Forwarded from 🟥Красный пояс ВсОШ🟥
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
Как ощущается писать закл
Этот пост я постараюсь сделать максимально простым для понимания
👍 Диофантовы уравнения
Думаю, многие впервые слышат это понятие. Диофантово уравнение - то же уравнение, но обязательно с целыми коофицентами и решениями.
Может быть не очень понятно, поэтому давайте разберёмся на примере
В данной ситуации, нам неизвестны
➡️ Диофантовые уравнения делятся на линейные и нелинейные. Отличаются они тем, что для линейных метод решения однозначнее.
Линейное диофантово уравнение - то, которое может представить как
Решений в уравнении может не быть совсем, может быть несколько или бесконечно много. Диофантовы уравнения хороши тем, что практически нет общего алгоритма их решения - над каждым уравнением надо подумать
Думаю, многие впервые слышат это понятие. Диофантово уравнение - то же уравнение, но обязательно с целыми коофицентами и решениями.
Может быть не очень понятно, поэтому давайте разберёмся на примере
a² + b² = c² (Это кстати, теорема Пифагора)
В данной ситуации, нам неизвестны
a, b, c. Если решать это как обычное уравнение, то ответами могут быть например a=1.5 b=2 c=2.5. Но если представлять уравнение, как диофантово, то это решение не подходит - a, b, c должны быть целыми. Такие числа, в примере с теоремой Пифагора называются Пифагоровыми тройкамиЛинейное диофантово уравнение - то, которое может представить как
ax + by = c, где a, b, c - целые числа, а x и y - искомые переменныеРешений в уравнении может не быть совсем, может быть несколько или бесконечно много. Диофантовы уравнения хороши тем, что практически нет общего алгоритма их решения - над каждым уравнением надо подумать
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
🖥 Линейные диофантовы уравнения
Линейное диофантово уравнение — это уравнение вида ax + by = c, где a, b и c — целые числа, а x и y нужно найти среди целых.
❓ Главный вопрос: существуют ли такие x и y, что равенство выполняется?
Решение существует только если число c делится на наибольший общий делитель (НОД) чисел a и b. Если для уравнения ax + by = c, gcd(a, b) не делит c, то целых решений нет.
gcd = НОД
Если делит — решений бесконечно много, и их можно записать в общем виде.
📌 Пример:
Каждое значение t даёт новую пару (x, y), и все они подходят. Если заменить 1 на другое число, например 10, то нужно умножить найденное решение на 10:
Для уравнения с одной переменной, например ax = c, всё проще: x = c / a, и решение есть только если a делит c. Но это уже школьная алгебра
Почему это так работает
Если записать gcd(a, b) = d, это значит, что a и b можно представить так:
где a₁ и b₁ уже взаимно просты, то есть их gcd(a₁, b₁) = 1. Подставим это в исходное уравнение:
Разделим обе части на d:
👀 Теперь видно: чтобы решения существовали, c / d должно быть целым. Если c не делится на d, то дробь получится нецелой, и целых x и y уже не найдёшь. Если же c делится на d, то мы свели задачу к уравнению с взаимно простыми коэффициентами, у которого решения гарантированно есть.
Линейное диофантово уравнение — это уравнение вида ax + by = c, где a, b и c — целые числа, а x и y нужно найти среди целых.
❓ Главный вопрос: существуют ли такие x и y, что равенство выполняется?
Решение существует только если число c делится на наибольший общий делитель (НОД) чисел a и b. Если для уравнения ax + by = c, gcd(a, b) не делит c, то целых решений нет.
gcd = НОД
Если делит — решений бесконечно много, и их можно записать в общем виде.
📌 Пример:
3x + 7y = 1
НОД(3,7) = 1, а значит решение существует.
Найдём одно частное решение
Можно подобрать x = 5, y = -2, потому что 3*5 + 7*(-2) = 15 - 14 = 1.
Общее решение тогда:
x = 5 + 7t
y = -2 - 3t
где t — любое целое число.
Каждое значение t даёт новую пару (x, y), и все они подходят. Если заменить 1 на другое число, например 10, то нужно умножить найденное решение на 10:
3x + 7y = 10 → x = 50 + 70t, y = -20 - 30t.
Для уравнения с одной переменной, например ax = c, всё проще: x = c / a, и решение есть только если a делит c. Но это уже школьная алгебра
Почему это так работает
Если записать gcd(a, b) = d, это значит, что a и b можно представить так:
a = d·a₁
b = d·b₁
где a₁ и b₁ уже взаимно просты, то есть их gcd(a₁, b₁) = 1. Подставим это в исходное уравнение:
a·x + b·y = c
d·a₁·x + d·b₁·y = c
Разделим обе части на d:
a₁x + b₁y = c / d
👀 Теперь видно: чтобы решения существовали, c / d должно быть целым. Если c не делится на d, то дробь получится нецелой, и целых x и y уже не найдёшь. Если же c делится на d, то мы свели задачу к уравнению с взаимно простыми коэффициентами, у которого решения гарантированно есть.
❤10