Комбинаторные потоки Риччи и метрики на триангулированных поверхностях

Рассмотрим замкнутую поверхность М и зафиксируем ее триангуляцию. Будем считать что ребра — прямолинейные отрезки, а грани — плоские треугольники. Можно ли так подобрать длины ребер, чтобы кривизны в вершинах были одинаковыми? Здесь кривизной в вершине называется разность 2π и суммы плоских углов, сходящихся в этой вершине. Например, правильные тетраэдр и икосаэдр имеют одинаковые кривизны в вершинах.

С этим вопросом связано понятие комбинаторного потока Риччи (для поверхностей). Это такой поток, который меняет длину каждого ребра в зависимости от кривизны в его концах. Оказывается, если выбрать этот поток «правильно», то любой набор длин ребер, удовлетворяющий неравенствам треугольника на каждой грани, под действием такого потока превращается в набор длин ребер с постоянными кривизнами в вершинах.

Планируется обсудить эти два сюжета и некоторые смежные с ними.

Материалы
▪️Видеозапись (продолжительность: 5 часов)

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

В субботу (9 ноября) в 13:40 в 105 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Топологическая интерпретация некоторых групп раскрасок зацеплений»
Вадим Степанюк

Классификация зацеплений является фундаментальной задачей теории узлов. Чтобы различать объекты, мы ищем инварианты. И одним из интересных инвариантов зацеплений являются группы раскрасок. На докладе мы обсудим раскраски при помощи групп целых чисел и торов произвольной размерности.

На первый взгляд, группы раскрасок являются чисто комбинаторным инвариантом. Однако оказывается, что они допускают и топологическую интерпретацию. А именно — имеется непосредственная связь с гомологиями циклических разветвленных накрытий над узлом.

В завершение обсудим обобщение этого подхода для произвольных топологических групп, а также более общие подходы к раскраскам.

От слушателей предполагается знакомство с базовыми вещами из алгебры и теории узлов. Остальные определения при необходимости будут напомнены.

Во вторник (12 ноября) в 13:40 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Слоения и ветвящиеся поверхности в дополнениях к зацеплениям»
Михаил Чернавских

Род узла определяется как наименьшее значение рода среди его поверхностей Зейферта. Тёрстон доказал, что род узла можно найти, предъявив тугое слоение в дополнении к этому узлу. Слоение же можно получить утолщением некоторой ветвящейся поверхности. Я расскажу, что это за объекты и как их можно кодировать комбинаторно с помощью прямоугольных диаграмм.

📣 Мероприятия этой недели

▪️Кружок любителей арифметики (18.11)
▪️Пучки и их когомологии (19.11)
▪️Алгебраическая геометрия I (21.11)
▪️Основы гомотопической алгебры (21.11)
▪️Нестабильная теория гомотопий (22.11)
▪️Стабильная теория гомотопий (22.11)

▪️Нормализация существенных ламинаций (18.11)
▪️Классификация некомпактных двумерных многообразий (18.11)
▪️Torsion in the Kauffman bracket skein module (21.11)

На открытке: карта восьми трёхмерных геометрий Тёрстона

Бифуркации векторных полей на плоскости

В каждой точке плоскости нарисуем вектор — получилось векторное поле (рис. 1). Будем считать, что по плоскости течёт вода, а векторы — скорости течения в разных точках.
Теперь бросим в воду несколько щепок и нарисуем траектории их движения (рис. 2). Получился фазовый портрет векторного поля. По картинке стало видно, что происходит с щепками: некоторые приближаются к внешнему (красному) предельному циклу, а некоторые — к зелёному стоку в центре картинки. От внутреннего (синего) цикла все щепки отдаляются.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 5 часов)
▪️Упражнения

Программа
1. На 1–2 занятиях я расскажу, куда ещё могут накапливаться траектории щепок (теорема Пуанкаре — Бендиксона).
2. На 3 занятии я опишу, как ещё могут быть устроены фазовые портреты.
3. На 3–4 занятиях мы обсудим бифуркации: перестройки фазовых портретов, когда векторное поле слегка меняется. Будут свежие результаты и открытые вопросы.

Пререквизиты
Предварительных знаний не требуется. Для некоторых задач пригодится умение считать производные.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Каталог материалов по маломерной топологии

▪️Картинки
▪️Анимации (требуется VPN)
▪️Литература
▪️Курсы лекций и доклады

📣 Мероприятия этой недели

▪️Кружок любителей арифметики (02.12)
▪️Пучки и их когомологии (03.12)
▪️Алгебраическая геометрия I (05.12)
▪️Основы гомотопической алгебры (05.12)
▪️Нестабильная теория гомотопий (06.12)
▪️Стабильная теория гомотопий (06.12)

▪️Обобщение конструкции Ватанабе на топологические оснащённые дисковые расслоения (02.12)
▪️Склеивание полиэдрально-финслеровых пространств по Решетняку (02.12)
▪️Матрично-векторное представление результатов теории Пикара–Лефшеца (02.12)
▪️Geometric Langlands with marked points (02.12)
▪️Подход старших пределов и функториальные языки в гомологической алгебре (04.12)
▪️Четырёхмерные гиперэллиптические многообразия, определяемые векторными раскрасками многогранников (04.12)

На открытке: наделение поверхности гиперболической метрикой

Эйлерова характеристика и S^1-расслоения

Знаменитая формула Эйлера утверждает, что для всякого выпуклого многогранника справедливо равенство В-Р+Г=2, где В, Р, и Г — числа вершин, ребер и граней многогранника, соответственно. Тесно связанная с этим равенством, но очень непохожая по форме «теорема о невозможности причёсывания ёжика» утверждает, что непрерывное поле касательных векторов на сфере обязано иметь особые точки. В курсе речь пойдет об обобщениях приведенных утверждений, связанных с топологией и дифференциальной геометрией кривых и поверхностей.

В действительности, значительная часть развития топологии XX века как раз и состоит из далёких обобщений формулы Эйлера. В частности, к таким обобщениям относятся гомологии, теория препятствий, характеристические классы и теория Морса. И хотя все эти понятия в курсе явно затронуты не будут, неявно курс можно рассматривать как элементарную иллюстрацию к этому кругу топологических идей.

Курсы «Класс Эйлера», «S^1-расслоения» и «Теорема Милнора—Вуда» выгодно дополняют данный. (Однако не предполагается, что слушатели непременно их изучили.)

Материалы
▪️Видеозапись (продолжительность: 5 часов)

Литература
▪️L. W. Tu. Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes. Graduate Texts in Mathematics, 2017.

Пререквизиты
Все объекты, с которыми мы столкнемся, достаточно просты, их легко изобразить или представить себе, поэтому большая часть курса будет доступна и школьникам (готовым принять на веру интуитивно очевидные утверждения, связанные с непрерывностью)

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Векторные поля на поверхностях

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 5 часов)
▪️Конспект, слайды и упражнения
▪️Листочки: индекс и траектории

Программа
1. Наглядное представление о векторных полях
2. Фундаментальные задачи векторного анализа
3. Степень отображения, число оборотов и индекс нуля векторного поля
4. Приложения: теорема Брауэра о неподвижной точке и основная теорема алгебры
5. Векторные поля в электродинамике
6. Векторные поля, связанные с триангуляциями поверхностей и многообразий
7. Да будет дождь: векторные поля, заданные градиентом
8. Теорема Эйлера-Пуанкаре-Хопфа и теорема о причёсывании ежа
9. Расслоения со слоем окружность и их числа Эйлера-Черна (векторные поля как сечения касательного расслоения)
10. Векторный анализ: ротор и дивергенция
11. Разложение Гельмгольца-Ходжа-де-Рама: гармонические векторные поля

Литература
▪️В.Г. Болтянский, В.А. Ефремович. Наглядная топология, 1983.
▪️А.Б. Скопенков. Алгебраическая топология с геометрической точки зрения, 2020.
▪️М.А. Красносельский, А.И. Перов, А.И. Поволоцкий, П.П. Забрейко. Векторные поля на плоскости, 1963.

Соседи
▪️Гармонические цепи
▪️Эйлерова характеристика и S^1-расслоения
▪️Теорема Брауэра о неподвижной точке
▪️Бифуркация векторных полей на плоскости
▪️Теория Морса
▪️Алгебраические векторные поля на плоскости

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Каталог материалов по маломерной топологии

▪️Картинки
▪️Анимации (требуется VPN)
▪️Литература
▪️Курсы лекций и доклады

Конструктор (гео)метрических пространств

00:00 Портал, сокращающий расстояние
00:26 Портал, увеличивающий расстояние
00:42 Пропавшая комната
01:21 Лишние комнаты
01:41 Обход колонны как телепорт
02:13 Спуск/подъём
02:42 Портал, изменяющий размеры объектов
03:23 Как это работает и где применяется

(источник)

Художественный фильм «‎Форма пространства»‎

00:00 Загадка
00:42 Флатландия
02:36 Двумерный тор изнутри
04:50 Трёхмерный тор изнутри
06:27 Лента Мёбиуса изнутри
07:59 Пространство Клейна изнутри
09:15 Разгадка

Также смотрите: «Флатландия» и «Не узел»

(источник)

📣 Мероприятия этой недели

▪️Кружок любителей арифметики (03.03)
▪️Когомологии в алгебраической геометрии (04.03)
▪️Алгебраическая геометрия II (06.03)
▪️Алгебра и теория гомотопий II (08.03)
▪️Замощения сдвигами функций (08.03)

▪️Внутри всякого трёхмерного многогранника найдётся точка с 10 нормалями к его границе (03.03)
▪️Flat-virtual knot: introduction and some invariants (03.03)
▪️Объемная энтропия симплициальных комплексов и слабое гомотопическое сплющивание топологических пространств II (05.03)
▪️Multi-virtual braid groups and their representations (05.03)
▪️Форма Зейферта проколотых n-многообразий в (2n−1)-пространстве (часть 2) (07.03)

На открытке: стандартная симплектическая структура на R^4

📣 Мероприятия этой недели

▪️Кружок любителей арифметики (10.03)
▪️Когомологии в алгебраической геометрии (11.03)
▪️Алгебраическая геометрия II (13.03)
▪️Алгебра и теория гомотопий II (15.03)
▪️Замощения сдвигами функций (15.03)
▪️Студенческий семинар по маломерной топологии (15.03)

▪️Геометрические реализации алгебраических объектов и производная некоммутативная алгебраическая геометрия (10.03)
▪️Свойства конечности для групп и теория Морса – 1 (10.03)
▪️Определение матрицы b-периодов дубля поверхности с краем по её ДН-оператору (10.03)
▪️Числа Райдемайстера автоморфизмов дискретных групп (12.03)

На открытке: визуализация конформных преобразований