Симпатичная задачка

У великого Халифа умер любимый визирь, которому раньше он доверял как самому себе. Он всегда принимал решения, точно руководствуясь его советами. У визиря было два сына, точно таких же умных и преданных, как и отец. Халиф решил взять на службу сразу их двоих.

И теперь, вместо того, чтобы полностью доверяться одному лишь папе-визирю, Халиф руководствуется следующим правилом. Он слушает обоих сыновей визиря. Если оба они говорят одно и тоже, то он принимает их решение. Если их мнения различные, то он подбрасывает монетку и только так выбирает, какому из советов следовать.

Вопрос. Стал ли метод управления эффективней при двух советниках? Если да то насколько?

Пояснение. Вероятность правильного совета от отца-визиря равна вероятности правильного совета каждого из его сыновей = P. Все советы двузначные – ДА/НЕТ. Вопрос в том, какова вероятность принятия верного решения Халифом на основе советов двух сыновей и как она зависит от P

Решение задачки из предыдущего поста. Даже из общих соображений можно предположить, что вероятность правильных решений не изменится и будет равна P, потому что Халиф, проводя свою комбинацию, никакой экспертизы к экспертизе сыновей визиря не добавляет и не убавляет. Таких сыновей могло бы быть хоть 100500 — результат тот же.

Проверяем догадку по формуле сложения вероятностей. Халиф примет верное решение, если оба сына правы (P*P) или в половине случаев, когда прав только первый сын ( 0.5*P*(1-P) ) или в половине случаев, когда прав только второй сын ( 0.5*(1-P)*P ):

P*P + 0.5*P*(1-P) + 0.5*(1-P)*P = P

Формула подтвердила наши общие соображения

https://t.iss.one/obznam/64

На фоне выдающихся достижений Гриши Перельмана как-то незаслуженно подзабылся другой Перельман — Яков Исидорович, замечательный популяризатор математики. Давайте вспомним его классическую книжку "Живая математика", которую всегда полезно дать детям, а иногда и самим почитать для освежения памяти. Помимо собственно поп-математики книжка содержит разные истории вроде того, что депутаты рейхстага прямо на заседаниях безотрывно играли в "15", тщетно пытаясь решить неразрешимую задачу Лойда

Владимир Арнольд был, безусловно, выдающимся математиком, оставившим после себя сотни работ. Однако из песни слова не выкинешь — Арнольд, как и Анатолий Фоменко, не избежал публикации крайне сомнительных произведений в сферах, не связанных непосредственно с математическими задачами, но имеющих к ним некоторое отношение. Читаешь, и оторопь берёт:

—————
Коммутативность умножения можно понять, только пересчитывая по рядам и шеренгам выстроенную роту солдат или же вычисляя двумя способами площадь прямоугольника. Все попытки избежать этого вмешательства реального мира в математику — сектантство, которое восстанавливает против себя любого разумного человека и вызывает у него отвращение к этой науке, к умножению и к любым доказательствам...

...Несмотря на это, "левополушарные больные" сумели вырастить целые поколения математиков, которые не понимают никакого другого подхода к математике и способны лишь учить таким же образом следующие поколения. Отвращение к математике со стороны министров, подвергшихся в школе унизительному опыту подобного обучения, — здоровая и законная реакция
——————

Но читать надо — хотя бы для того, чтобы понимать, что бывает, когда специалист занимается не своим делом. Статья полностью — https://www.mccme.ru/edu/index.php?ikey=viarn_vatikan

Между тем, нам прислал полемическое письмо выпускник МИФИ, соавтор книги "Озадачник. 133 вопроса на знание логики, математики и физики" Николай Полуэктов:

Совсем недавно на "Общем знаменателе" была отличная ссылка на воспоминания Арнольда о Колмогорове. Прочитал с огромным удовольствием. И тем обиднее было здесь же увидеть упрёк в адрес Владимира Игоревича (https://t.iss.one/obznam/77). Упрёк, на мой взгляд, Арнольдом совершенно не заслуженный.

В.И.Арнольд -- не только великий математик. Он ещё и великий популяризатор математики как науки. Взять хотя бы его книжку "Задачи для детей от 5 до 15 лет", после которой очаровываешься и автором, и задачками, и самим предметом. "Арбуз весит 3 килограмма и поларбуза, сколько весит арбуз?" -- гениальная же задача, на которую процентов 80 людей дают неверный ответ (так случилось, что мне довелось проверять, и на довольно репрезентативной выборке).

Она сразу же заставляет ошибившегося включить голову: как так? Почему? Да ладно? Идеально вовлекает в тему, и именно потому, что привязана к реальной жизни, арбуз же каждый может легко себе представить, а если бы было сказано "шар имеет объём, равный 3 литрам и половине объёма указанного шара, каков объём шара?" -- ну, кому это было бы интересно? Все бы зевнули и пошли себе дальше.

В приведённой цитате Владимир Игоревич остаётся верен себе, настаивая, что нельзя изучать математику в полном отрыве от реальности, как чистую абстракцию, а лучше оттолкнуться от каких-то реальных примеров, а уже после переходить ко всем этим умозрительным абстракциям. Вполне педагогичный подход, не придраться.

А столь страстно он высказывался, определённо, потому, что свою точку зрения ему приходилось отстаивать на протяжении всей жизни и карьеры. Много работавший во Франции, Арнольд противостоял тамошней "школе Бурбаки". Этим спорам он посвятил много статей и выступлений (см. например его текст по итогам "Дуэли вокруг Бурбаки", https://www.mccme.ru/edu/index.php?ikey=viarn_burbaki ). А в пылу полемики можно и несколько перебрать, простительно

"Игра престолов" гремит на весь мир, так почему бы и математикам не отщипнуть кусочек этой славы? Тем более, что опыт был — изучив Веселенную "Звездных войн", сделали себе имя специалисты из политеха Лозанны. На сей раз исследование выполнили математики из американского колледжа Макалестер. По книге "Буря мечей" они построили граф связей между персонажами — получилось 107 вершин и 353 ребра. Самым значительным героем оказался Тирион, за ним Джон Сноу, потом Санса. Статья целиком : https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/Mathhorizons/NetworkofThrones%20%281%29.pdf

Решение вчерашней задачки (по ссылке)

Режем координатную сетку на квадратики 1*1 , в каждый из которых входит собственно внутренность квадратика, левая верхняя вершина, левое ребро и верхнее ребро.

Теперь складываем квадратики стопочкой. Проекция нашей фигуры в этой стопке, очевидно, будет иметь площадь строго меньше единицы, раз уж и целая фигура такова.

Значит, внутри стопки будет точка, не принадлежащая фигуре. Остаётся переместить туда вершину стопки (а, значит, все вершины сетки) и развернуть сетку обратно

https://t.iss.one/obznam/83

Один профессор в Новосибирске так объяснял сходимость степенного и расходимость гармонического рядов:

Представьте, сидит на берегу Байкала сидит мужик, напёрстком зачерпывает и выливает за спину каждый раз вдвое меньше. Сначала полный напёрсток, потом половину, потом четверть, одну восьмую и так далее. Так он никогда не вычерпает даже два напёрстка!

А вот если бы сначала полный напёрсток, потом половину, потом треть, четверть, одну пятую и так далее — таким манером он весь Байкал вычерпает!

Вспомнилась байка, как во время войны Стекловку эвакуировали в Казань. Там было никому не нужное поле, где сотрудникам института разрешили копать мерзлую морковку.

И вот однажды на промысел вышли сотрудники Колмогоров, Александров и Понтрягин -- которым, видимо, кто-то объяснил, что морковка это такой съедобный оранжевый конус, направленный вершиной к центру Земли. Ну вот, значит, копают они конусы, и вдруг подходит боец с автоматом:

-- Предъявите документы!
-- А разве нельзя копать? -- спросил кто-то из трех великих советских математиков -- Нам разрешили
-- Можно. Но... странные вы какие-то

Видели на днях Юпитер на ночном небе "внизу справа" от Луны? Мне в связи с этим вспомнилась не так давно опубликованная статья, что, по последним данным, ещё древние вавилоняне умели методом трапеций точно определять местоположение Юпитера — за полторы тысячи лет до средневековых европейских учёных. Вот она:
https://fermatslibrary.com/s/ancient-babylonian-astronomers-calculated-jupiter-s-position-from-the-area-under-a-time-velocity-graph#email-newsletter

О прямых один преподаватель матанализа в советские времена говорил так:

— Как видим, вторая производная линейной функции всюду равна нулю. Что ж, наш путь прямой: каждая точка — точка перегиба

Люблю передачу "Что? Где? Когда?" и уважаю её магистров. Но тем ярче запоминаются их нечастые эпические фейлы — примерно как Леонель Месси, не забивший пенальти за Аргентину в финале Кубка Америки. Один такой фейл знатоков произошёл 19 декабря 1992 года.

Проиграв телезрителям 6:2, команда Блинова попросила доп. раунд, при этом сам Блинов, а также Друзь и Двинятин поставили на кон свои красные пиджаки и титулы Бессмертных. Тогда они получили вопрос:

Бреет ли сам себя цирюльник, если сам цирюльник бреет всех, кто не бреется сам?

И знатоки ответили "нет", то есть неправильно! А правильно — ни "да", ни "нет", дать однозначный ответ нельзя. И это такой известный логический парадокс, что странно магистрам ЧГК его не знать, а, кроме того, он настолько прост, что и не зная можно догадаться.

Однако хотелось бы не только напомнить этот забавный случай, но и внести некоторое уточнение в летопись ЧГК (см. ссылку внизу), куда вкралась неточность, которая с тех пор кочует из сайта в сайт. Там парадокс брадобрея, о котором задали вопрос команде Блинова, назван парадоксом Рассела, а это не так, хотя парадоксы и похожи.

Парадокс Рассела заключается в том, что невозможно сказать, существует ли множество всех множеств, не являющихся элементами самих себя (задайтесь вопросом — принадлежит ли такое множество само себе?). И это не только звучит сложнее, чем про брадобрея, но и сложнее по сути, как верно отмечено в статье википедии — https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81_%D0%A0%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B5%D0%BB%D0%B0

https://chgk.tvigra.ru/letopis/?19921219

Решение задачки из предыдущего поста (хотя мне кажется, что все её решили сами).

Без ограничения общности можно считать, что в вагоне, в который вы вошли, свет горит. Тогда вы выбираете направление обхода и двигаетесь, подсчитывая пройденные вагоны, до первого из них, где тоже горит свет. Выключаете свет и двигаетесь в обратном направлении на то же количество вагонов — так вы снова попадаете в свой начальный вагон. Если в нём свет уже не горит, значит, это вы его только что выключили, и количество подсчитанных вагонов есть решение задачи. Если горит, тогда вы снова двигаетесь до первого освещённого вагона и повторяете итерацию, пока не выключите свет в своём начальном вагоне
https://t.iss.one/obznam/107

В этом году 40 лет книге Дагласа Хофштадтера "Гёдель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда". Это смелая попытка соединить и объяснить сразу несколько отраслей человеческого искусства и знания, что видно даже из заголовка. Необычное произведение, наделавшее в своё время много шума в научно-популярном мире и получившее Пулитцеровскую премию в номинации "Нехудожественная литература".

Сейчас, c высоты лет, какие-то подходы и теории выглядят устаревшими или наивными. Кому-то может показаться, что, публикуя вымышленные диалоги Ахилла с Черепахой, автор держит читателя за ребёнка. Показаться так может, но не думаю, что так и есть. Приём служит той же цели, что и вся книга — смотреть на мир другим, непривычным и небанальным взглядом. В этом смысле книга, безусловно, полезна. Отдельное удовольствие доставляет русский перевод , очень непростой из-за огромного количества каламбуров.

Для иллюстрации приведу одну из сотен мыслей, высказанных в книге. Вот говорят, что компьютер может только выполнять команды, заложенные в программе, и в этом смысле ни о каком интеллекте машины не может идти и речи. Это так, но результат выполнения программы может оказаться неожиданным для её автора, и уже в этом смысле поведение компа трудноотличимо от человеческого. И чем дальше, тем больше: программируя на языках всё более высокого уровня, мы всё меньше представляем, а что собственно происходит внутри машины при исполнении высокоуровневых команд.

В общем, несмотря на почтенный возраст произведения — а научпоп устаревает особенно быстро — советую почитать:
https://vk.com/doc10903696_333454184?hash=cc7f78da8bb828bca5&dl=736ed60b57aa008b0a

Кстати, о соединении различных отраслей знания и искусства. В творчестве Льва Николаевича Толстого можно обнаружить самую настоящую рекурсию. Вот что он пишет в "Отрочестве":

"Склонность моя к отвлеченным размышлениям до такой степени неестественно развила во мне сознание, что часто, начиная думать о самой простой вещи, я впадал в безвыходный круг анализа своих мыслей, я не думал уже о вопросе, занимавшем меня, а думал о том, о чем я думал. Спрашивая себя: о чем я думаю? -- я отвечал: я думаю, о чем я думаю. А теперь о чем я думаю? Я думаю, что я думаю, о чем я думаю, и так далее. Ум за разум заходил..."

Пруф: https://az.lib.ru/t/tolstoj_lew_nikolaewich/text_0020.shtml

Американской домохозяйке Марджори Райс на этом фото, сделанном в 1970-е, около 50 лет. В середине десятилетия в Scientific American выходит колонка великого просветителя Мартина Гарднера о пятиугольных паркетах — их на тот момент известно 8 разных. Марджори бросается на поиски — и находит еще 4 варианта! Примерно в те же годы еще один вариант обнаруживает Ричард Джеймс, 14-й вариант открывают в 1985-м году, а 15-й аж через 30 лет — в 2015-м. Марджори Райс, которой уже за 90 и которую поразила деменция, вероятно, не осознает этого достижения. А спустя два года, в июле 2017-го появляется доказательство, что больше пятиугольных паркетов не бывает, их только 15 и все они уже найдены (доказательство принадлежит Майклу Рао, оно не самое простое — https://perso.ens-lyon.fr/michael.rao/publi/penta.pdf ). Ровно в этот момент, в июле 2017-го, Марджори умирает. Вот и думай теперь о совпадениях и предназначениях человека на Земле

История как раз для пятницы. Играем, значит, вчера в Эврику (см. ссылку) и попадается вопрос по теме "Юбилей":

Какого автора 90 книг чествовали в 1928 году?

И тут меня торкает — ну, конечно же, это Лев Толстой, хоть я и не поклонник его творчества и понятия не имею, сколько книг он написал.

Коллеги спрашивают:
— А почему Толстой-то?
— Ну потому что юбилей, значит 100 лет, то есть он родился в 1828, а кто родился в 1828? Поскольку мы знаем число "е", то знаем, что это Толстой

е = 2,718281828...

Ну, то есть, сначала 2,7 , а потом два раза подряд год рождения Льва Толстого. Математики запоминают его год рождения именно так. Ну а гуманитарии, соответственно, именно так запоминают число "е"

https://www.eurekaquiz.ru/

Простой узел-трилистник невозможно развязать без разрезания, однако ничто не мешает, в отличие от лестницы Эшера, построить настоящую лестницу в виде трилистника, оборудовав её перилами, чтобы не упасть. Гуляй не хочу

https://sketchfab.com/3d-models/walkable-simple-trefoil-f08b5f048b034bae88dfb0bc25544d1f

Древние римляне были слабы в алгебре, у них X всегда равнялось 10

Кстати, о снежинке Коха, раз уж зашёл разговор. Это замечательная и очень простая в построении кривая, два свойства которой мне помнятся ещё со школы, а вот третье узнал совсем недавно:
1) Это кривая бесконечной длины, ограничивающая конечную площадь
2) Это непрерывная, но нигде не дифференцируемая кривая
3) Снежинками Коха двух разных размеров можно замостить плоскость (см. рисунок)

Во-первых, это красиво. А во-вторых, можно в порядке тренировки спросить себя, какую кривую описывает конец крестика — эллипс, овал или какую-то третью