> Нелинейные диофантовы уравнения

В прошлый раз мы разобрали линейные:

ax + by = c

У таких уравнений есть достаточно чёткое решение. В этом их главное отличие от нелинейных: Для их решения необходимо не просто подставить в формулу, а подумать

> Какие уравнения называются нелинейными? (На всякий случай напомню)
Это любые уравнения, где есть произведения переменных или их степени. Пример:

x² + y² = z²
x² − 2y² = 1
xy = 12
x³ + y³ = z³

1️⃣ xy = n
Напомню: x и y - искомые переменные, значения которых должны быть целыми (Мы ведь решаем диофантово уравнение).
Тут всё просто:
x и y должны быть делителями n.
Пример

xy = 12
x и y должны быть делителями 12.
12 делится на:
1, 2, 3, 4, 6, 12 (и ещё отрицательные)
Значит решения:
(1,12), (2,6), (3,4), (4,3), (6,2), (12,1)
и также
(-1,-12), (-2,-6), …

2️⃣ Квадраты: x² = k
Тоже нелинейное, но не слишком сложное
Как решать:
Решить как обычное уравнение, получиться ±√k. Если эти числа целые, то они и будут корнями выражения. Иначе нет корней
Пример:

x² = 49 → x = 7 или x = -7
x² = 50 → целых решений нет (потому что √50 - нецелое число)

3️⃣ Чуть интереснее: x² + y² = z²
Это те самые Пифагоровы тройки. Их бесконечно много, все решения не перечислить
Но есть формула генерации Пифагоровых троек:

Берём два целых числа m и n, где m > n
a = m² − n²
b = 2mn
c = m² + n²

Пример:

m = 2, n = 1
a = 4 − 1 = 3
b = 221 = 4
c = 4 + 1 = 5
Получили (3,4,5)

Если интересен вывод формулы генерации, ставь 💯 на пост

4️⃣ Уравнения Пелля
Уравнения вида x² − Dy² = 1
где D — не квадрат целого числа.
Пример:

x² − 2y² = 1
y = 0 → x² = 1 → x = ±1 ✅
y = 1 → x² = 3 → нет
y = 2 → x² = 9 → x = 3 ✅
...

Здесь решений бесконечно много

В следующих постах подробнее поговорим о Пифагоровых тройках и уравнении Пелля

> Пифагоровы тройки: Формула генерации

В прошлом посте, мы узнали о формуле генерации Пифагоровых троек (пролистай немного вверх в канале, если не видел):

Берём два целых числа m и n, где m > n
a = m² − n²
b = 2mn
c = m² + n²

> Почему из этой формулы всегда выходит тройка
Считаем:

a² + b²
= (m² − n²)² + (2mn)²
= (m⁴ − 2m²n² + n⁴) + 4m²n²
= m⁴ + 2m²n² + n⁴
= (m² + n²)²
= c² ✅

> А откуда вообще взялась эта формула
Уравнение

a² + b² = c²

то же самое, что

(a/c)² + (b/c)² = 1

То есть точки (x,y)=(a/c,b/c) лежат на окружности:

x² + y² = 1

Если кто не понял: Сейчас мы просто заменили `a/c` на `x`, а `b/c` на `y`
Теперь воспользуемся теоремой: если взять любую прямую с рациональным наклоном, она пересечёт окружность в рациональной точке.
Берём прямую через точку (-1, 0) со склонением t:
мы взяли именно эту точку, потому что она лежит в окружности и она рациональная

y - 0 = t(x - (-1))
y = t(x + 1)

Теперь подставляем y в наше уравнение окружности

x² + [t(x+1)]² = 1

После упрощения получается рациональное решение:

x = (1 − t²)/(1 + t²)
y = 2t/(1 + t²)

Теперь делаем t рациональным: t = n/m (m, n целые)
Подставляем:

x = (m² − n²)/(m² + n²)
y = 2mn/(m² + n²)

А теперь вспоминаем, что x = a/c и y = b/c, значит можно взять:

a = m² − n²
b = 2mn
c = m² + n²

Вот и всё, мы и получили формулу генерации Пифагоровых троек.
Если есть идеи, что ещё доказать/разобрать, пиши в комментариях 👇

> Уравнение Пелля

Ранее мы очень кратко разбирали уравнение Пелля. В этом же посте я постараюсь объяснить все его тонкости

_Напоминалка_
Уравнение Пелля - это диофантово уравнение, вида

x² − Dy² = 1
где D — целое число, не являющееся квадратом.

И возникает первый вопрос:

> Почему D не может быть квадратом?
Если D — квадрат, всё заканчивается быстро
Пусть D = k² (k целое. Это и подразумевается под тем, что D - квадрат),
тогда
x² − k²y² = 1
(x − ky)(x + ky) = 1
Мы получили произведение двух целых чисел (x - целое, k - целое, y - целое), равное 1. А теперь перечислим все возможные варианты. Произведение равно 1 только в двух случаях:

1 · 1
(−1) · (−1)

Других вариантов нет.
Получается это уравнение с двумя решениями. А у уравнений Пелля бесконечное количество решений

> А какие решения есть всегда?

Есть решения, которые существуют при любом D. Самое очевидное: y = 0. Тогда уравнение становится: x² = 1, значит x = 1 или x = −1. То есть у любого уравнения Пелля всегда есть решения: (1, 0) и (−1, 0) - они называются тривиальными

> Умножение решений порождает новые решения

Возьмём выражения вида x + y√D. Ключевой трюк тут такой:
если перемножить “x + y√D” и “x − y√D”, то корни исчезают, и получается ровно x² − D·y²

А значит, если (x, y) это решение уравнения Пелля, то x² − D·y² = 1, и выходит, что
x + y√D умноженное на x − y√D даёт 1.

Теперь самое интересное: как из двух решений получить третье.

Пусть у нас есть два решения: (x₁, y₁) и (x₂, y₂).
Смотрим на произведение: (x₁ + y₁√D) · (x₂ + y₂√D)

Если раскрыть скобки, оно снова имеет вид “что-то + что-то·√D”, то есть:

X + Y√D
где
X = x₁x₂ + D·y₁y₂
Y = x₁y₂ + y₁x₂

(оба целые, потому что всё справа целое).

Осталось понять: правда ли (X, Y) тоже решение, то есть выполняется ли X² − D·Y² = 1.

Считать это напрямую можно, но неудобно. Есть нормальный способ:
мы уже знаем, что для любой пары (a, b) верно:

(a + b√D)(a − b√D) = a² − D·b².

Применяем это к (X, Y):

(X + Y√D)(X − Y√D) = X² − D·Y².

Но X + Y√D это просто произведение двух наших скобок, значит:

(X + Y√D)(X − Y√D)
= [(x₁ + y₁√D)(x₂ + y₂√D)] · [(x₁ − y₁√D)(x₂ − y₂√D)].

Дальше перегруппировываем множители (это обычное свойство умножения):

= [(x₁ + y₁√D)(x₁ − y₁√D)] · [(x₂ + y₂√D)(x₂ − y₂√D)]
= (x₁² − D·y₁²) · (x₂² − D·y₂²).

А так как обе пары были решениями, каждое из этих выражений равно 1. Значит их произведение тоже 1. То есть X² − D·Y² = 1.

Итог: умножение двух решений снова даёт решение. Поэтому из одного нетривиального решения можно генерировать бесконечно много новых.

🙂 Теперь вопрос к читателям: Что разберём дальше? Можете предлагать и простые, и тяжёлые темы, чтобы всем было интересно читать. Моё предложение: решение уравнений третьей, четвёртой и тд. степеней

Давно конкурсов не проводили на звёзды)

🤔 - конкурс за решение задачи
💯 - конкурс с рандомным выбором победителя

Анонс конкурса

Сегодня в 20.00, пройдёт розыгрыш на 15 звёзд. Для участия, необходимо прислать решение простой задачи в нашего бота (@thisMathBot). Победитель выберется рандомно из всех, кто пришлёт ответ