📣 Мероприятия этой недели

▪️Кружок любителей арифметики (14.10)
▪️Пучки и их когомологии (15.10)
▪️Алгебраическая геометрия I (17.10)
▪️Основы гомотопической алгебры (17.10)
▪️Нестабильная теория гомотопий (18.10)
▪️Стабильная теория гомотопий (18.10)
▪️Студенческий семинар по маломерной топологии (18.10)

▪️Ленточная конкордантность узлов (14.10)
▪️О спаривании Кохрана (14.10)
▪️Когомологии де Рама мягких функциональных алгебр (15.10)
▪️Порядок вторичного функционала гладкого отображения сферы (16.10)
▪️О когомологиях алгебр Хопфа и спектральной последовательности Бухштабера (16.10)

На открытке: разложение открытой книги трёхмерного тора

Завтра, в субботу (18 октября) в 13:40 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б)

Открытое заседание семинара

Формат занятия предполагает возможность всем желающим встретиться вне рамок заранее заявленной конкретной тематики и в свободном режиме побеседовать о волнующих вопросах, сюжетах или задачах. В качестве одной из стартовых точек обсуждения могут быть рассмотрены рассказ @ilya_s_alekseev и @Odisub о визуальном восприятии разветвленных накрытий с ветвлениями в узле и смежные сюжеты.

Обратите внимание на нестандартное время начала пицце-семинара

Завтра, в субботу (26 октября) в 13:40 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Соответствие Жиру: от открытых книг к контактным структурам»
Илья Алексеев

В первой части доклада мы погрузимся в расслоения над окружностью со слоем поверхность. А именно, мы обсудим разложения открытой книги замкнутых трёхмерных многообразий, основные примеры которых возникают в контексте расслоённых узлов и зацеплений. Это позволит продолжить мостик от теории групп классов отображений поверхностей к трёхмерной топологии.

Во второй части доклада мы обратимся к понятию распределения плоскостей на трёхмерных многообразиях. В частности, мы подробно разберём устройство трёх моделей стандартной контактной структуры на трёхмерной сфере. Наконец, следуя Тёрстону и Винкельнкемперу, мы свяжем с каждой открытой книгой некоторую контактную структуру.

📣 Мероприятия этой недели

▪️Кружок любителей арифметики (28.10)
▪️Пучки и их когомологии (29.10)
▪️Алгебраическая геометрия I (31.10)
▪️Основы гомотопической алгебры (31.10)
▪️Нестабильная теория гомотопий (01.11)
▪️Стабильная теория гомотопий (01.11)
▪️Студенческий семинар по маломерной топологии (26.10)

▪️Гомотопический тип группы диффеоморфизмов четырёхмерной сферы – 4 (28.10)
▪️Лагранжева заполняемость и многочлен HOMFLY-PT (28.10)
▪️Нижняя оценка триангуляционной сложности 3-многообразий с краем (28.10)
▪️Heegaard Floer homology and the fundamental group (29.10)
▪️Центры групп кос поверхностей и точная последовательность Бирман (30.10)

На открытке: расслоение Лефшеца

В субботу (2 ноября) в 14:00 в 120 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Теорема Дональдсона»
Аршак Айвазьян

Один из основных инвариантов четырехмерного компактного ориентированного односвязного многообразия — унимодулярная симметричная форма пересечений H²(X) x H²(X) → H⁴(X) = Z (простые гомотопические рассуждения показывают, что H²(X) = Z^n для некоторого n). В действительности, как гласит теорема Фридмана (1982), топологические типы таких многообразий находятся в естественной биекции с унимодулярными симметричными формами (снабжёнными, в случае когда они нечетны, ещё 1 битом информации: инвариантом Кирби — Зибенмана). В этом контексте теорема Дональдсона (1983) накладывает жесткое ограничение на то, какие топологические многообразия могут быть снабжены гладкой структурой: если форма пересечений гладкого многообразия знакоопределена, то она диагональна!

Доказательство Дональдсона сочетает глобальный анализ, геометрию и теорию гомотопий, вдохновляясь идеями из современной ему математической физики — калибровочной теории. Фактически объект, вокруг которого вращается всё доказательство, — пространство модулей инстантонов. Это пространство связностей в главном расслоении, удовлетворяющих уравнениям Янга — Миллса.

В докладе мы обсудим геометрически наиболее интересные части доказательства и дадим его общий обзор (полный разбор доказательства потребовал бы курса лекций). Основные пререквизиты: стандартные курсы гладкой геометрии и теории гомологий. Понятия главных расслоений и связностей будут напомнены.

Комбинаторные потоки Риччи и метрики на триангулированных поверхностях

Рассмотрим замкнутую поверхность М и зафиксируем ее триангуляцию. Будем считать что ребра — прямолинейные отрезки, а грани — плоские треугольники. Можно ли так подобрать длины ребер, чтобы кривизны в вершинах были одинаковыми? Здесь кривизной в вершине называется разность 2π и суммы плоских углов, сходящихся в этой вершине. Например, правильные тетраэдр и икосаэдр имеют одинаковые кривизны в вершинах.

С этим вопросом связано понятие комбинаторного потока Риччи (для поверхностей). Это такой поток, который меняет длину каждого ребра в зависимости от кривизны в его концах. Оказывается, если выбрать этот поток «правильно», то любой набор длин ребер, удовлетворяющий неравенствам треугольника на каждой грани, под действием такого потока превращается в набор длин ребер с постоянными кривизнами в вершинах.

Планируется обсудить эти два сюжета и некоторые смежные с ними.

Материалы
▪️Видеозапись (продолжительность: 5 часов)

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

В субботу (9 ноября) в 13:40 в 105 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Топологическая интерпретация некоторых групп раскрасок зацеплений»
Вадим Степанюк

Классификация зацеплений является фундаментальной задачей теории узлов. Чтобы различать объекты, мы ищем инварианты. И одним из интересных инвариантов зацеплений являются группы раскрасок. На докладе мы обсудим раскраски при помощи групп целых чисел и торов произвольной размерности.

На первый взгляд, группы раскрасок являются чисто комбинаторным инвариантом. Однако оказывается, что они допускают и топологическую интерпретацию. А именно — имеется непосредственная связь с гомологиями циклических разветвленных накрытий над узлом.

В завершение обсудим обобщение этого подхода для произвольных топологических групп, а также более общие подходы к раскраскам.

От слушателей предполагается знакомство с базовыми вещами из алгебры и теории узлов. Остальные определения при необходимости будут напомнены.

Во вторник (12 ноября) в 13:40 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Слоения и ветвящиеся поверхности в дополнениях к зацеплениям»
Михаил Чернавских

Род узла определяется как наименьшее значение рода среди его поверхностей Зейферта. Тёрстон доказал, что род узла можно найти, предъявив тугое слоение в дополнении к этому узлу. Слоение же можно получить утолщением некоторой ветвящейся поверхности. Я расскажу, что это за объекты и как их можно кодировать комбинаторно с помощью прямоугольных диаграмм.