⚛️💜💜💜💜💜💜💜
💜💜💜💜💜💜💜💜
⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️
🍐: Всем привет друзья я Никита и это моё вторе физ инфо :з
⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️
⚛️В прошлом физ инфо (https://t.iss.one/physicsconf/12904) я рассказывал о Лагранжевой формулировке механики. Мы определили понятие функционала, точно определили состояние механической системы набором обобщенных координат, построили из обобщенных координат конфигурационное пространство. Мы постулировали существование действия — функционала, который каждой траектории, соединяющей две фиксированные точки конфигурационного пространства ставит в соответствие число. Поговорили о принципе наименьшего действия.
⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️
🌟Сейчас же поговорим более подробно о том, что из себя представляет действие: это интеграл вида (картинка 1). На картинке S — это и есть действие. Аргумент у действия записан в квадратных скобочках, чтобы подчеркнуть, что это именно функционал, а не обычная числовая функция. Аргументом действия является траектория в конфигурационном пространстве q_i(t), которая соединяет две фиксированные точки в моменты времени t₁ и t₂.
Подынтегральная функция L — это функция Лагранжа. Она зависит от обобщенных координат q_i и обобщённых скоростей — точкой над величиной в механике принято обозначать производную по времени. Как видно, обобщённые скорости являются производными по времени соответствующих обобщённых координат.
⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️
⚛️Опуская формальности, функция Лагранжа — это разность кинетической и потенциальной энергии системы. Например, для грузика, что лежит на столе и прикреплен к вертикальной стенке пружинкой, функцией Лагранжа будет L = mv²/2 - kx²/2, а для частицы, что уединённо летит в космосе L = mv²/2 — лишь кинетическая энергия.
⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️
🌟Получается, чтобы построить действие для физической системы, нам нужно знать её функцию Лагранжа. Строим её так:
- выбираем обобщённые координаты
- записываем L = T - U, где T - кинетическая энергия системы, U - потенциальная энергия. И T, и U должны быть выражены через выбранные обобщённые координаты.
Поздравляю, вы построили функцию Лагранжа!
⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️
⚛️Небольшим спойлером будет то, как выглядит действие в теории поля (картинка 2). Вы не обязаны понимать каждый символ! Просто показываю, чтобы глазки привыкали. Вместо функции Лагранжа под знаком интеграла находится лагранжиан (иногда его еще называют лагранжевой плотностью). Он обозначается курсивной буквой L, в то время как функция Лагранжа обозначается прямой L. Интуитивно это можно представить как размазанную по всему пространству функцию Лагранжа — поэтому и появилось три дополнительных интеграла. (Плотность — это размазанная по пространству масса. Если взять тройной интеграл от плотности по некоторому объему, результатом будем масса, которая находится в этом объеме)
Физические теории полностью определяется тем, какой выбрали функцию Лагранжа (или лагранжиан, если речь о теории поля). Записав лагранжиан теории, мы автоматически кодируем в нём всю возможную динамику, которую можно получить для теории. Например, лагранжиан Стандартной Модели элементарных частиц выглядит вот так (картинка 3). Вероятно, многие могли видеть его в мемах. А лагранжиан общей теории относительности выглядит так (картинка 4). Курсивная R в нём — это скалярная кривизна (на всякий случай сказал).
⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️
⚛️ Надеюсь, в следующем физ инфо смогу рассказать про то, как именно получать из функции Лагранжа уравнения движения.
Всем спасибо за просмотр, подписывайтесь и поднимайте свои большие векторы вверх! #физ_инфо