Дано несколько бревен разной массы и разной цены за 1 кг. Всегда ли можно, распилив не более 2 бревен, разложить бревна на 2 кучки, равные по весу и цене?

У непрерывных функций есть одно хорошее свойство: если она в одной точке меньше нуля, а в другой больше, то где-то между ними она обращается в нуль. Но если функция имеет разрывы, то это правило может не выполняться.

Однако если какая-то величина изменяется дискретно, но по каким-то простым правилам, например принимает только целые значения и шаг от шага изменяется не больше, чем на 1, то тогда тоже можно гарантировать, что если она бывает меньше нуля, а бывает больше нуля, то где-то между этими состояниями она обращается в нуль.

Рассмотрим произвольную окружность, длины дуг которой пропорциональны массам брёвен. Проведем в такой окружности диаметр. Заметим, что бревна в таком случае всегда делятся на две группы равной массы.

Тогда (без ограничения общности), пусть справа стоимость брёвен больше. Начнем вращать диаметр по часовой стрелке. Заметим, что, если в какой-то момент времени стоимость справа оказалась меньше, то, по свойству дискретной непрерывности, в промежутке существовало положение равенства, т.е. мы нашли такое разбиение, которое делит бревна на 2 группы равной массы и цены.

Тогда повернем диаметр на 180 градусов. Заметим, что мы получили первоначальную картину, однако "справа" в данном случае будет уже с другой стороны диаметра, значит, там цена по начальному предположению меньше. Получается, где-то в промежутке было необходимое нам разбиение.

Также надо отметить, что таким способом мы тратим не более 2 распилов. Это очевидно, т.к. каждый из концов диаметра делает от 0 (если попал на стык брёвен) до 1 (если попал в бревно) разрезов.

Число N представимо в виде произведения 256 различных натуральных чисел. Докажите, что число N имеет не менее 32641 различных натуральных делителей (включая 1 и само число N).

Упорядочим делители в порядке возрастания: A(1) < A(2) < ... < A(n). Заметим, что т.к. все числа различные, то максимум 1 делитель может быть равен единице, значит, 1 < A(2) < ... < A(n).

Начнем выписывать делители числа N в порядке возрастания: A(2) < ... < A(n) < A(n)*A(2) < A(n)*A(3) < ... < A(n)*A(n-1) < A(n)*A(n-1)*A(2) < ... < A(n)*A(n-1)*...*A(2) = N. Заметим, что в каждом новом "слое из множителей" на 1 число меньше, чем в предыдущем, т.к. для последнего множителя исключается один новый вариант - предыдущий множитель в числе.

Тогда количество таких делителей можно посчитать по формуле арифметической прогрессии: S = (1 + (n-1))*(n-1)/2 = n(n-1)/2.
Но таким подсчетом мы не учли единицу, поэтому общее количество делителей ≥ n(n-1)/2 + 1. Для данного числа в задаче эта сумма равна 256*255/2 + 1 = 32641, ровно то, что и требовалось доказать.