Кстати, там можно увидеть, что одни картины относительно других (для совпадения "как их холст вырезался из рулона") приходится поворачивать или переворачивать.

А ещё это может быть серьёзным аргументов в аттрибуции картин: Женя Смирнов год назад рассказывал, что на выставке Лейденской коллекции в Москве ( https://www.hermitagemuseum.org/wps/portal/hermitage/what-s-on/temp_exh/2018/rembrandttime/ ) видел у одной из картин табличку — "раньше в её авторстве сомневались, но теперь установлено, что она написана на куске холста из того же рулона, что и бесспорный Вермеер".

А это из статьи "Canvas Matches in Vermeer: A Case Study in the Computer Analysis of Fabric Supports" — https://people.ece.cornell.edu/johnson/LiedtkeMMJ.pdf

Там же (с. 102) обсуждение, что для датировки такое совпадение не очень помогает: после смерти Вермеера в его мастерской обнаружили десять холстов, и учитывая краткость описания, имеются в виду просто подготовленные холсты, а не законченные картины:

И [я всё ещё пересказываю статью] поскольку Вермеер писал хорошо если три картины в год (а тут десять холстов) — датировка по близости холстов не будет очень надёжной:

Вот такая история. Мне кажется, несмотря на все ограничения — это очень круто!

Дорогие читатели, вас уже больше тысячи, и это безумно приятно; спасибо вам!

Ещё — Григорий Мерзон выложил зеркало-архив этого канала за 2019 год, с оглавлением для упрощения навигации, и за это ему большое спасибо! Так что теперь можно посмотреть первые байки без мучительного листания назад:
https://dev.mccme.ru/~merzon/mirror/mathtabletalks/

Сегодня Pi Day (потому что 3/14), так что сегодняшняя байка будет посвящена числу π — но не только.

А именно — как все знают, π иррационально и даже трансцендентно. И вот доказательства его иррациональности я хочу обсудить.

Первое доказательство — то, которое чаще всего рассказывается в университете. Оно довольно короткое, но начинается с действия, которое нужно запомнить (и этим мне не очень нравится).

А именно — пусть π=a/b.
Давайте возьмём какое-нибудь натуральное n и посмотрим на функцию
f(x)=x^n (a-bx)^n / n!

Умножим эту функцию на sin x и по [0,π] проинтегрируем. Что получится?

С одной стороны, интеграл считается явно — кучей-кучей интегрирования по частям (как и любой интеграл от произведения многочлена на экспоненту). Получим F(0)+F(π), где F(x)=f(x)-f''(x)+f''''(x) - ... .
Потому что первообразная будет
-F(x) cos x +G(x) sin x,
где в G собраны нечётные производные f (тем самым, G=F', но это неважно) — но синус в 0 и π обращается в ноль, так что для определённого интеграла по [0,π] второе слагаемое роли не играет.

И этот интеграл тем самым оказывается целым!

Потому что в числителе функции f стоят n-е степени обращающихся в ноль на концах отрезка функций. Поэтому, чтобы получить ненулевой вклад в F(.) в каком-нибудь из концов отрезка (x=0 или x=π=a/b), нужно соответствующую функцию (x или a-bx соответственно) "додифференцировать" до нулевой степени. Но тогда n! в знаменателе исчезает.

А с другой стороны, при n, стремящемся к бесконечности, факториал в знаменателе забивает экспоненту в числителе. Поэтому подынтегральная функция равномерно стремится к 0.

И при достаточно большом n значение интеграла одновременно целое и заключено между 0 и 1. Противоречие.

Вот. Это доказательство короткое и хорошее — но его сложно придумать "с нуля". А есть исторически первое доказательство Ламберта, придуманное в 1760-е (и, собственно, ради него я эту байку и рассказываю). В котором есть одна идея — но смысловая — и из которого много что ещё получается.