Как ни странно, но даже чёткое определение, казалось бы, такого простого объекта, как многогранник, является не такой простой задачей. Желающим разобраться предлагаем посмотреть брошюру классика этой темы – Николай Петровича Долбилина – «Жемчужины теории многогранников».
Определения вершины многогранника можно давать разные. Но главной характеристикой вершины выпуклого многогранника является «недостаток угла» в этой точке https://etudes.ru/etudes/polyhedron-vertices/ .
Определения вершины многогранника можно давать разные. Но главной характеристикой вершины выпуклого многогранника является «недостаток угла» в этой точке https://etudes.ru/etudes/polyhedron-vertices/ .
etudes.ru
Вершины многогранника / Этюды // Математические этюды
Характеристика вершин выпуклого многогранника.
В продолжение темы неевклидовой геометрии предлагаем погрузиться в неё с помощью красивой интерактивной модели «Геометрия Лобачевского: интерактивная модель Пуанкаре в круге» https://etudes.ru/etudes/Lobachevskian-geometry-Poincare-disk-model/ .
Точки и прямые можно двигать! А прошедшие сквозь геометрию Лобачевского до конца сюжета смогут построить свой гиперболический калейдоскоп!
Приятно преподнести этот красивый подарок всем, urbi et orbi, в день 25-летнего юбилея глубокого математика и удивительного человека, деятельно участвующего в жизни нашей лаборатории популяризации и пропаганды математики Математического института им. В.А. Стеклова РАН.
Точки и прямые можно двигать! А прошедшие сквозь геометрию Лобачевского до конца сюжета смогут построить свой гиперболический калейдоскоп!
Приятно преподнести этот красивый подарок всем, urbi et orbi, в день 25-летнего юбилея глубокого математика и удивительного человека, деятельно участвующего в жизни нашей лаборатории популяризации и пропаганды математики Математического института им. В.А. Стеклова РАН.
etudes.ru
Геометрия Лобачевского: интерактивная модель Пуанкаре в круге / Этюды // Математические этюды
Введение в геометрию Лобачевского с использованием интерактивной модели Пуанкаре в круге.
Наступает новый, 2025 год!
«Понимаете, у нас традиция, 31 декабря каждый год мы с друзьями …», проверяем арифметику очередного номера года https://vk.com/etudesru?w=wall-192547232_3379 .
Число 2025 одновременно представимо и как квадрат суммы последовательных чисел, и как сумма кубов этих же чисел:
2025=(1+2+3+…+9)^2=1^3+2^3+3^3+…+9^3.
Предыдущие года, которые обладают таким свойством, — это 784 и 1296, а следующие будут тоже не скоро — 3025 и 4356.
Легко заметить, что число 2025 является квадратом нечётного числа: 2025=45^2. Предыдущие нечётные квадраты — это 1681 и 1849, а следующие — 2209 и 2401.
Но всё это не главное. Главное — чтобы год был счастливым!
«Понимаете, у нас традиция, 31 декабря каждый год мы с друзьями …», проверяем арифметику очередного номера года https://vk.com/etudesru?w=wall-192547232_3379 .
Число 2025 одновременно представимо и как квадрат суммы последовательных чисел, и как сумма кубов этих же чисел:
2025=(1+2+3+…+9)^2=1^3+2^3+3^3+…+9^3.
Предыдущие года, которые обладают таким свойством, — это 784 и 1296, а следующие будут тоже не скоро — 3025 и 4356.
Легко заметить, что число 2025 является квадратом нечётного числа: 2025=45^2. Предыдущие нечётные квадраты — это 1681 и 1849, а следующие — 2209 и 2401.
Но всё это не главное. Главное — чтобы год был счастливым!
https://etudes.ru/etudes/Dandelin-spheres/
Шары касаются эллипса в его фокусах!
С наступающим Новым годом! Счастья, тепла, радости и, конечно, новых интересных математических сюжетов, а кому-то — и новых хороших теорем!
Шары касаются эллипса в его фокусах!
С наступающим Новым годом! Счастья, тепла, радости и, конечно, новых интересных математических сюжетов, а кому-то — и новых хороших теорем!
В сюжете «Геометрия Лобачевского: интерактивная модель Пуанкаре в круге»
https://etudes.ru/etudes/Lobachevskian-geometry-Poincare-disk-model/
появились новые возможности.
Калейдоскоп одинаковых правильных многоугольников можно строить так, чтобы в центре абсолюта был центр одного из многоугольников, а можно таким образом, чтобы в центре абсолюта находилась вершина замощения.
И в том, и в другом случае получившиеся картины теперь можно сохранить в векторном формате PDF!
Напомним и о цикле гравюр Маурица Эшера «Circle Limit».
https://etudes.ru/etudes/Lobachevskian-geometry-Poincare-disk-model/
появились новые возможности.
Калейдоскоп одинаковых правильных многоугольников можно строить так, чтобы в центре абсолюта был центр одного из многоугольников, а можно таким образом, чтобы в центре абсолюта находилась вершина замощения.
И в том, и в другом случае получившиеся картины теперь можно сохранить в векторном формате PDF!
Напомним и о цикле гравюр Маурица Эшера «Circle Limit».
В рамках проведения Математического праздника 2025 года
olympiads.mccme.ru/matprazdnik/
иногородние участники (и сопровождающие их взрослые) приглашаются на экскурсию в Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук и его лабораторию популяризации и пропаганды математики.
Экскурсии планируется провести (в зависимости от количества поступивших заявок):
15 февраля (суббота), с 13 до 15 часов;
15 февраля (суббота), с 16 до 18 часов;
16 февраля (воскресенье), с 17 до 19 часов.
Адрес: Москва, ул. Губкина, д. 8.
Обязательная запись на экскурсии: [email protected] . В письме просьба указывать город, количество участников и их класс, количество сопровождающих, телефон для связи в день экскурсии.
Экскурсии проводятся в выходные дни, поэтому специально для участников вход на территорию института с улицы Губкина будет открываться за полчаса до начала экскурсии, и будет закрываться с её началом. Не опаздывайте!
По опыту прошлых лет – дети, более младшие, чем участники Матпраздника, очень сильно отвлекают весь зал и мешают обсуждению. Просьба приходить только участникам Математического праздника и сопровождающим их взрослым.
Общее пожелание для иногородних групп. Математика – это хорошо, но в жизни есть не только она. Сводите приехавших детей в московские музеи!
Информация про экскурсии для москвичей: https://vk.com/etudesru?w=wall-192547232_3109 .
olympiads.mccme.ru/matprazdnik/
иногородние участники (и сопровождающие их взрослые) приглашаются на экскурсию в Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук и его лабораторию популяризации и пропаганды математики.
Экскурсии планируется провести (в зависимости от количества поступивших заявок):
15 февраля (суббота), с 13 до 15 часов;
15 февраля (суббота), с 16 до 18 часов;
16 февраля (воскресенье), с 17 до 19 часов.
Адрес: Москва, ул. Губкина, д. 8.
Обязательная запись на экскурсии: [email protected] . В письме просьба указывать город, количество участников и их класс, количество сопровождающих, телефон для связи в день экскурсии.
Экскурсии проводятся в выходные дни, поэтому специально для участников вход на территорию института с улицы Губкина будет открываться за полчаса до начала экскурсии, и будет закрываться с её началом. Не опаздывайте!
По опыту прошлых лет – дети, более младшие, чем участники Матпраздника, очень сильно отвлекают весь зал и мешают обсуждению. Просьба приходить только участникам Математического праздника и сопровождающим их взрослым.
Общее пожелание для иногородних групп. Математика – это хорошо, но в жизни есть не только она. Сводите приехавших детей в московские музеи!
Информация про экскурсии для москвичей: https://vk.com/etudesru?w=wall-192547232_3109 .
olympiads.mccme.ru
Математический праздник
Предлагаем посмотреть видеозаписи докладов, прекрасных популяризаторов науки и учёных, выступивших на научно-познавательной конференции «Пропаганда популяризации»
www.mathnet.ru/rus/conf2550 ,
прошедшей 5 февраля в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН.
www.mathnet.ru/rus/conf2550 ,
прошедшей 5 февраля в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН.
Весна… и наши «Математические вторники» начинают выходить из зимней спячки. В разделе «Игротеки» https://etudes.ru/mathgrounds/ небольшое пополнение.
В сюжете «Многогранники из труб» появилось видео-решение, как из трубчатого куба сделать тетраэдр.
Представлен сюжет «Топология на кружке». Покажите друзьям ролик кружки с резинкой — по их мнению, можно сделать такое или нельзя? Ответ — в одном из следующих математических вторников.
В сюжете «Шахматные расстановки» представлен PDF-файл, который удобно использовать для различных шахматных задач, вписав желаемое условие.
В сюжете «Многогранники из труб» появилось видео-решение, как из трубчатого куба сделать тетраэдр.
Представлен сюжет «Топология на кружке». Покажите друзьям ролик кружки с резинкой — по их мнению, можно сделать такое или нельзя? Ответ — в одном из следующих математических вторников.
В сюжете «Шахматные расстановки» представлен PDF-файл, который удобно использовать для различных шахматных задач, вписав желаемое условие.
В преддверии 14 марта напомним про сюжет «Нормальность числа π»
https://etudes.ru/etudes/normal-number-pi/ ,
который вырос из сюжета раздела «Миниатюры» в сюжет раздела «Этюды».
Дата 14.03.25 встречается в десятичной записи числа π на позиции 704330, а вы можете найти, на каком месте встретится день рождения ваш или ваших друзей!
https://etudes.ru/etudes/normal-number-pi/ ,
который вырос из сюжета раздела «Миниатюры» в сюжет раздела «Этюды».
Дата 14.03.25 встречается в десятичной записи числа π на позиции 704330, а вы можете найти, на каком месте встретится день рождения ваш или ваших друзей!
etudes.ru
Нормальность числа π / Этюды // Математические этюды
Начиная с какой позиции в десятичной записи числа π впервые встретится дата вашего рождения?
Задача Аполлония Пергского (III век до нашей эры) — найти окружности, касающиеся трёх данных окружностей — занимала умы великих учёных: свои решения предлагали Франсуа Виет (1540—1603), Рене Декарт (1596—1650), Пьер Ферма (1607—1655), Исаак Ньютон (1643—1727), Леонард Эйлер (1707—1783), Иоганн Ламберт (1728—1777), ….
В конце XX века была предложена интересная реконструкция как мог думать Аполлоний, как можно представить себе эти окружности https://etudes.ru/etudes/Apollonius-problem/ .
В конце XX века была предложена интересная реконструкция как мог думать Аполлоний, как можно представить себе эти окружности https://etudes.ru/etudes/Apollonius-problem/ .
etudes.ru
Задача Аполлония / Этюды // Математические этюды
Построение окружностей, которые касаются трёх данных окружностей.
Эллипс, парабола, гипербола получаются как сечения прямого кругового конуса плоскостью.
Если плоскость пересекает все образующие конуса, то она пересекает только одну его «половину», получается эллипс (окружность). Парабола возникает, когда секущая плоскость параллельна ровно одной образующей (как следствие — пересекает только одну половину). Если секущая плоскость пересекает обе половины конуса (иначе говоря, параллельна двум образующим), то получается гипербола.
Эллипс, параболу и гиперболу как конические сечения так определяли не всегда. До Аполлония, жившего в городе Перга в III веке до нашей эры, существовала триада Менехма. Кривые определялись тоже на конусе, но секущая плоскость во всех случаях бралась перпендикулярной образующей конуса. При таком сечении эллипс получается, когда угол конуса при вершине острый, парабола — когда угол при вершине конуса прямой, а гипербола — когда угол конуса тупой.
Если плоскость пересекает все образующие конуса, то она пересекает только одну его «половину», получается эллипс (окружность). Парабола возникает, когда секущая плоскость параллельна ровно одной образующей (как следствие — пересекает только одну половину). Если секущая плоскость пересекает обе половины конуса (иначе говоря, параллельна двум образующим), то получается гипербола.
Эллипс, параболу и гиперболу как конические сечения так определяли не всегда. До Аполлония, жившего в городе Перга в III веке до нашей эры, существовала триада Менехма. Кривые определялись тоже на конусе, но секущая плоскость во всех случаях бралась перпендикулярной образующей конуса. При таком сечении эллипс получается, когда угол конуса при вершине острый, парабола — когда угол при вершине конуса прямой, а гипербола — когда угол конуса тупой.
Гауссова кривизна – характеристика поверхности в точке, не меняющаяся при (изометрических, т. е. сохраняющих расстояния) изгибаниях поверхности. Знание этого понятия помогает при поедании пиццы (статья «Ломтик пиццы»), понимании картографических проекций (фильмы серии «Картографические проекции» и статья «Картографические проекции»), понимании, почему футбольный мяч составляют из разных панелей (статья «Футбольный мяч»).
Познакомиться с понятием гауссовой кривизны геометрически можно в новом сюжете «Гауссова кривизна» https://etudes.ru/etudes/Gaussian-curvature/ проекта «Математические этюды».
Познакомиться с понятием гауссовой кривизны геометрически можно в новом сюжете «Гауссова кривизна» https://etudes.ru/etudes/Gaussian-curvature/ проекта «Математические этюды».
Механическая коробка передач, автоматическая или вариатор? У каждой трансмиссии есть свои преимущества и свои недостатки. В механической и в автоматической коробках передач основные элементы — это зубчатые колёса: их радиусы и количества зубьев определяют передаточное отношение, которое может принимать только конечное множество значений. В бесступенчатой трансмиссии — вариаторе — может быть бесконечное множество значений передаточного отношения. Принцип работы вариатора основан на простой, но элегантной геометрической идее, показанной в новом сюжете проекта «Математические этюды» https://etudes.ru/etudes/continuously-variable-transmission/ .