🌀 10 фракталов, которые стоит увидеть

Фрактал (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев.

▪️ В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и тому подобное. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.
▪️ Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэн основал собственную компанию и наладил серийный выпуск своих антенн. C тех пор теория фрактальных антенн продолжает интенсивно развиваться. Преимуществом таких антенн является многодиапазонность и сравнительная широкополосность.
▪️ Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.
▪️ Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа).
▪️ Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.
#gif #геометрия #математика #симметрия #geometry #maths #фракталы

Пытались ли вы запрограммировать отрисовку какого-нибудь фрактала? Напишите в комментариях, а лучше покажите что у вас получилось.

🐉 Кривая дракона

👩‍💻 Множество Мандельброта

🌿 Фракталы: Порядок в хаосе [2008] В поисках скрытого измерения [Fractals. Hunting the Hidden Dimension]

🌀 10 фракталов, которые стоит увидеть

🔺 Так выглядит фрактал

👩‍💻 Треугольник Серпинского

📕 Фрактальная геометрия природы [2002] Бенуа Мандельброта

🌿 Папоротник Барнсли

📘 Фракталы повсюду Второе издание [2000] Майкл Ф. Барнсли

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

🟢 Насколько сложно было бы запрограммировать физику такого процесса (смотри видео) без использования библиотек?

▪️Физика (Фундаментальные знания):

1. Классическая механика:
▫️Динамика твердого тела.
▫️Законы сохранения: Импульса, энергии (хотя часть энергии при разрушении переходит в деформацию и тепло), момента импульса.
▫️Теория удара: Коэффициент восстановления (COR), расчет импульсов сил при соударении. Учет углов столкновения.

2. Механика разрушения:
▫️Напряжения и деформации: Понятия растяжения, сжатия, сдвига, кручения. Тензоры напряжений.
▫️Критерии разрушения: Теории максимальных главных напряжений, максимальных касательных напряжений (Треска), энергии формоизменения (фон Мизеса). Что заставляет материал "ломаться"?
▫️Хрупкое vs. Пластичное разрушение: Как ведет себя материал (стекло vs. металл)? Трещинообразование, распространение трещин.
▫️Фрагментация: Как тело распадается на части? Зависит от материала, скорости удара, точек концентрации напряжений.

▪️Математика и Вычислительные методы:

1. Линейная алгебра: Векторы (позиция, скорость, сила), матрицы (вращение, трансформации), операции над ними. Абсолютно необходима.
2. Численные методы:
▫️Интегрирование уравнений движения: Методы Эйлера, Верле, Рунге-Кутты (для расчета позиций/скоростей тел и осколков на каждом шаге времени).
▫️Методы дискретизации:
— Метод конечных элементов (FEM): Разбиение объекта на мелкие элементы (тетраэдры, гексаэдры), расчет напряжений/деформаций в них. Точный, но очень ресурсоемкий для разрушения.
— Метод дискретных элементов (DEM): Представление объекта как совокупности множества мелких жестких частиц/гранул, связанных "связями". При превышении напряжения связи рвутся. Более подходит для хрупкого разрушения. Наиболее перспективен для "программирования с нуля" внутри DCC.
— Mesh-Free методы (напр., SPH): Моделирование материала без явной сетки. Сложны в реализации.
▫️Обнаружение столкновений (Collision Detection): Алгоритмы AABB, OBB, сфер, GJK, EPA. Определение что столкнулось и где.
▫️Реакция на столкновение (Collision Response): Расчет импульсов сил, изменяющих скорости тел/осколков после обнаружения контакта. Учет трения.

▪️ 3D Графика и Анимация:
▪️ Программирование и Скриптинг
▪️ Процесс разработки в Cinema 4D / 3ds Max "с нуля" (графическими примитивами)

⚠️ Сложности и Альтернативы:
▫️Вычислительная сложность: Симуляция тысяч взаимодействующих осколков в реальном времени невозможна на обычных ПК. Расчеты будут долгими.
▫️Реализм физики: Движки DCC (Bullet/PhysX) хороши для базовой динамики, но моделирование реалистичного разрушения материала (образование трещин, пластическая деформация) на уровне FEM им недоступно "из коробки". Скрипт на связях дает упрощенный, но визуально приемлемый результат.
▫️Houdini: Это отраслевой стандарт для сложных разрушений. Его процедурная природа и мощные солверы (Bullet, FEM, Vellum) идеально подходят для задач разрушения "с нуля". Гораздо эффективнее, чем скриптинг в C4D/Max, но требует изучения самого Houdini.
▫️Готовые плагины: Плагины вроде RayFire (3ds Max), NitroBlast/Thrausi (Cinema 4D), PulldownIt (C4D/Max) реализуют сложные алгоритмы разрушения (включая Voronoi) и управления связями через удобный интерфейс. Сильно экономят время по сравнению с чистым скриптингом, но менее "с нуля".

Создать реалистичную анимацию столкновения с разрушением "с нуля" на графических примитивах в C4D или 3ds Max – очень амбициозная и сложная задача, требующая глубоких знаний в физике, математике, программировании и 3D. Ключевые этапы: скриптинг генерации осколков (Voronoi), создание и управление "слабыми связями" между ними, реалистичная настройка материалов (особенно отражений) и освещения, пост-обработка. Будьте готовы к долгому процессу обучения, отладки и рендеринга. Для профессиональных результатов часто используют Houdini или специализированные плагины. Начните с малого (разрушение простого куба) и постепенно усложняйте. #программирование #моделирование #физика #графика #3D #разработка #разработка_игр #gamedev #gamedevelopment

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

🔥 10 флюсов для пайки: сравнение, тесты и какой реально стоит использовать мастеру

Флюс для пайки позволяет избавиться от оксидной пленки и примесей с поверхности металлов, а также обеспечить равномерное растекание припоя. Без этого компонента невозможна пайка меди, алюминия, свинца, и других металлов. На сегодняшнее время существуют различные виды флюсов: активные и неактивные, защитные и кислотные, для низко- и высокотемпературной пайки. Самым простым видом флюса является канифоль, которая широко применяется для пайки радиодеталей и меди. Какой флюс для пайки самый лучший на сегодняшний день? Поделитесь своим мнением в комментариях.

🪙 Разбираемся в пайке: Советы по соотношению олова и свинца и их влиянию

✨ Как сделать сварочный аппарат из карандаша и лезвия

🔥 Сварка под слоем флюса

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

👽 Математики нашли доказательство 122-летней загадки превращения треугольника в квадрат

Около 10 лет назад Тонан Камата, ныне математик из Японского института передовых наук и технологий (JAIST), заворожённо стоял перед экспонатом математического музея, похожим на оригами. На нём была изображена треугольная плитка, разрезанная на четыре части, которые были соединены крошечными шарнирами. При простом повороте кусочки вращались, превращая треугольник в квадрат.

Экспозиция ведёт свою историю от математической головоломки, опубликованной в газете 1902 года. Генри Дьюдени, английский математик-самоучка и автор колонки головоломок, попросил своих читателей разрезать равносторонний треугольник на наименьшее количество частей, которые можно будет потом сложить в квадрат. В своей следующей колонке через две недели он отметил, что «мистер К. У. Макилрой из Манчестера» — Чарльз Уильям Макилрой, клерк, который часто писал Дьюдени с решениями головоломок, — нашёл решение из четырёх частей. Спустя ещё две недели Дьюдени сообщил, что никто из других читателей газеты не смог справиться с этой задачей, и с тех пор рекорд остаётся в силе. Однако до сих пор не доказано, существует ли решение с меньшим количеством кусочков.

Головоломка стала известна как «разрезание Дьюдени» или «задача галантерейщика», и о ней даже написали в июньском номере журнала Scientific American за 1958 год. Мартин Гарднер, математик и давний колумнист журнала, написал об этой загадке.

Теперь, спустя более 122 лет после того, как она была впервые опубликована, Камата и два других математика наконец доказали, что решение с меньшим количеством кусочков невозможно. Их результат был опубликован на сервере arXiv.org в препринте от декабря 2024 года под названием «Dudeney's Dissection Is Optimal».

Вместе с математиком Массачусетского технологического института Эриком Демайном и математиком JAIST Рюхеем Уехарой Камата разрабатывал новый подход к решению проблем складывания оригами с помощью теории графов. В теории графов граф — это набор линий, или рёбер, и вершин, то есть точек, где рёбра пересекаются. Рёбра и вершины одного графа можно сравнить с рёбрами и вершинами другого графа, чтобы изучить более глубокие взаимосвязи между двумя структурами — такой подход, по мнению Каматы, может помочь решить проблему расчленения Дьюдени.

Одна часть проблемы довольно проста: решение из двух частей можно исключить, если подумать об ограничениях задачи. Для начала, треугольник и квадрат должны иметь равные площади, потому что составляющие их кусочки одинаковы. Для квадрата самый длинный возможный разрез — по диагонали. Немного математики с ручкой и бумагой показывают, что, к сожалению, длина диагонали слишком мала для стороны треугольника такой же площади, что исключает решение, использующее два кусочка.

Однако доказать, что решений из трёх кусочков не существует, гораздо сложнее, и в этом причина столетней задержки. Хотя речь и идёт о трёх частях, существует бесконечное число способов разрезать треугольник, говорит Демейн. «У каждого из этих кусочков может быть произвольное количество граней, а координаты этих разрезов начинаются в произвольных точках», — говорит он. «У вас есть эти непрерывные параметры, где существует множество и множество бесконечностей возможных вариантов, что делает задачу такой раздражающе трудной. Вы не можете просто перебрать их с помощью компьютера».

Чтобы решить эту проблему, группа классифицировала возможные разрезы равностороннего треугольника, основываясь на том, как разрезы пересекают его грани. Сначала исследователи отсортировали бесконечное множество способов разрезать треугольник на пять уникальных классификаций. Затем они повторили упражнение для квадрата и нашли 38 различных классификаций.

Исследователи попытались сопоставить треугольный граф с квадратным, проследив все возможные пути в каждой фигуре и сравнив получившиеся наборы длин рёбер и углов. Если бы один из путей квадрата совпал с путём из треугольника, это означало бы, что есть решение из 3 частей.

#math #gif #геометрия #задачи #математика

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

🛁 Эффект Лейденфроста — это явление, при котором жидкость в контакте с телом значительно более горячим, чем точка кипения этой жидкости, создаёт изолирующий слой пара, который предохраняет жидкость от быстрого выкипания. Явление названо в честь немецкого врача Иоганна Готтлоба Лейденфроста, который описал его в «Трактате о некоторых свойствах обыкновенной воды» в 1756 году.

Основная причина эффекта — это практически мгновенное испарение нижней части капли при контакте с раскалённой поверхностью. В этот момент происходит образование прослойки пара, которая как бы «подвешивает» неиспарившуюся часть капли над раскалённой поверхностью, не давая жидкости вступить с ней в прямой контакт.

В повседневной жизни явление можно наблюдать при приготовлении пищи: для оценки температуры сковороды на неё брызгают водой — если температура достигла или уже выше точки Лейденфроста, вода соберётся в капли, которые будут «скользить» по поверхности металла и испаряться дольше, чем если бы это происходило в сковороде, нагретой выше точки кипения воды, но ниже точки Лейденфроста. #физика #термодинамика #мкт #опыты #эксперименты #physics #видеоуроки #научные_фильмы

💧 Капля воды падающая на горячий металл 💥в Slow motion

💧 Эффект Лейденфроста

🚀 Что будет, если добавить жидкий газ в бутылку с водой

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib