Гладкие многообразия и гомотопические группы сфер

Важным алгебраическим инвариантом топологического пространства X является множество π_n(X) гомотопических классов непрерывных отображений n-мерной сферы S^n в X. Это множество обладает естественной структурой группы и называется n-ой гомотопической группой пространства X.

Оказывается, что в случае, когда пространство X само является сферой, гомотопические группы тесно связаны с совсем другим разделом топологии: дифференциальной топологией, изучающей гладкие многообразия и их гладкие отображения. Я расскажу про конструкцию Л. С. Понтрягина, связывающую группу π_{n+k}(S^n) с k-мерными гладкими подмногообразиями в (n+k)-мерном векторном пространстве, снабжёнными дополнительной структурой. В середине прошлого века эта конструкция позволила вычислить π_{n+k}(S^n) для k≤3. Я расскажу про вычисления для k=0,1.

Материалы
▪️Видеозапись (продолжительность: 5 часов)

Программа
1. Гомотопические группы топологического пространства
2. Гладкие многообразия и гладкие отображения. Касательное и нормальное расслоения
3. Оснащённые многообразия и их связь с гомотопическими группами сфер
4. Гомотопическая классификация отображений n-мерных многообразий в n-мерную сферу. Степень отображения
5. Гомотопическая классификация отображений (n+1)-мерной сферы в n-мерную сферу

Литература
▪️Л. С. Понтрягин. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий.

Пререквизиты
Для понимания курса необходимо знакомство с следующими понятиями: топологические пространства и непрерывные отображения, n-мерное векторное пространство, дифференцируемые функции нескольких переменных.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

📣 Мероприятия этой недели

▪️Кружок любителей арифметики (16.09)
▪️Пучки и их когомологии (17.09)
▪️Алгебраическая геометрия I (19.09)
▪️Введение в гомотопическую алгебру (19.09)
▪️Нестабильная теория гомотопий (20.09)
▪️Стабильная теория гомотопий (20.09)
▪️Студенческий семинар по маломерной топологии (21.09)
▪️Алгебра и теория гомотопий (21.09)

▪️Классификация лежандровых узлов некоторых топологических типов – 2 (16.09)
▪️О геометрии полинома Александера (16.09)
▪️Топология слоений Лиувилля интегрируемых биллиардов в трехмерном евклидовом пространстве (16.09)
▪️Lie Superalgebra generalizations of the Jaeger-Kauffman-Saleur Invariant (16.09)
▪️Ренормализация в однородной динамике (20.09)
▪️Lipschitz-Sarkar stable homotopy type for planar trivalent graph with perfect matchings (21.09)

На открытке: абелианизация фундаментальной группы букета окружностей на уровне графов Кэли

В субботу (21 сентября) в 16:00 в 120 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Теорема Дена—Нильсена»
Андрей Рябичев

Пусть S — замкнутая поверхность, а φ — любой автоморфизм фундаментальной группы S. Легко построить отображение f : S→S, реализующее φ. Согласно теореме Уайтхеда, такое f является гомотопической эквивалентностью. Теорема же Дена—Нильсена утверждает, что f гомотопно гомеоморфизму.

Мы обсудим доказательство этой теоремы, а также некоторые смежные факты — такие, как теорема Эдмондса о факторизации (которая утверждает, что любое отображение поверхностей либо стягивается на 1-остов, либо гомотопно композиции стягивания нескольких ручек и разветвлённого накрытия), а также, если хватит времени, сюжеты, связанные с понятием геометрической степени.

Интересно, что аналог теоремы Дена—Нильсена для поверхностей более чем с двумя проколами/компонентами края неверен, и об этом мы также поговорим (если успеем).

📣 Мероприятия этой недели

▪️Кружок любителей арифметики (07.10)
▪️Пучки и их когомологии (08.10)
▪️Алгебраическая геометрия I (10.10)
▪️Основы гомотопической алгебры (10.10)
▪️Нестабильная теория гомотопий (11.10)
▪️Стабильная теория гомотопий (11.10)
▪️Студенческий семинар по маломерной топологии (12.10)

▪️Асимптотические инварианты зацеплений, построенные на основе полиномов Конвея (07.10)
▪️О нелокальных осцилляциях в трехмерных моделях кольцевых генных сетей (07.10)
▪️On universal parity on free two-dimensional knots (07.10)
▪️Порядки гомотопических инвариантов отображений в пространства Эйленберга — Маклейна (09.10)
▪️Проблема Арнольда о гельдеровом отображении квадрата на куб (09.10)

На открытке: стандартная контактная структура на R^3

Завтра, в субботу (12 октября) в 16:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Продолжение самоизотопий: косы на поверхностях»
Илья Алексеев

Как известно, любой танец точек на поверхности (т. е. петля в конфигурационном пространстве n различных точек) продолжается до объемлющей изотопии этой поверхности. Доклад посвящен вопросу о том, в каком случае такую объемлющую изотопию можно выбрать самоизотопией тождественного автогомеоморфизма. Мы покажем, что подгруппа в группе крашеных кос компактной ориентируемой поверхности, состоящая из танцев, продолжающихся до такой самоизотопии, совпадает с центром этой группы кос. Для этого мы обратимся к таким понятиям, как группа классов отображений, скручивание Дена, геометрический индекс пересечения и трюк Александера. Если останется время, мы обсудим открытый вопрос о продолжении самоизотопий одномерных подмногообразий до самоизотопий трёхмерных многообразий.

📣 Мероприятия этой недели

▪️Кружок любителей арифметики (14.10)
▪️Пучки и их когомологии (15.10)
▪️Алгебраическая геометрия I (17.10)
▪️Основы гомотопической алгебры (17.10)
▪️Нестабильная теория гомотопий (18.10)
▪️Стабильная теория гомотопий (18.10)
▪️Студенческий семинар по маломерной топологии (18.10)

▪️Ленточная конкордантность узлов (14.10)
▪️О спаривании Кохрана (14.10)
▪️Когомологии де Рама мягких функциональных алгебр (15.10)
▪️Порядок вторичного функционала гладкого отображения сферы (16.10)
▪️О когомологиях алгебр Хопфа и спектральной последовательности Бухштабера (16.10)

На открытке: разложение открытой книги трёхмерного тора

Завтра, в субботу (18 октября) в 13:40 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б)

Открытое заседание семинара

Формат занятия предполагает возможность всем желающим встретиться вне рамок заранее заявленной конкретной тематики и в свободном режиме побеседовать о волнующих вопросах, сюжетах или задачах. В качестве одной из стартовых точек обсуждения могут быть рассмотрены рассказ @ilya_s_alekseev и @Odisub о визуальном восприятии разветвленных накрытий с ветвлениями в узле и смежные сюжеты.

Обратите внимание на нестандартное время начала пицце-семинара

Завтра, в субботу (26 октября) в 13:40 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Соответствие Жиру: от открытых книг к контактным структурам»
Илья Алексеев

В первой части доклада мы погрузимся в расслоения над окружностью со слоем поверхность. А именно, мы обсудим разложения открытой книги замкнутых трёхмерных многообразий, основные примеры которых возникают в контексте расслоённых узлов и зацеплений. Это позволит продолжить мостик от теории групп классов отображений поверхностей к трёхмерной топологии.

Во второй части доклада мы обратимся к понятию распределения плоскостей на трёхмерных многообразиях. В частности, мы подробно разберём устройство трёх моделей стандартной контактной структуры на трёхмерной сфере. Наконец, следуя Тёрстону и Винкельнкемперу, мы свяжем с каждой открытой книгой некоторую контактную структуру.

📣 Мероприятия этой недели

▪️Кружок любителей арифметики (28.10)
▪️Пучки и их когомологии (29.10)
▪️Алгебраическая геометрия I (31.10)
▪️Основы гомотопической алгебры (31.10)
▪️Нестабильная теория гомотопий (01.11)
▪️Стабильная теория гомотопий (01.11)
▪️Студенческий семинар по маломерной топологии (26.10)

▪️Гомотопический тип группы диффеоморфизмов четырёхмерной сферы – 4 (28.10)
▪️Лагранжева заполняемость и многочлен HOMFLY-PT (28.10)
▪️Нижняя оценка триангуляционной сложности 3-многообразий с краем (28.10)
▪️Heegaard Floer homology and the fundamental group (29.10)
▪️Центры групп кос поверхностей и точная последовательность Бирман (30.10)

На открытке: расслоение Лефшеца