Случайный человек или случайный друг

Представим очень простую социальную сеть.
Есть один человек, который дружит со всеми остальными 100 людьми.
А каждый из этих 100 людей дружит только с ним.
Получается сеть-звезда.
У центрального человека 100 друзей.
У каждого из остальных — по 1 другу.
Сколько друзей у случайного человека в такой сети?
Среднее равно
(100+100·1)/101 ≈ 1,98.
То есть случайный человек имеет в среднем около 2 друзей.
Теперь выберем не случайного человека, а случайного друга.
Иначе говоря, выберем случайную дружескую связь и посмотрим на один из её концов.
Тогда центральный человек попадётся очень часто: к нему ведут 100 связей.
Каждый из остальных попадётся только по одной связи.
Среднее число друзей в такой выборке равно
(100²+100·1²)/(100+100)=50,5.
Получается резкий разрыв:
случайный человек имеет в среднем около 2 друзей;
случайный друг имеет в среднем 50,5 друзей.
Такой вот парадокс дружбы.
Он возникает не из-за психологии, а из-за способа выбора.
Если выбирать людей напрямую, каждый человек имеет одинаковый вес.
Если выбирать людей через дружеские связи, человек с k друзьями попадает в выборку в k раз чаще.
Поэтому более связные люди автоматически пере представлены.
В общем виде это записывается так.
Пусть D — число друзей у случайного человека.
Среднее число друзей у случайного человека равно
E(D).
А среднее число друзей у случайного друга равно
E(D²)/E(D).
Квадрат появляется потому, что человек с k друзьями имеет значение k и одновременно попадает в выборку в k раз чаще.
Так как E(D²) ≥ E(D)²,
получаем E(D²)/E(D) ≥ E(D).
Если число друзей не у всех одинаковое, неравенство строгое.
Поэтому средний друг имеет больше друзей, чем средний человек.
Популярная фраза «у большинства людей их друзья популярнее их самих» — более сильная версия этого эффекта. Она часто верна в реальных сетях, но универсальная математическая формулировка именно такая:
средний друг популярнее среднего человека.
Та же ошибка возникает в любой выборке, где мы выбираем объект не напрямую, а через его связи или появления.
Случайный ученик чаще окажется в большом классе.
Случайный пассажир чаще окажется в загруженном автобусе.
Случайная ссылка чаще приведёт на популярную страницу.
Это выборка, смещённая размером.
Чем больше у объекта связей, мест или появлений, тем чаще он попадает в наблюдение.

Встречный курс

Пусть в системе отсчёта Земли один корабль летит вправо со скоростью 0,8c, а другой — влево с такой же скоростью. За одну секунду расстояние между ними уменьшается на
0,8c + 0,8c = 1,6c.
Значит, в системе отсчёта Земли скорость их сближения равна 1,6c.
Противоречия с теорией относительности здесь нет. Число 1,6c — не скорость одного корабля в системе отсчёта другого. Это скорость, с которой уменьшается расстояние между ними по земным часам.
если источник испускает два световых луча в противоположных направлениях, то в системе отсчёта источника расстояние между фронтами лучей увеличивается со скоростью 2c. Но каждый луч по-прежнему движется со скоростью c.
В опросе спрашивалось другое: какую скорость одного корабля измерит наблюдатель на другом корабле?
Для этого обычное сложение уже не подходит. Если u и v — модули скоростей двух тел, движущихся навстречу друг другу, то скорость одного тела относительно другого равна
w = (u + v)/(1 + uv/c²).
Поэтому
w = (0,8c + 0,8c)/(1 + 0,8·0,8) = 40c/41.
Почему закон сложения скоростей устроен такой странной дробью?
Будем измерять скорости в долях скорости света. Пусть:
β₁ = v₁/c,  β₂ = v₂/c,
где v₁ и v₂ — модули скоростей двух тел. Скорость одного тела относительно другого тоже выразим в долях c и обозначим через  β₁₂. Тогда
β₁₂ = (β₁ + β₂)/(1 + β₁β₂).
Теперь введём вспомогательную величину
q = (1 + β)/(1 − β).
Для трёх скоростей получаем:
q₁ = (1 + β₁)/(1 − β₁),
q₂ = (1 + β₂)/(1 − β₂),
q₁₂ = (1 + β₁₂)/(1 − β₁₂).
Подставим формулу для β₁₂:
q₁₂ = [1 + (β₁+β₂)/(1+β₁β₂)] / [1 − (β₁+β₂)/(1+β₁β₂)].
После упрощения:
q₁₂ = (1+β₁β₂+β₁+β₂)/(1+β₁β₂−β₁−β₂).
Числитель и знаменатель раскладываются на множители:
q₁₂ = (1+β₁)(1+β₂)/((1−β₁)(1−β₂)).
Значит, q₁₂ = q₁q₂.
Итак, сами скорости складываются по дробной формуле, а соответствующие им числа q при этом просто перемножаются.
Остаётся превратить умножение в сложение. Для этого нужен логарифм. Введём величину
φ = ½ ln q = ½ ln((1 + β)/(1 − β)).
Она называется быстротой.
Поскольку q₁₂ = q₁q₂, получаем
φ₁₂ = ½ ln(q₁q₂) = ½ ln q₁ + ½ ln q₂ = φ₁ + φ₂.
Получается, что скорости складываются сложно, а быстроты — обычным образом.
Это не просто удобная замена переменной. Из определения быстроты можно выразить скорость:
β = (e^(2φ) − 1)/(e^(2φ) + 1) = th φ.
В обычной геометрии поворот сохраняет величину x² + y², а последовательным поворотам соответствует сложение углов. Преобразования Лоренца устроены похоже, только они сохраняют величину c²t² − x². Их можно рассматривать как гиперболические повороты, а быстрота φ играет роль гиперболического угла.
Поэтому быстроты складываются по той же причине, по которой складываются углы последовательных поворотов.
При этом th φ при любом конечном φ остаётся между −1 и 1. Значит, соответствующая скорость βc всегда меньше c. Скорости света отвечала бы бесконечная быстрота.

Две дороги между встречами

Если тело движется со скоростью v, то его собственное время τ связано с земным временем t соотношением
τ = t√(1 − v²/c²).
Для одного участка пути:
τ = 5√(1 − 0,6²) = 4 года.
Туда и обратно — 8 лет.
Но здесь есть более интересный способ увидеть тот же ответ.
За один участок корабль перемещается на 3 световых года за 5 земных лет. Время, прошедшее на корабле, равно
√(5² − 3²) = 4 года.
Да, получился египетский треугольник 3–4–5, только теорема Пифагора работает не как
5² = 4² + 3², а как
4² = 5² − 3².
Числа те же, но геометрия другая.
В обычной геометрии длина отрезка на плоскости равна
√(x² + y²).
В пространстве-времени собственное время между двумя событиями определяется выражением
τ = √(t² − x²/c²).
Из-за знака минус привычное неравенство треугольника как будто переворачивается.
Корабль движется от первого события — старта — ко второму, развороту, а затем к третьему — возвращению. На двух участках его собственное время равно
4 + 4 = 8 лет.
Земля между теми же событиями старта и возвращения никуда не перемещается, поэтому её собственное время равно
√(10² − 0²) = 10 лет.
Получается
4 + 4 < 10.
Ломаная мировая линия оказалась короче прямой.
Это, конечно, не особенность удачно выбранных чисел. Пусть тело движется в течение времени t₁ с координатной скоростью v₁, а затем в течение времени t₂ с координатной скоростью v₂. Скорости здесь берутся со знаками: движение в обратную сторону соответствует отрицательной скорости.
На его часах пройдёт
τ = t₁f(v₁) + t₂f(v₂),
где
f(v) = √(1 − v²/c²).
Эта функция вогнута:
f″(v) < 0.
По неравенству Йенсена
t₁f(v₁) + t₂f(v₂) ≤
(t₁ + t₂)f((t₁v₁ + t₂v₂)/(t₁ + t₂)).
Дробь в правой части — средняя скорость на всём пути. Значит, справа стоит время, которое прошло бы при равномерном прямолинейном движении между теми же двумя событиями.
Итак, между двумя фиксированными событиями в плоском пространстве-времени прямая мировая линия даёт не наименьшее, а наибольшее собственное время.
Поэтому дело не в том, что ускорение само по себе «замедляет часы». Разворот нужен, чтобы перейти с одного прямолинейного участка на другой. Меньше времени набирает именно непрямая мировая линия.
В обычной геометрии тот, кто идёт напрямик, проходит меньше.
В пространстве-времени тот, кто не сворачивает, стареет больше.

Календарь и новостная лента в эти дни довольно настойчиво предлагают одну и ту же тему. Поэтому сегодня — несколько задач про яблоки.
 
 
Задача (Я.И. Перельман)
Садовник продал первому покупателю половину всех своих яблок и ещё пол-яблока, второму — половину оставшихся и ещё пол-яблока, третьему — половину оставшихся и ещё пол-яблока и т. д. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблок и ещё пол-яблока; после этого яблок у него не осталось.
Сколько яблок было у садовника?
 
Решение  по ссылке.

Задача (А.В. Шаповалов).
На столе лежат 6 яблок, не обязательно одинакового веса. Таня разложила их по 3 на две чаши весов, и весы оказались в равновесии. Саша разложил те же яблоки иначе: 2 на одну чашу и 4 на другую, и весы снова оказались в равновесии.
Докажите, что можно положить на одну чашу одно яблоко, а на другую — два так, чтобы весы опять оказались в равновесии.
 
Решение  по ссылке.

Задача.
В корзине лежат 13 яблок. Весы позволяют узнать суммарный вес любых двух яблок. Какое наименьшее число взвешиваний требуется, чтобы узнать общий вес всех яблок?
 
Решение  по ссылке.

Задача (Г. Э. Дьюдени).
У семи торговок было соответственно 20, 40, 60, 80, 100, 120 и 140 яблок. Они пришли на рынок и продали все свои яблоки, соблюдая два строгих правила:
1) Цены на яблоки на рынке в любое время в течение дня были у всех абсолютно одинаковыми.
2) Каждая из семи торговок в итоге выручила одну и ту же сумму денег.
Как это могло получиться?
 
Решение  по ссылке.

Задача (И.Русских, Матпраздник 2025)
Разделите «яблоко» на рисунке на 5 равных частей по линиям треугольной сетки. Части будут несвязными, но их можно нарисовать с помощью одного и того же трафарета (трафарет можно поворачивать и переворачивать).
 
Решение  по ссылке.