🔵 معادلات دیفرانسیل - قسمت اول: تاریخچه‌ای مختصر 🔵
سطح پیچیدگی: 🌑🌑🌑🌑🌑
پیش نیاز: علاقه
برای: همه
📝هدف از این پست: (چگونگی به وجود آمدن چند معادله دیفرانسیل معروف)

معادلات دیفرانسیل برای اولین بار توسط نیوتن و لایب ‌نیتز و با ابداع حسابان پا به عرصه‌ وجود گذاشت. نیوتن در بخش دوم از کارش در سال 1672 میلادی سه نوع از معادلات دیفرانسیل را لیست کرد:

او این مسائل را حل کرد و بقیه با استفاده از سریهای نامتناهی این کار را انجام دادند و بحث‌هایی روی نایکتا بودن جواب‌ها نیز به وجود آمد.
ژاکوب برنویی (یا برنولی) معادله دیفرانسیل برنویی را در سال 1695 میلادی مطرح کرد. این معادله یک معادله دیفرانسیل معمولی به شکل

می باشد که لایب نیتز سال بعد آن را با ساده سازی حل نمود.
از لحاظ تاریخی، مسئله ارتعاش سیم مانند ارتعاش سیم‌های آلات موسیقی توسط دالامبر، اویلر، دانیل برنویی و لاگرانژ مورد بررسی قرار گرفت. در سال 1746 میلادی دالامبر معادله موج 1- بعدی را کشف کرد و در مدت 10 سال اویلر معادله موج 3- بعدی را کشف نود.
معادله اویلر- لاگرانژ در سال‌های 1750 توسط این دو ریاضی‌دان در ارتباط با مطالعاتشان روی مسئله tautochrone کشف گردید. این مسئله مربوط به مشخص کردن منحنی است به طوری که ذره‌های وزن‌دار روی آن به سمت نقطه ثابت در زمانی ثابت بدون توجه به نقطه آغازی سقوط کنند.

لاگرانژ این مسئله را در 1755 حل کرد و راه‌ حل خود را برای اویلر فرستاد. هردو متد لاگرانژ را توسعه بخشیدند وآن را در مکانیک به کار بستند که باعث پیدایش مکانیک لاگرانژی شد.
فوریه کارهایش را در زمینه جریان گرما در کتاب نظریه تحلیلی گرما منتشر کرد که در آن استدلال‌های خود را برپایه قانون یرمایش نیوتن گذاشته بود، یعنی جریان گرما بین دو مولکول مجاور متناسب با تغییر بسیار ناچیز دمایشان است علاوه بر این او طرح پیشنهادی خود را برای انتشار گرما در رسانا‌ها آورده است، این معادله دیفرانسیل جزئی در حال حاضر به تمامی دانشجویان فیزیکِ ریاضی تدریس می شود.

🔵توابعی با تغییرات زیاد🔵
سطح پیچیدگی:🌕🌑🌑🌑🌑
پیش نیاز: آشنایی اندک با رسم توابع
برای: همه
📝هدف ازاین پست: آشنایی با روشی بهینه برای رسم توابع خاص

در مثال هایی که تا به اینجا در باب رسم نمودار زدیم، دارای محور x بودند که نقاط آن بصورت یکنواخت تعریف شده بود(برای مثال x=0:0.1:1). اگر بخش هایی از تابع دارای تغییرات خیلی شدید باشد، این روش به طور قطع بهینه نخواهد بود و ممکن است منجر به تولید نموداری گول زننده شود. به عنون مثال نمودار زیر را در نظر بگیرید:

x = 0.01:0.001:0.1;
plot(x, sin(1./x))

اگر من گام های x را به 0.0001 تقلیل دهم، نمودار بهتری خواهم داشت. به هرحال این دو تابع در محدوده هایx<0/04 ظاهری متفاوت دارند.
متلب تابعی به نام fplot دارد که از روشی بسیار زیبا استفاده میکند. در حالی که دستورplot تابع مورد نظر را در بازه هایی یکسان رسم میکرد، fplot در نواحی که تغییرات زیادی دارد، نقاط بیشتری را صرف میکند. کد زیر روش استفاده از این دستور را نشان میدهد.

fplot(’sin(1/x)’, [0.01 0.1])

#For_all , #Fplot
@MatlabTips

🔵پدیده‌ای به نام گیبس🔵
سطح پیچیدگی: 🌕🌑🌑🌑🌑
پیش نیاز: آشنایی با سری فوریه
هدف از این پست: آشنایی با پدیده گیبس

یک موج مربعی با دوره T با استفاده از تابع زیر قابل تعریف است.

سری فوریه تابع f(t) به صورت زیر خواهد بود:

هر دانش آموخته کنجکاو و علاقه‌مند این سوال در ذهنش به وجود می‌آید که به ازای چند جمله سری فوریه قادر خواهد بود تقریب مناسبی از این تابع را به ما بدهد. اگر T را 1 در نظر بگیریم و بازه زمانی t را از -1.1 تا 1.1 در نظر بگیریم، برنامه زیر جواب شما را خواهد داد.
در ناپیوستگی های تابع(نقاط مرزی) سری فوریه رفتاری نوسانی از خود نشان میدهد که به پدیده گیبس معروف است. جالب است بدانید با افزایش k پدیده گیبس شارپ تر می شود.
#Gibs, #Fourier
@MatlabTips

If you can't explain it simply, you don't understand it well enough. Albert Einstein
@MatlabTips

🔵 معادلات دیفرانسیل - قسمت دوم: نگاهی کوتاه به حوزه‌ی کاربردها 🔵
سطح پیچیدگی: 🌑🌑🌑🌑🌑
پیش نیاز: علاقه
برای: همه
📝هدف از این پست: (آشنایی مختصر با حوزه‌هایی که معادلات دیفرانسیل کاربرد دارد

مطالعه معادلات دیفرانسیل شاخه‌ای بسیار پهناور در ریاضیات محض و کاربردی، فیزیک، شیمی و مهندسی است. ریاضیات محض تمرکزش را روی وجود و یکتایی جواب‌های معادلات قرار داده، در حالی که ریاضیات کاربردی توجه را روی تقریب زدن جواب‌ها نهاده است.
معادلات دیفرانسیل نقش مهمی در مدل کردن پدیده‎های فیزیکی، تکنیکی یا بیولوژیکی دارد، از حرکت‌های سماوی و طراحی پل‌ها گرفته تا کنش‌های بین نورون‌ها. بسیاری از قوانین بنیادی فیزیک و شیمی را می توان توسط معادلات دیفرانسیل فرمول بندی کرد. در بیولوژی و اقصاد، معادلات دیفرانسیل برای مدل کردن رفتار سیستم‌های پیچیده استفاده می شود.
معادلات دیفرانسیل نظیر آنهایی که برای حل مسائل مربوط به دنیای خودمان به کار می رود لزومی ندارد که به طور مستقیم حل شوند. یعنی لزومی ندارد که جواب های آن‌ها را به صورت بسته‌ای بیابیم، در واقع جواب‌ها را می توان با روش‌های عددی تقریب زد.

🔵نمونه برداری تصادفی از یک تابع توزیع احتمال پیوسته🔵
سطح پیچیدگی:🌕🌕🌑🌑🌑
پیش‌نیاز:(کد نویسی متوسط)
برای:(متوسط و پیشرفته)


در قسمت قبل نحوه ی نمونه برداری تصادفی از توزیع احتمال گسسته (با چندین احتمال متناهی و مشخص) را بررسی کردیم. متوجه شدیم که تابع ransample بهترین گزینه برای این کار است و آرگومان ها و حالات مختلف آن را بررسی کردیم. در این بخش به نمونه برداری تصادفی از یک تابع توزیع پیوسته می پردازیم.
هرچند نمونه برداری تصادفی از توزیع های یکنواخت و گاوسی(نرمال) در متلب فراهم شده است اما ما می خواهیم این کار را برای هر تابع توزیع احتمالی بتوانیم انجام دهیم. روش عمومی برای این کار "نمونه گیری تبدیل معکوس"(Inverse transform sampling) است. ایده ساده ای در پشت این تکنیک است. ابتدا شما یک نمونه تصادفی از تابع توزیع یکنواخت می گیرید. می دانیم که مقداری که حاصل می شود بین صفر و یک است. از طرفی می دانیم مساحت زیر نمودار هر تابع توزیعی برابر با یک است(مجموع تمام احتمال ها همیشه یک است) حالا کافی است عددی که از نمونه گیری تصادفی از توزیع یکنواخت بدست آورده ایم را برابر با قسمتی از نمودار بگیریم که مساحتش از منفی بی نهایت تا یک نقطه است. آن نقطه نمونه تصادفی مورد نظر ماست!
ممکن است قدری گیج شده باشید. به صورت تکنیکی اگر x نمونه تصادفی یکنواخت ما باشد. u نمونه تصادفی توزیع مورد نظر است:

به جای بیان انتگرال می توان این تکنیک را بر اساس تابع تجمعی هم توضیح داد. یعنی ما به دنبال نقطه ای هستیم که در معادله زیر صدق کند: