Конкурс математических проектов

Объявлены победители конкурса математических проектов, выполняемых молодыми исследователями.

Проект «Мутации и алгебраические структуры состояний БПС», исследовательская группа которого состоит из Галахова Дмитрия Максимовича (руководитель, ИППИ РАН), Целоусова Никиты Сергеевича (МФТИ) и Гавшина Алексея Николаевича (МФТИ), будет выполняться на базе ПОМИ РАН.

Поздравляем победителей и желаем успехов в исследованиях!

В проекте «Мутации и алгебраические структуры состояний БПС» предлагается рассмотреть семейство эффективных моделей, описывающих системы D0/D2/D4/D6-бран в теории струн типа IIA после процедуры компактификации на комплексно-трёхмерные торические многообразия Калаби — Яу. Хорошо известно, что торические многообразия Калаби — Яу классифицируются колчанами — ориентированными графами, нарисованными на двумерном торе. Будет изучаться открытый вопрос поведения алгебры состояний систем Богомольного — Прасада — Соммерфельда (БПС) D-бран на торических многообразиях Калаби — Яу при изменении параметров стабильности. В первую очередь будет проверена гипотеза о том, что если области в пространстве параметров стабильности связаны мутацией (дуальностью Зайберга), то соответствующие алгебры состояний БПС гомоморфны, то есть получаются за счёт действия автоморфизмов из одной и той же универсальной алгебры.

Общегородской семинар по математической физике им. В.И. Смирнова

«On the Weyl asymptotics of the Poincare-Steklov spectral problem»
G. Rozenblum

6 ноября в 16:30
Zoom (за ссылкой обращаться к руководителям семинара)

We present the proof of the Weyl asymptotic formula for eigenvalues of the Poincare-Steklov spectral problem, the one with the spectral parameter in the boundary condition, in domains with Lipschitz boundary and very weak restrictions on the coefficients of the elliptic operator.

Петербургский топологический семинар им. В. А. Рохлина

«Лефшецевы нормальные отображения и подмногообразия»
А. Антоник

6 ноября в 19:30
Наб. р. Фонтанки, 27, ауд. 311

Лефшецевы подмногообразия были введены Н. Ю. Нецветаевым в работе 1984 года как подмногообразия, удовлетворяющие заключению теоремы Лефшеца о гиперплоском сечении. В этой же работе доказаны результаты о разложении 2n-мерного лефшецева подмногообразия в связную сумму некоторого многообразия (с ограничением на размерность его средних гомологий) и некоторого числа S^n x S^n. Эти результаты незамедлительно нашли применение в алгебро-геометрической ситуации. Позже выяснилось, что они имеют и чисто дифференциально-топологические применения: с их помощью могут быть доказаны теоремы о реализуемости изометрий форм пересечения диффеоморфизмами.
Обзору подобных результатов будет посвящён предстоящий доклад.

Лауреатом ежегодной премии Санкт-Петербургского математического общества «Молодому математику» стал Георгий Вепрев за цикл работ по масштабируемой энтропии

Поздравляем и желаем дальнейших успехов!

Петербургский семинар по теории представлений и динамическим системам

«Минимальность тензорных разложений»
Ф. В. Петров

8 ноября в 16:00
Наб. р. Фонтанки, 27, ауд. 311

Если X — векторное пространство, то тензор порядка k вида u_1⊗u_2⊗…⊗u_k, где u_i ∈X при всех i, называется разложимым. Наименьшее число разложимых тензоров, суммой которых является данный тензор порядка k, называют его тензорным рангом. При k = 2 тензоры можно отождествить с матрицами, и тензорный ранг тогда совпадает с обычным матричным рангом. При k > 2 это понятие гораздо более затейливо: понять по данному разложению тензора на разложимые, является ли оно минимальным, во всех отношениях непросто. Одним из самых известных общих результатов в этом направлении является теорема Крускала, дающая достаточное условие минимальности данного тензорного разложения. В недавней работе докладчика с Б. Ловитцем с помощью технологии ушного разложения матроида было получено далёкое обобщение этой теоремы и много следствий из неё.

Студенческий семинар по функциональному анализу

«Компактность как ограниченность энтропий»
Ф. В. Петров

10 ноября в 15:25
14 линия В.О., 29, ауд. 105
Zoom (ID 893-744-395-05, пароль стандартный)
YouTube-канал

Для изучения разных метрик на одном пространстве с мерой (обычно делают наоборот, но мы хотим так и на то есть причины) в работе А. М. Вершика, П. Б. Затицкого и докладчика была введена такая норма на пространстве функций двух переменных:

\|f(x, y)\|=\inf_{|f|\leqslant \rho} \int \rho(x, y),

где ρ — метрика. В соответствующей теории меня больше всего удивил такой критерий компактности, имеющий приложения в эргодической теории: выпуклое равномерно интегрируемое множество A метрик предкомпактно относительно введённой нормы тогда и только тогда, когда для всякого ε>0 все ε-энтропии метрик из A равномерно ограничены.

Студенческий семинар по маломерной топологии

«О Трюке Александера»
Д. Аксенова

11 ноября в 13:40
14 линия В.О., 29, ауд. 201
Zoom (ID 958-115-833, пароль стандартный)
YouTube-канал

Одной из базовых конструкций топологии является Трюк Александра (1923), который утверждает, что каждый гомеоморфизм n-мерного шара, тождественный на граничной сфере, связан с тождественным гомеоморфизмом изотопией, неподвижной на этой сфере.

Мы поговорим о фундаментальных теоремах маломерной топологии, в доказательстве которых Трюк Александера выступает важным инструментом. Обсудим его новые обобщения, доказательство одного из которых рассмотрим подробно, а также разберем примеры применения этого варианта Трюка.

Семинар «Карта модельных категорий»

«Лекция 7»
Н. И. Голубь

11 ноября в 15:00
Наб. р. Фонтанки, 27, ауд. 311
Zoom
YouTube-канал

Завтра состоится 7 лекция. Применим результаты 6 лекции для определения модельных структур на категории малых категорий обогащенных над моноидальной модельной категорией. Простроим проективную и инъективную модельные структуры на категориях функторов над данной комбинаторной модельной категорией.

Студенческий семинар «Теория представлений бесконечномерных алгебр Ли со старшим весом»

«Детерминантная формула Каца»
М. В. Грицков

12 ноября в 12:00
Наб. р. Фонтанки, 27, ауд. 311
Zoom

Завтра состоится первый семинар посвященный 8-ой лекции. Мы приступим к доказательству детерминантной формулы Каца, призванной дать ответ на вопрос о том, когда представление Верма является неприводимым.

Студенческий семинар по арифметике

«Целые квадратичные формы с дискриминантом +-1»
С. Архипов

13 ноября в 11:15
14 линия В.О., 29, ауд. 305
YouTube-канал

Я буду рассказывать про целые квадратичные формы с дискриминантом, по модулю равным 1. Очевидно, что это более сложный объект, чем квадратичные формы над Q и тем более, чем над Q_p или R (сложности начинаются уже в том месте, когда мы говорим, какие формы эквивалентны, так над полем форму всегда можно привести к диагональному виду, а над Z — нет). Начнем с простейших инвариантов, а потом перейдем к группе Гротендика K(S) (S — категория всех целых квадратичных форм) и, если успеем, обсудим структурные теоремы.

Общегородской семинар по математической физике им. В. И. Смирнова

«Complicated asymptotic expansions for the Navier — Stokes equations»
L. Hoang

13 ноября в 16:30
Zoom (zoom-only)
YouTube-канал

The long-time behavior of solutions of the three-dimensional Navier — Stokes equations in a periodic domain is studied. The time-dependent body force decays, as time $t$ tends to infinity, in a complicated but coherent manner. In fact, it is assumed to have a general and complicated asymptotic expansion which involves complex powers of $e^t$, $t$, $\ln t$, or other iterated logarithmic functions of $t$. We prove that all Leray — Hopf weak solutions admit an asymptotic expansion which is independent of the solutions and is uniquely determined by the asymptotic expansion of the body force. The proof makes use of the complexifications of the Gevrey — Sobolev spaces together with those of the Stokes operator and the bilinear form of the Navier — Stokes equations.

Семинар В. М. Бабича по дифракции и распространению волн

«Дифракция волны шепчущей галереи на скачке кривизны. Мода с большим номером»
Е. А. Злобина

14 ноября в 15:15
Наб. р. Фонтанки, 27, ауд. 311
Zoom

Исследуется дифракция высокочастотной волны шепчущей галереи с большим номером, набегающей вдоль вогнутой части границы на точку ее распрямления, в которой кривизна границы испытывает скачок. Подробно изучен «лучевой скелет» волнового поля. В рамках метода параболического уравнения построены асимптотические формулы для волн, возникающих в окрестности особой точки границы.

Санкт-Петербургский семинар по теории операторов и теории функций

«Ограниченная BMO-регулярность»
Д. В. Руцкий

13 ноября в 17:30
Наб. р. Фонтанки, 27, ауд. 311
Zoom

Пара (X, Y) нормированных решёток измеримых функций на окружности называется BMO-регулярной, если функции (f, g) из пары имеют мажоранты u⩾|f|, v⩾|g|, такие, что log u/v лежит в BMO с подходящими оценками. Известно, что BMO-регулярность характеризует устойчивость комплексной интерполяции пространств типа Харди (X_A, Y_A)_\theta = [(X, Y)_\theta]_A. Также известно, что K-замкнутость и устойчивость вещественной интерполяции этой пары характеризуется BMO-регулярностью слабого типа, то есть BMO-регулярностью пар вещественных интерполяционных пространств ((X, Y)_{\alpha, p}, (X, Y)_{\beta, q}). Оказывается, это последнее свойство эквивалентно следующему естественному ослаблению BMO-регулярности, которое мы называем ограниченной BMO-регулярностью: условия мажорирования f и g по отдельности заменяются на u+v⩾|f|+|g|. Подробнее.

Петербургский семинар по теории представлений и динамическим системам

«О группах, порожденных инволюциями двустрочечных таблиц Юнга»
М. Германсков

15 ноября в 16:00
Наб. р. Фонтанки, 27, ауд. 311
Zoom (ID 933-433-492, пароль -- порядок симметрической группы S_6)

С каждым градуированным графом можно связать инволюции, действующие на его пространстве путей. Нас будет интересовать случай, когда в роли рассматриваемого графа будет выступать интервал графа Юнга от начальной вершины до данной диаграммы. Оказывается, что для данной двустрочечной диаграммы, группа, порожденная этими инволюциями, всегда изоморфна либо симметрической, либо знакопеременной. В докладе я в терминах длин двух строк дам критерий, позволяющий отличить одну группу от другой.

Общеинститутский математический семинар

«Размерность Вейсфейлера-Лемана и проблема изоморфизма для конкретных категорий»
И. Н. Пономаренко

16 ноября в 13:00
Наб. р. Фонтанки, 27, ауд. 311
Zoom

В докладе будет рассматриваться проблема изоморфизма для двух видов конкретных категорий: конечных групп и конечных графов. Сама проблема состоит в нахождении наиболее эффективного алгоритма, проверяющего изоморфизм для любых двух данных объектов рассматриваемой категории. Главным открытым вопросом здесь остается вопрос о существовании алгоритма, время работы которого не превосходит полинома от размера объектов, проверяемых на изоморфизм. Доказательство несуществования такого алгоритма привело бы к отрицательному ответу на проблему миллениума P=NP. Размерность Вейсфейлера-Лемана (введенную для групп и графов в последнее десятилетие) можно рассматривать как меру сложности данного объекта с точки зрения проблемы изоморфизма. Подробнее.

Семинар «Квантовые алгоритмы»

«Построение линейно-оптических схем с постселекцией, реализующих заданную квантовую операцию»
М. Ушакова

15 ноября в 18:00
Zoom (доступен после регистрации)

В начале 2000 годов две группы ученых практически одновременно предложили способ реализации базовых одно- и двухкубитовых гейтов (CNOT, CZ) на базе схем из линейных оптических элементов (светоделителей и фазовращателей), фотодетекторов и источников одиночных фотонов. Нелинейность действия схемы, требуемая для реализации квантовых гейтов, достигалась путем введения вспомогательных пространственных мод и дополнительных фотонов, с последующим измерением состояний фотонов в этих модах. Подробнее.

Городской семинар по теории вероятностей и математической статистике

«Сравнение детерминированных и случайных строк»
А. В. Тискин

17 ноября в 18:00
Наб. р. Фонтанки, 27, ауд. 311

Длина наибольшей общей подпоследовательности (longest common subsequence, LCS) пары строк — естественная мера их схожести, возникающая в самых разнообразных областях математики, теоретической и практической информатики и биоинформатики. В случае, когда заданные строки являются равномерно случайными бинарными строками равной длины, нахождение асимптотики матожидания длины их LCS — открытая проблема, впервые сформулированная Хваталом и Санковым в 1975 году. В докладе будут представлены результаты автора о комбинаторной структуре LCS и ее неожиданной связи с алгеброй полугрупп, а также рассказано об изучении проблемы Хватала — Санкова методами статистической механики и символической динамики.

Студенческий семинар по функциональному анализу

«Неподвижные точки многозначных отображений и теорема Нэша»
Я. Жуков

17 ноября в 15:25
14 линия В.О., 29, ауд. 105
Zoom (ID 893-744-395-05, пароль стандартный)
YouTube-канал

Исследование многозначных отображений существенно расширяет теорию "стандартного" функционального анализа. В частности, к задачам о существовании неподвижных точек многозначных отображений сводятся некоторые задачи мат. физики и теории игр. В докладе будут рассмотрены многозначные аналоги классических теорем о неподвижных точках. Будет доказана теорема Надлера, являющаяся аналогом теоремы Банаха о неподвижной точке сжимающего отображения. Далее будет сформулирована и доказана теорема Какутани, являющаяся аналогом теоремы Брауэра. В качестве иллюстрации возможного применения теоремы Какутани будет представлено доказательство фундаментального результата теории игр — теоремы Нэша. Подробнее.

Семинар по алгебраической и другой комбинаторике

«Определители бинарных матриц»
П. Губкин

17 ноября в 18:45
14 линия В.О., 29, ауд. 120

Бинарными матрицами назовем матрицы, все элементы которых принимают значения 0 или 1. Пусть M — множество всех возможных определителей бинарных матриц некоторого фиксированного порядка n. Как устроено множество M? С помощью неравенства Адамара можно показать, что M ограничено числом порядка n^(cn). Более того эта оценка иногда достигается или почти достигается. Есть гипотеза о том, что мощность M сравнима с этой верхней оценкой, однако имеющиеся результаты очень далеки от этого утверждения.

В недавней статье методами линейной алгебры показано, что все целые числа от 1 до N, где N = O(2^n/ n) лежат в M, следствием чего является оценка O(2^n/ n) на мощность M снизу. На данный момент эта оценка является лучшей из существующих. На семинаре мы разберем конструкцию из этой статьи.

Семинар «Спектральная теория случайных процессов и полей»

«Описание экстремальных процессов в ветвящемся броуновском движении (продолжение)»
И. Лукашова

17 ноября в 16:00
Наб. р. Фонтанки, 27, ауд. 311