نیست در کل، یه سری ۱+ و ۱-.
لینک

یه جوکی هست درباره درک افراد از احتمال:
طرف از پرواز می‌ترسیده از دوست ریاضیدانش می‌پرسه احتمال اینکه یه نفر در هواپیما بمب داشته باشه چقدر هست؟ می‌گه: نمی‌دونم، ولی خیلی پایینه، مثلا یک در میلیون. می‌پرسه: احتمال دوتا بمب چقدر می‌شه؟ می‌گه: از نظر ریاضی اگه مستقل باشند ضرب اون عدد در خودش، که خیلی خیلی کم می‌شه.
از اون به بعد رفیقش همیشه موقع پرواز یه بمب با خودش می‌برده تا احتمال وجود بمب رو در هواپیما کاهش بده!

درباره سبک متفاوت ریاضیدان‌ها در مواجه با مسائل ریاضی:
برخلاف گروتندیک که گردو رو در آب فرو می‌برد و بعد از مدتی فقط با فشار دست اون رو باز می‌کرد، می‌گن Jean Bourgain فیلدزمدالیست بلژیکی متوجه شده بود که برای شکستن همون گردو باید با انگشت‌ها نیرویی ده برابر بیشتر به گردو وارد کرد، که غیر ممکن بود. انبردستی می‌ساخت که نیرو رو تقویت می‌کرد منتها به اندازه 0.1. پس ۲۳۲ تا از اون می‌ساخت
(1.01)^²³²=10.06
بعد این انبردست‌ها رو با چسب به هم می‌چسبوند و با تمام قدرت به گردو ضربه می‌زد و تق! گردو می‌شکست(مساله حل می‌شد)

چرا غول‌های انسانی قوانین فیزیک رو به چالش می‌کشند؟
طبق افسانه‌ها زمانی غول‌ها روی زمین زندگی می‌کردند. در اودیسه هومر، جک غول‌کش و غولی که در جک و لوبیاهای سحرآمیز وجود داشت.
گالیله در کتاب خودش استدلال می‌کنه که تصور عامیانه در مورد غول‌ها نادرست هست و از نظر فیزیکی موجودی انسان‌نما ولی بزرگ نمی‌تونه وجود داشته باشه.

پس روشن است که اگر کسی بخواهد در یک غول بزرگ همان نسبت اندام‌هایی را حفظ کند که در یک انسان معمولی وجود دارد یا باید ماده‌ای سخت‌تر و مستحکم‌تر برای ساخت استخوان‌های او پیدا کند یا باید بپذیرد که قدرت او در مقایسه با انسان‌هایی با قامت متوسط کاهش خواهد یافت، زیرا اگر قد او بیش از اندازه افزایش یابد، سقوط خواهد کرد و زیر وزن خودش درهم شکسته خواهد شد.

این استدلال گالیله رو اگر بخوایم برای انسان‌های کوچک مثل لی‌لی‌پوتی‌ها به کار ببریم به این صورت می‌شه که: به شکل عادی نمی‌تونند راه برند ولی می‌تونند تا ارتفاع قابل توجهی بپرند و بارهای سنگین حمل کنند.
غول‌ها غیرممکن‌اند، لی‌لی‌پوتی‌ها فقط در ادبیات هستند و درباره انسان‌ها، دلیل بسیار خوبی وجود داره که ما همین اندازه‌ای هستیم، که هستیم.

بخش‌هایی از کتاب
The Book of Infinity
اثر جدید آقای
Joel David Hamkins
که به زودی منتشر می‌شه.
https://thereader.mitpress.mit.edu/why-human-giants-defy-the-laws-of-physics/

دوستان می‌گن نوعی قارچ توی چین پیدا شده که هر کی خورده توهم لی‌لی‌پوتی زده. یعنی موجودات یا انسان‌های کوچک رو در محیط اطرافش دیده. بهش می‌گن
Lilliputian hallucinations
البته توی گزارش اومده که

What's fascinating is they interact with the physical world using the laws of physics...

https://phys.org/news/2026-08-qa-mushroom-tiny-people-hallucinations.html