این هم خوب بود. همین الان ریاضیدان‌ها درگیر حل انواع بازی‌هایی هستند که خیلی‌ها راحت از کنارش می‌گذرند. مثلا یکی
infinite chess
هست که صفحه شطرنج بی‌کرانه‌.
یه بار به فردی که آدم نسبتا معروفی هم هست و کتاب و مقاله هم در زمینه شطرنج ترجمه کرده، اون نوع شطرنج رو نشون دادم. خیلی استقبال نکرد(با اینکه دیوانه شطرنج هست) و گفت: اگه هدف تقویت مهارت‌های ذهنی هنرجو و شطرنج‌بازه که باید توی صفحه اصلی تمرین کنه و این شطرنج نیست و نام دیگری دارد! فقط ۸*۸ و لاغیر!

یه اصلی هست به اسم
Axiom of determinacy
برخلاف اصول دیگه مثل AC یا CH خیلی شناخته شده نیست و هر کسی هم سراغش رو نمی‌گیره(در غربتش همین بس که در ویکی‌پدیای فارسی چیزی در موردش ننوشته‌اند و کلا در ویکی‌پدیا به ۸ زبان براش مدخل ایجاد شده) می‌گه:
برای هر بازی(که از نوع خاصی باشه) یه استراتژی برد برای یکی از بازیکن‌ها وجود داره.
با AC(اصل انتخاب) هم که به طور کلی
incompatible
هست و خب در ریاضی هم که همه معمولا با ZFC کار می‌کنند.

این پست قدیمی هم شاید یکی از جالب‌ترین comebackهای اینترنت باشه.
طرف با یکی بحث‌اش شده برای اینکه ساکتش کنه می‌گه: اگه تا حالا توی پاتنام(سخت‌ترین مسابقه ریاضی در سطح لیسانس) برنده نشدی، حرف نزن بابا!
طرف مقابل هم می‌گه: من برنده شدم!(هر بیشه گمان مبر که خالی است!)اونم توی ۱۴ سالگی.
نفر اول می‌گه: ترکوندیم!
بعد یکی دیگه: خب حالا برنده شدی، به من چه؟ چه کاری واسه زندگی من کردی؟ فقط مامانت رو خوشحال کردی.
اونم جواب می‌ده:
تا حالا از
macOS or Firefox
استفاده کردی؟ من زندگی‌ات رو بهتر کردم. الگوریتمی طراحی کردم که برای بروزرسانی‌های نرم‌افزاری به جای دانلود یه فایل ۵۰ مگابایتی یه فایل یه مگابایتی رو دانلود می‌کنی. تا الان چندین سال از زمان انتظار کاربرها برای آپدیت فایل‌ها رو کاهش دادم.
ایشون آقای
Colin Percival
هستند.

ظاهرا
ArXiv
رنگ
Crimson Red
اون نوار بالایی‌‌اش رو عوض کرد و این رنگ جدید رو گذاشت.

پنجاه سال پیش اردوش و گراهام یه سوالی پرسیدند:
آیا c>0 وجود داره که برای هر ضریب دوجمله‌ای
C(n,k)
(که k از یک هست تا n-1) اون ضریب یه عامل در بازه
(cn,n]
داشته باشه؟
چون
C(n,k)=C(n,n-k)
می‌تونید k رو تا n/2 هم درنظر بگیرید.
برخلاف بسیاری از سوالاتی از این دست که اردوش و رفقا مطرح کردند و کسی که در جریان اتفاقات پشت‌پرده نیست، از خودش می‌پرسه چطور یا چرا این سوالات به ذهنش رسیده، این سوال منطق پشتش تا حد زیادی قابل درک هست. چون
C(n,k)
در واقع ضرب چند تا عدد هست که از خود n شروع می‌شه تا...

این بار چند تا انسان دور هم جمع شدند و به این سوال جواب دادند: نه!
https://arxiv.org/abs/2605.21221v2

سعی بی‌حاصل یا باطل به روایت تصویر

axiomatic set theory is spiritually and historically israeli.

منبع، گوینده‌ای ناشناس و چون تا حدی خاص بود در Notes ذخیره کرده بودم.

البته به نظر من نه spiritually و نه historically درست نیست. حتی با فرض اینکه گروهی ریاضیدان از یه قوم یا کشور خاصی نقشی پررنگ در بخشی از ریاضیات داشته باشند، اشاره به اون اگر بیشتر از اشاره‌هایی باشه که مثلا در ویکی‌پدیا می‌شه احمقانه است!
بعد از این مقدمه طولانی....
تولد Shelah افسانه‌ای هست. وضعیت Shelah از جهتی بی‌شباهت به وضعیت اردوش نیست. بالای هزار مقاله و نزدیک به سیصد نویسنده همکار.
اشاره کرده که می‌خواسته فیزیک‌دان یا بیولوژیست بشه ولی کتابی درباره هندسه اقلیدسی خونده و شیفته اون سبک مبتنی بر یه سری اصول اون شده. در ۱۵ سالگی تصمیم می‌گیره ریاضیدان بشه.
خود Set theory از جایی به بعد یه حوزه‌ خیلی تخصصی از ریاضیات شد که مبحث‌های پیشرفته‌تر اون به رغم زیبایی معمولا کاربردهایی محدود و خاص خارج از منطق و Set Theory داره و Shelah معمولا بخش عمده‌ای از کارهاش در همون حوزه‌ است.

جنگلی از مساله‌های گراف
نزدیک هزار مساله در نظریه گراف رو یه جا جمع کردند، تقریبا همه‌شون open.
صورت مساله رو گفته، یه تاریخچه از اون، منابع مرتبط با اون رو.
https://mlelarge.github.io/graph-conjectures/

ریاضیدان آمریکایی
Ronald Graham
زمانی در جواب این سوال که چطور می‌رسی این همه کار انجام بدی؟ گفته بود:

خب! می‌دونی؟ روزها رو دارید و اگه کافی نیست، شب‌ها هم هست!

مقاله طرف reject شده، به دلیل
out of scope
که خب، دلیل متداولی هست(اگه ژورنال رو کسی درست انتخاب نکنه)
ولی اشاره به سِیل مقالاتی که submit می‌شه و دلیل اون هم جالب بود.

مساله کوتاه‌ترین مسیر یه مساله خیلی معروفه که راه‌های مختلفی برای حل اون وجود داره. معروف‌ترینش الگوریتم Dijkstra.
ولی یه نکته‌ای وجود داره که برخلاف اون مساله، مساله بلندترین مسیر(بدون تکرار مسیر) مساله نسبتا سختی حساب می‌شه و اصطلاحا در دسته مسائل NP-Hard قرار می‌گیره. شاید بعضی‌ها فکر کنند که یه ورژن یا modification از همون Dijkstra رو بزنیم دیگه. ولی نه! این‌طور نیست.

توی این سایت می‌تونید با جواب دادن به ۱۵ سوال ببینید موضع‌تون نسبت به AI و آینده اون چیه؟
https://bambamramfan.github.io/ai-compass/

آقای Hamkins در mathoverflow یه تنه همه رکوردها رو زده. حدود ۱۷ سال فعالیت، جواب دادن نزدیک به دو هزار سوال و...
از دل اون بحث‌ها چند تا مقاله هم در اومده. در حوزه‌ تخصصی خودش سوال‌ها و جواب‌هاش واقعا آموزنده است.

یه روش reasoning در ریاضی روش
Counterfactual thinking
هست. یه سری فرض در نظر می‌گیری و بعد می‌گی نتایج اونا چی می‌شه.
دیگه معروف‌ترینش می‌شه همون اثبات به روش برهان خلف. یه فرضی رو در نظر می‌گیری و بعد با سر می‌خوری تو دیوار(معروف‌ترین نوع اثبات برای اون اثبات اقلیدس برای بی‌نهایت بودن اعداد اول و اثبات اصم بودن رادیکال ۲)
برای ریاضیدان‌ها این نوع تکنیک چنان بدیهی هست که فکر اون دانش‌آموزی که تازه شروع کرده و یا یه فرد بیرون از جامعه ریاضی رو اصلا نمی‌کنند که شاید این نوع تفکر براشون چندان بدیهی هم نباشه. چرا؟ چون اونا لنگر زدند روی جهان واقعی و نمی‌تونند هی فرض‌های جایگزین رو خیلی راحت بپذیرند. مثال:

معلم: خب بچه‌ها! یه قضیه داریم و صورت قضیه اینه: فرض کنید p یه عدد اول باشه...
دانش‌آموز: استاد! ببخشید، از کجا می‌دونید اوله؟ چرا مرکب نیست؟

خب این چیزها در دنیای بیرون ریاضیات هم هست، مثلا توی فیلم‌ها. یه فرض خلاف واقعیت در نظر می‌گیری و پیش می‌ری. ولی اونجا نویسنده یا کارگردان دنبال نتایج منطقی نیست و بیشتر قصدش اینه که بیننده رو سرگرم کنه یا داستان رو پیش ببره و از این کارها.
ولی خب همون‌ها هم برای شروع و آشنا کردن تازه کارها بد نیست.
ولی خب مساله اینه که برهان خلف هنوز هم گاهی توسط دانشجوها با شک‌وتردید بهش نگاه می‌شه. مثال شاخص اون اثبات کانتور برای ناشمارا بودن اعداد حقیقی.
من یه لیست از اثبات‌هایی که بر مبنای استفاده از برهان خلف هستند رو جمع‌آوری کردم که به نظرم می‌شه گفت مبنای اون‌ها اینه: "هیچ شی‌ایی وجود نداره که خودش رو بشکونه" یعنی یه شی اونقدر قوی باشه که بشه از خودش استفاده کرد و شکوندش!
مثال: قضیه کانتور، قضیه اقلیدس، قضیه ناتمامیت گودل یا پارادوکس راسل.
استفاده از برهان خلف از نظر ریاضی به شیوه معمول هیچ ایرادی نداره. ولی برای یه فرد از بیرون دنیای ریاضی و یا یه آدم تازه‌کار اینکه دستش رو بگیری و ببری توی یه جهانی که خود اون جهان براساس یه فرض خلاف واقع است، یه کم نگران‌کننده است.
من یه کار دیگه کردم. گفتم به جای اینکه بگیم: "هیچ شی خود‌شکنی وجود ندارد" بگیم: "هر شی‌ایی رو می‌شه شکوند"
بذارین چند تا مثال بزنم:
قضیه(ورژن هیچ شی خودشکنی وجود نداره):
عدد طبیعی‌ایی وجود نداره که از همه اعداد طبیعی بزرگ‌تر باشه.
همون قضیه(ورژن همه چیز رو می‌شه شکوند):
فرض کن N یه عدد طبیعی هست، عدد 'N هست که از اون بزرگتره.
مثال دوم:
قضیه(ورژن اول):
اعداد حقیقی ناشمارا است.
همون قضیه(ورژن دوم):
فرض کنید
x1,x2,x3,...
یه دنباله‌ شمارا از اعداد حقیقی باشند، در این صورت yایی هست که با هیچ‌کدوم برابر نیست.
و مثال‌های دیگه.
https://terrytao.wordpress.com/2010/10/18/the-no-self-defeating-object-argument-revisited/

وقتی هدفت از مقاله نوشتن ترسوندن داور دوم هست.

#دانستنی های_ به درد_نخور ۵۰
می‌دونستید آبراهام لینکلن که به یکی از بزرگترین سخنوران تاریخ معروفه کلا شش ماه بیشتر درس نخونده بود.
مردی با موهای ژولیده و کت‌وشلوار نامرتب.
معروفه کسی ازش پرسیده بود چطور به این میزان از توانایی در استدلال و سخنوری رسیدی؟ جواب داده بود: حقوق که می‌خوندم همه‌اش با کلمه demonstrate روبرو می‌شدم، بعدا فهمیدم معنی این کلمه رو نمی‌دونم.
ظاهرا به خونه پدری می‌ره و شش کتاب اقلیدس رو می‌خونه.
کتاب اقلیدس درباره هندسه نیست، در مورد درست اندیشیدن هست.

‏عدد پی وقتی تو محاسبات ۳ در نظرش می‌گیرن.

جایی بحث بر سر این بود که کیفیت مقالات علمی نسبت به مثلا دهه ۱۹۵۰ یا ۱۹۶۰ تغییر کرده یا نه؟ اکثرا گفته بودند: رشته ما نه! همون طوریه و حتی بهتر شده. یه ریاضیدانی گفته بود: در ریاضیات مقالات تاپ تغییری نکرده و اون وسط‌ها بدتر شده. که بعضی‌ها با همون قسمت اولش هم مخالف بودند و می‌گفتند: یعنی الان مقالات تاپ دوره ما با مقالات گروتندیک و بقیه ریاضیدان‌های شاخص اون زمان برابری می‌کنه؟
البته واضح و مبرهن هست تا یه بررسی دقیق روی اون مقالات نشه امکان نظردادن دقیق و درست هم فراهم نیست. از اون دوره هم دیگه کسی سراغ متوسط‌ها نمی‌ره معمولا، ولی الان چرا. شاید این نگاه ناشی از همین باشه.
یه نکته دیگه اینه که الان واقعا حوزه‌ها تخصصی‌تر شده و به تعبیری "مشتی متخصص" جمع شدند برای حل یه مساله خاص و ممکنه اصلا تمام دستاورد یه ریاضیدان در طول عمرش حل یکی دو تا مساله در حوزه‌ای خاص باشه.

مرحوم جفرسون هم که حتما می‌شناسین (کسی که اعلامیه استقلال USA رو نوشت)
می‌گن نیم نگاهی به کتاب اقلیدس داشته و یه رویکرد axiomatic رو اصلا در پیش گرفته.