🔵توزیع نرمال چند متغیره🔵
سطح پیچیدگی:🌕🌕🌕🌑🌑
پیش‌نیاز:(آمار و احتمال و کد نویسی متوسط)
برای:(متوسط)

همه کسانی که آمار و احتمال پایه آشنا باشند با توزیع نرمال آشنا هستند. این توزیع بسیار ساده و در عین حال بسیار کاربردی است. ساده است چرا که فقط با دو پارامتر میانگین و واریانس می توان به صورت کامل آن را تعیین کرد و کاربردی است چرا که بسیاری از پدیده های طبیعی از توزیع قد افراد گرفته تا نوسانگر هارمونیک کوانتومی از این توزیع پیروی میکنند.
در فرم ساده یک بعدی این توزیع به صورت زیر است:

که در آن mu میانگین و sigma واریانس داده هاست. در نرم افزار متلب می توان به صورت زیر از این توزیع نمونه برداشت:

r=normrnd(mu, sigma)

که در آن mu و sigma یک عدد اسکالر هستند.
توزیع نرمال به صورت چند متغیره هم ظاهر می شود و آن زمانی است که پدیده مورد نظر شما دارای بیش از یک ویژگی باشد.
شکل زیر:

در این حالت بین این ویژگی ها همبستگی( correlation) وجود دارد. این همبستگی باعث می شود که واریانس فرم پیچیده تری به نام ماتریس کواریانس به خود بگیرد که یک ماتریس d*d است و d در آن تعداد ویژگی هاست. پس در این ماتریس عضو (i,j) نشان دهنده همبستگی ویژگی i ام با j ام است. همچنین میانگین به صورت ساده به صورت برداری به اندازه d است که در آن هر عنصر میانگین هر ویژگی است. در متلب می توان از این توزیع به صورت زیر نمونه گرفت:

mu = [2,3];
sigma = [1,1.5;1.5,3];
r = mvnrnd(mu,sigma);

اگر صد نمونه بگیریم و در یک شکل رسم کنیم به صورت زیر خواهد شد

mu = [2,3];
sigma = [1,1.5;1.5,3];
rng default  % For reproducibility
r = mvnrnd(mu,sigma,100);
figure
plot(r(:,1),r(:,2),'+')

در مطالب بعدی به صورت ریز تری به معنای ماتریس های کواریانس و نیز کاربردهای توزیع نرمال چند متغیره می پردازیم

@MatlabTips
#For_intermediate , #Multivariate_normal_distribution, #Normal_distribution
نویسنده: (A-2)

🔵ماتریس کوواریانس چیست و چه کاربردهایی دارد؟🔵
سطح پیچیدگی:🌕🌕🌕🌑🌑
پیش‌نیاز:(آمار و احتمال و کد نویسی متوسط)
برای:(متوسط)

زمانی که با داده های یک بعدی مانند قد افراد روبرو هستیم علاوه بر میانگین واریانس هم اطلاعات مفیدی در اختیار ما قرار می دهد. واریانسِ بیشتر به طور ساده به معنای پراکندگی بیشتر در داده هاست. با استفاده از دستور متلب زیر میتوانید این موضوع را برای دو بردار تستی دریابید:

V1=[4,6,2]
Var(V1)
V2=[3,10, 2]
Var(V2)

مشخص است که پراکندگی داده ها در V2 بیشتر و بنابراین واریانس بیشتری دارد.
اما بیشتر پدیده ها به همین سادگی با یک عدد توصیف نمی شوند. به طور مثال شما نمی توانید دانشجویان یک کلاس را تنها با نمره یکی از درس هایشان تحلیل کنید. در این موارد باید به این دقت کرد که بین درس های مختلف هم رابطه هایی وجود دارد به طور مثال فرض کنید دانشجویان یک کلاس 5 نفره در دروس ریاضی، زبان، هنر نمره های زیر را کسب کرده باشند:

کواریانس دو بردارx و y به صورت زیر تعریف می شود:

حالا بیایید ماتریس کواریانس را به صورت زیر تعریف کنیم:

به این ترتیب اگر هر کدام از درس ها را به صورت یک بردار در نظر بگیریم. ماتریس کواریانس را به صورت برداری زیر حساب میکنیم:

در مرحله اول هر کدام از نمونه ها را از میانگین کم کردیم. ودر مرحله بعد حاصلضرب ها را محاسبه کردیم(به ارتباط این نحوه ضرب با فرمول هایی که گفتیم فکر کنید).نتیجه به صورت زیر می شود:

این ماتریس را به صورت زیر تعبیر می کنیم:
اندازه این ماتریس 3 در 3 است و به معنای ارتباط درس ها با هم است.
قطر اصلی یعنی کواریانس هر داده با خودش که همان واریانس می شود. درس هنر دارای بیشترین واریانس(900) و زبان کمترین واریانس(450( را دارد.
کواریانس دو درس ریاضی و زبان بالا است(450) و این به آن معنی است که این دو تمایل به رشد با هم یا کمتر شدن با هم دارند. در عوض زبان و هنر دارای کواریانس صفر است و به معنای آن است که رابطه ای با هم ندارند.
ماتریس کواریانس متقارن است به این معناست که رابطه ی بین درس ها با هم متقارن است!
نمودار زیر به زیبایی رابطه بین درس ها را نشان میدهد.در قطر اصلی هیستوگرام داده ها هر درس را میبینیم که واریانس را نشان می دهد. در ضمن هر قدر دو درس(یا متغیر) بیشتر با هم ارتباط داشته باشند داده هایشان در یک جهت هم سو هستند و هر قدر بی ارتباط تر باشند پخش و پلا و به یک دایره نزدیک تر است: