Вот такая история. Мне кажется, несмотря на все ограничения — это очень круто!

Дорогие читатели, вас уже больше тысячи, и это безумно приятно; спасибо вам!

Ещё — Григорий Мерзон выложил зеркало-архив этого канала за 2019 год, с оглавлением для упрощения навигации, и за это ему большое спасибо! Так что теперь можно посмотреть первые байки без мучительного листания назад:
https://dev.mccme.ru/~merzon/mirror/mathtabletalks/

Сегодня Pi Day (потому что 3/14), так что сегодняшняя байка будет посвящена числу π — но не только.

А именно — как все знают, π иррационально и даже трансцендентно. И вот доказательства его иррациональности я хочу обсудить.

Первое доказательство — то, которое чаще всего рассказывается в университете. Оно довольно короткое, но начинается с действия, которое нужно запомнить (и этим мне не очень нравится).

А именно — пусть π=a/b.
Давайте возьмём какое-нибудь натуральное n и посмотрим на функцию
f(x)=x^n (a-bx)^n / n!

Умножим эту функцию на sin x и по [0,π] проинтегрируем. Что получится?

С одной стороны, интеграл считается явно — кучей-кучей интегрирования по частям (как и любой интеграл от произведения многочлена на экспоненту). Получим F(0)+F(π), где F(x)=f(x)-f''(x)+f''''(x) - ... .
Потому что первообразная будет
-F(x) cos x +G(x) sin x,
где в G собраны нечётные производные f (тем самым, G=F', но это неважно) — но синус в 0 и π обращается в ноль, так что для определённого интеграла по [0,π] второе слагаемое роли не играет.

И этот интеграл тем самым оказывается целым!

Потому что в числителе функции f стоят n-е степени обращающихся в ноль на концах отрезка функций. Поэтому, чтобы получить ненулевой вклад в F(.) в каком-нибудь из концов отрезка (x=0 или x=π=a/b), нужно соответствующую функцию (x или a-bx соответственно) "додифференцировать" до нулевой степени. Но тогда n! в знаменателе исчезает.

А с другой стороны, при n, стремящемся к бесконечности, факториал в знаменателе забивает экспоненту в числителе. Поэтому подынтегральная функция равномерно стремится к 0.

И при достаточно большом n значение интеграла одновременно целое и заключено между 0 и 1. Противоречие.

Вот. Это доказательство короткое и хорошее — но его сложно придумать "с нуля". А есть исторически первое доказательство Ламберта, придуманное в 1760-е (и, собственно, ради него я эту байку и рассказываю). В котором есть одна идея — но смысловая — и из которого много что ещё получается.

Эта идея — "давайте разложим тангенс в цепную дробь". И да, в цепные дроби можно раскладывать не только числа, но и функции.

А именно: как устроено обычное разложение в цепную дробь? Есть "большие и дискретные" целые числа Z, и есть "маленькие" числа — полуинтервал A=[0,1). Берём какое-то начальное число, вычитанием элемента из Z приносим его на A, "переворачиваем" применением 1/x, и так повторяем много-много раз.

Так вот, давайте работать с функциями, определёнными (и "хорошими"-аналитическими) в окрестности точки x=0.

В роли целых чисел как чего-то "большого" выступит кольцо R[1/x] многочленов от (1/x). А в роли "маленького" множества A — функции, обращающиеся в точке x=0 в ноль.

Да, пока я не убежал вперёд — если вдруг вы не видели брошюру В. И. Арнольда "Цепные дроби", https://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/#book-14 — то я очень советую её посмотреть!

Так вот, давайте применим алгоритм разложения к функции f(x)=tg x. Почему? Ну точно так же, как в ряд Тейлора, когда он придуман, имеет смысл пытаться раскладывать всё подряд — вдруг где что красивое попадётся, — и запоминать удачные результаты, точно так же почему бы в цепную дробь не пораскладывать всё подряд, например, тангенс?

Итак, функция tg x уже "маленькая":
tg x = x + x^3/3+ ... ;
перевернём её. Получается котангенс.

ctg x при x->0 "взрывается" как 1/x; вычтем и посмотрим, что останется:
ctg x - 1/x = -x/3 + ... ;
(упражнение — проверьте!).

Перевернув, получаем (-3/x). Продолжая в том же духе — а это, в каком-то смысле, чисто механическая деятельность — находим первые несколько членов разложения (не касаясь пока вопроса его сходимости):