Самая длинная палиндромная подпоследовательность (Longest Palindromic Subsequence)

LPS — это самая длинная последовательность символов, которая является палиндромом.

Алгоритм поиска LPS:
1. Создаем матрицу dp размером n x n, где n - длина исходной строки.
2. Заполняем главную диагональ матрицы значениями 1, так как каждый символ сам по себе является палиндромом длины 1.
3. Перебираем подпоследовательности строки разной длины и заполняем матрицу dp с помощью следующих правил:
- Если символы на текущих позициях равны, увеличиваем значение dpij на 2 и переходим к следующим символам (i+1, j-1).
- Если символы не равны, выбираем максимальное значение из dpi+1j и dpij-1 и записываем его в dpij.
4. Возвращаем значение dp0n-1, которое представляет длину самой длинной палиндромной подпоследовательности.

Сложность: O(n^2), где n - длина исходной строки.

Ханойская башня

Головоломка, состоящая из трех стержней и набора дисков разного размера. Изначально диски располагаются на одном стержне в порядке убывания размера (больший диск находится ниже меньшего).
1. За один раз можно переместить только один диск.
2. Нельзя помещать больший диск на меньший.

Алгоритм:
1. Если на исходном стержне есть только один диск, переместите его на целевой стержень.
2. Если на исходном стержне есть больше одного диска, выполните следующие шаги:
- Переместите все диски, кроме самого большого, с исходного стержня на вспомогательный стержень.
- Переместите самый большой диск с исходного стержня на целевой стержень.
- Переместите все оставшиеся диски с вспомогательного стержня на целевой стержень.

Алгоритм: O(2^n), где n - количество дисков.

Алгоритмы замены страниц в операционных системах (FIFO)

Цель алгоритма: уменьшение количества ошибок страниц.

Ошибка страницы возникает, когда работающая программа обращается к странице памяти, которая отображается в виртуальное адресное пространство, но не загружена в физическую память. Поскольку фактическая физическая память намного меньше виртуальной, возникают страничные ошибки. В случае ошибки страницы операционной системе, возможно, придется заменить одну из существующих страниц новой необходимой страницей.

FIFO это простейший алгоритм замены страниц. В этом алгоритме операционная система отслеживает все страницы в памяти в очереди, самая старая страница находится в начале очереди. Когда страницу необходимо заменить, страница в начале очереди выбирается для удаления.

Сложность: O(n), где n — количество страниц.

Алгоритм оптимальной замены страниц

Цель алгоритма: уменьшение количества ошибок страниц. В этом алгоритме заменяются страницы, которые не будут использоваться в течение длительного времени в будущем.

Идея проста: для каждой ссылки мы делаем:
⁃ Если указанная страница уже существует, увеличьте количество обращений.
⁃ Если нет, найдите страницу, на которую никогда не будут ссылаться в будущем. Если такая страница существует, замените ее новой страницей. Если такой страницы не существует, найдите страницу, на которую в будущем будут чаще всего ссылаться. Замените эту страницу новой страницей.

Оптимальная замена страниц идеальна, но на практике невозможна, поскольку операционная система не может знать будущие запросы. Использование замены оптимальной страницы предназначено для установки эталона, позволяющего анализировать другие алгоритмы замены.

Сложность: O(n × f), где n — количество страниц, а f — количество кадров.

Least Recently Used алгоритм замены страниц

Наименее недавно использованный (LRU) — это алгоритм замены кэша, который заменяет кэш, когда пространство заполнено. Играет решающую роль, поскольку его можно использовать в качестве алгоритма замены страниц, чтобы минимизировать их ошибки.

Ошибка страницы возникает, когда работающая программа обращается к странице памяти, которая отображается в виртуальное адресное пространство, но не загружена в физическую память. Поскольку фактическая физическая память намного меньше виртуальной, возникают страничные ошибки. В случае ошибки страницы операционной системе, возможно, придется заменить одну из существующих страниц новой необходимой страницей.

Most Recently Used алгоритм замены страниц

Используется в качестве алгоритма замены страниц, чтобы минимизировать их ошибки.

MRU работает лучше всего среди всех алгоритмов замены страниц для особого типа последовательности запросов ссылок на страницы, когда одна и та же последовательность одних и тех же ссылок на страницы повторяется (в цикле).

Матрица

Двумерная структура данных, состоящая из набора элементов, расположенных в строках и столбцах.

Каждый элемент матрицы идентифицируется индексами строки и столбца.

Преимущества:
⁃ Матрицы обеспечивают краткий и эффективный способ представления структурированных данных, особенно когда важны отношения между элементами.
⁃ Матрицы являются фундаментальными в линейной алгебре и используются в различных математических операциях.
⁃ При обработке изображений матрицы используются для представления значений пикселей, что позволяет выполнять преобразования и манипуляции.

Поворот элементов матрицы

Идея состоит в том, чтобы поочередно вращать все кольца элементов, начиная с самого дальнего.

Чтобы повернуть кольцо, нам нужно сделать следующее.
1. Переместить элементы верхнего ряда.
2. Переместить элементы последнего столбца.
3. Переместить элементы нижнего ряда.
4. Переместите элементы первого столбца.

Повторить вышеуказанные шаги для внутреннего кольца, пока оно есть.

Сложность: O(m*n), где m — количество строк, а n — количество столбцов.

Как узнать, является ли число степенью 2?

Чтобы определить, является ли число степенью 2, можно использовать следующий метод:

Проверьте, равно ли число 0. Если да, то 0 не является степенью 2.
Проверьте, является ли число положительным.
Если число положительное, используйте битовую операцию AND с числом (n - 1), где n - это число, которое вы проверяете.
Если результат операции AND равен 0, то число n является степенью 2.

Этот метод основан на том факте, что числа, являющиеся степенями 2, имеют только один бит, установленный в 1 в двоичном представлении (например, 2^3 = 8 в двоичном виде 1000, 2^4 = 16 в двоичном виде 10000). При вычитании единицы из таких чисел, все биты после первого устанавливаются в 1. Таким образом, если вы примените операцию AND к числу и его предшественнику, результат будет равен 0 только в том случае, если число является степенью 2.

Кодирование длин серий (Run-Length Encoding, RLE)

Метод сжатия данных, который основан на замене повторяющихся последовательностей символов кодом, состоящим из символа и длины этой последовательности.

Алгоритм:
1. Читаем символы исходной строки один за другим.
2. Если текущий символ повторяется, увеличиваем счетчик повторений.
3. Если текущий символ отличается от предыдущего или достигнут максимальный предел длины серии, записываем в выходной поток код, состоящий из повторяющегося символа и длины серии.
4. Повторяем шаги 2-3 до тех пор, пока не прочитаем все символы исходной строки.
5. Завершаем сжатие.

Сложность алгоритма зависит от размера исходной строки и количества повторяющихся символов. В худшем случае сложность: O(n^2), где n - размер строки.

Круговой сдвиг влево

Круговой сдвиг (или циклический сдвиг) — это операция, которая смещает элементы массива или строки влево или вправо, перенося крайние элементы на противоположный конец.

При круговом сдвиге влево каждый элемент перемещается на одну позицию влево, а первый элемент переходит в последнюю позицию.

Круговой сдвиг вправо

Круговой сдвиг (или циклический сдвиг) — это операция, которая смещает элементы массива или строки влево или вправо, перенося крайние элементы на противоположный конец.

При круговом сдвиге вправо каждый элемент перемещается на одну позицию вправо, а последний элемент переходит в первую позицию.

Ближайшая пара точек с использованием алгоритма «Разделяй и властвуй»

Алгоритм, используемый для поиска двух ближайших друг к другу точек в наборе точек двумерного пространства. Другими словами, он вычисляет минимальное расстояние между любыми двумя точками в заданном наборе.

Алгоритм:
1. Найдите среднюю точку, которая равна P[n/2].
2. Разделите массив на две половины: от P[0] до P[n/2] и от P[n/2+1] до P[n-1].
3. Рекурсивно находим минимальные расстояния в обеих половинах, получая dl и dr.
4. Пусть d будет минимумом dl и dr.
5. Создайте массив «полосы», содержащий точки ближе, чем d к средней вертикальной линии, и отсортируйте его по координатам y.
6. Найдите наименьшее расстояние в массиве полос, рассматривая не более 7 точек после каждой точки.
7. Верните минимум d и расстояние, найденное на шаге 6, как ближайшую пару точек.

Сложность: O(n (Logn)^2)

Проверить, находится ли данная точка внутри или снаружи многоугольника?

Алгоритм предполагает подсчет количества раз, когда луч, идущий из точки, пересекает края многоугольника. Если количество пересечений нечетное, точка находится внутри многоугольника; если оно четное, то точка находится снаружи.

Сложность: O(N)

Как проверить, лежит ли точка внутри заданных N точек выпуклого многоугольника?

Алгоритм:

1. Отсортируйте данные точки вместе с точкой запроса в порядке возрастания их значений по абсциссе. Если значения абсцисс любых двух точек одинаковы, отсортируйте их по значению ординаты.

2. Установите нижнюю левую точку в качестве начальной точки, а верхнюю правую точку в качестве конечной точки.

3. Переберите все точки и найдите те, которые образуют выпуклый многоугольник, находящийся между начальной и конечной точками в направлении по часовой стрелке. Сохраните их в векторе.

4. Переберите все точки и найдите те, которые образуют выпуклый многоугольник, находящийся между начальной и конечной точками в направлении против часовой стрелки. Сохраните эти точки в векторе.

5. Проверьте, существует ли точка запроса в векторе, то она находится вне выпуклой оболочки. Поэтому верните «Нет».

6. Если точка не существует в векторе, то точка лежит внутри выпуклой оболочки.

Сложность: O(N * log(N))

Выпуклая оболочка с использованием алгоритма Грэхема

Метод поиска выпуклой оболочки набора точек в двумерном пространстве. Выпуклая оболочка — это наименьший выпуклый многоугольник, охватывающий все заданные точки.

Алгоритм:

1. Найдите самую нижнюю точку P0, сравнивая Y всех точек. В случае равенства по Y выберите тот, у которого X меньше.

2. Отсортируйте оставшиеся n-1 точек по углам вокруг P0 против часовой стрелки. Если углы одинаковы, сначала отдайте приоритет ближайшей точке.

3. Удалите точки с одинаковым углом, оставив только самую дальнюю от P0. Пусть размер нового массива будет m.

4. Если m меньше 3, верните «Выпуклая оболочка невозможна».

5. Создайте пустой стек «S» и поместите первые три точки в «S».

6. Обрабатываем оставшиеся m-3 точки одну за другой. Для каждой точки:
⁃ Пока ориентация двух верхних точек в стеке и «points[i]» не против часовой стрелки, извлекайте точки из стека
⁃ Положите «points[i]» в «S».

7. Стек «S» теперь содержит точки выпуклой оболочки.

Сложность: O(nLogn)

Найдите простой замкнутый путь для заданного набора точек

Для поиска замкнутого пути, можно использовать различные алгоритмы построения замкнутого многоугольника, соединяющего все точки, гарантируя при этом, что путь не пересекает сам себя.

Алгоритм:
1. Сначала отсортируйте заданные точки по их полярным углам относительно опорной точки. Ориентиром может быть любая точка из набора.
2. Постройте путь: начиная с контрольной точки, посещайте точки в отсортированном порядке. Двигаясь от одной точки к другой, соединяйте их отрезками линий. Убедитесь, что путь не пересекает сам себя.
3. После посещения всех точек соедините последнюю точку с контрольной точкой, чтобы закрыть путь.

Сложность: O(n Log n), если мы используем алгоритм сортировки O(nLogn) для сортировки точек.

Проверка, пересекаются ли два заданных отрезка

Чтобы проверить, пересекаются ли два отрезка линии, можно использовать следующий метод:

Сначала мы определим, могут ли сегменты линий пересекаться, сравнивая их ориентации. Если ориентации разные, они могут пересекаться. После этого проверяем, лежит ли точка пересечения в границах обоих отрезков.

Сложность: O(1)

Алгоритм рекурсивного лабиринта

Алгоритм рекурсивного лабиринта — один из лучших примеров алгоритмов обратного отслеживания.

Лабиринт — это территория, окруженная стенами; между ними у нас есть путь от начальной точки до конечной позиции. Нам нужно начать с начальной точки и двигаться к конечной точке. Проблема в выборе пути.

Если мы обнаружим какой-либо тупик перед конечной точкой, нам придется вернуться назад и изменить направление. Направление движения — север, восток, запад и юг. Нам придется продолжать «двигаться и возвращаться», пока не достигнем финальной точки.

Ориентация 3-х упорядоченных точек

Концепция, используемая для определения направления поворота этих точек. Эта концепция имеет решающее значение для таких задач, как определение того, образует ли набор точек выпуклый или вогнутый многоугольник, или для понимания относительного расположения точек.

Ориентация упорядоченной тройки точек на плоскости может быть:
⁃ Против часовой стрелки: математически ориентация является против часовой стрелки, если векторное произведение векторов AB и BC положительно.
⁃ По часовой стрелке: математически ориентация по часовой стрелке, если векторное произведение векторов AB и BC отрицательно.
⁃ Коллинеарность: Если ориентация коллинеарна, это означает, что точки A, B и C находятся на одной прямой. Математически ориентация коллинеарна, если векторное произведение векторов AB и BC равно нулю.

Сложность определение ориентации точек: O(1)

Z-алгоритм

Алгоритм находит все вхождения шаблона в тексте.

Идея состоит в том, чтобы объединить шаблон и текст и создать строку «P$T», где P — это шаблон, $ — специальный символ, который не должен присутствовать в шаблоне и тексте, а T — это текст. Создайте массив Z для объединенной строки. В массиве Z, если значение Z в любой точке равно длине шаблона, то шаблон присутствует в этой точке.

Сложность: O(m + n), где длина текста равна n, а шаблона — m