9 августа (пятница)

▪️Евклидов объем конического многообразия над гиперболическим узлом является алгебраическим числом (Абросимов Н. В.)
▪️Оценки объёмов гиперболических зацеплений через число скручиваний в диаграмме (Егоров А. А.)
▪️Циклическая упорядочиваемость и группы виртуальных узлов (Иванов М. Э.)

▪️Мультиобходы и многогранники бинарных деревьев (Щербаков О. С.)
▪️Роль полярного преобразования в построении двойственных многогранников к выпуклым и звездчатым многогранникам (Антипова Л. А.)

10 августа (суббота)

▪️Инварианты заузленных тел с ручками (Бардаков В. Г.)
▪️Продолжения представлений группы кос на моноид сингулярных кос (Козловская Т. А.)
▪️Коэффициенты дробных скручиваний Дена кос на поверхностях (Алексеев И. С.)
▪️Конфигурационные пространства, косы и гомотопические группы (Ионин В. А.)

11 августа (воскресенье)

▪️О двух проблемах Ролфсена (Мелихов С. А.)
▪️О типичности гиперболических узлов (Белоусов Ю. С.)
▪️Сравнение лежандровых узлов с нетривиальной группой симметрии (Шастин В. А.)
▪️Лежандровы лаврентьевские кривые (Прасолов М. В.)
▪️Прямоугольные диаграммы тугих слоений в дополнениях к узлам (Чернавских М. М.)
▪️Геометрические свойства графов хирургий в маломерной топологии (Миллер А. Ю.)

Видеозаписи продолжения «Геометрической теории узлов» уже доступны!

▪️Лемма о Диаманте и теорема Шуберта
▪️Теорема Дена — Ликориша для диска с дырами
▪️Теорема Дена — Ликориша в общем случае, разбиение Хегора
▪️Теорема Ликориша — Уоллеса, Инь-Ян, торические червоточины

Для вашего удобства теперь все видеоролики нашего YouTube-канала дублируются в отдельном Telegram-канале: @ldtss_backup

Теорема Милнора—Вуда

Расслоения со слоем «окружность» над поверхностями (тором, сферой, кренделем...) — замечательный ручной объект, они классифицируются своими числами Эйлера. Например, число Эйлера объясняет, почему сферического ёжика невозможно причесать без образования макушек.

Мы планируем несколько усложнить жизнь (попутно сделав её интереснее): нас будут интересовать расслоения с плоскими связностями, или, что то же самое, с трансверсальными слоениями. Теорема Милнора—Вуда даёт точный ответ на вопрос, какие из расслоений обладают плоской связностью. По ходу дела нам понадобятся гомеоморфизмы окружности, число вращения Пуанкаре, вычисление класса Эйлера, минимальные триангуляции расслоения — всё это мы пройдём.

Курсы «Класс Эйлера», «S^1-расслоения» и «Действия групп в малой размерности» выгодно дополняют данный. (Однако не предполагается, что слушатели непременно их изучили.)

Материалы
▪️Видеозапись (продолжительность: 5 часов)
▪️Упражнения

Программа
1. Локально тривиальные расслоения
2. Триангуляции S^1-расслоений
3. Число Эйлера S^1-расслоения как препятствие к существованию сечения
4. Слоения. Кодирование слоёных S^1-расслоений гомоморфизмами из фундаментальной группы базы в группу гомеоморфизмов окружности
5. Числа вращения и переноса Пуанкаре гомеоморфизмов окружности, связь с числом Эйлера слоёного S^1-расслоения

Литература
▪️K. Mann. Rigidity and flexibility of group actions on the circle, arXiv:1510.00728
▪️L. W. Tu. Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes. Graduate Texts in Mathematics, 2017
▪️E. Ghys. Groups acting on the circle. Enseign. Math. (2) 47 (2001), no. 3-4, 329-407
▪️D. Calegari. SCL. Mathematical Society of Japan Memoirs, 2009
▪️D. Sullivan. A generalization of Milnor's inequality concerning affine foliations and affine manifolds. Commentarii Mathematici Helvetici 51, 183–189, 1976

Пререквизиты
Для курса надо знать, что такое действие группы, понимать, как устроено универсальное накрывающее пространство и фундаментальная группа сферы с ручками, иметь хорошее представление о степени отображения из окружности в окружность.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

📣 Мероприятия этой недели

▪️Кружок любителей арифметики (9.09)
▪️Пучки и их когомологии (10.09)
▪️Алгебраическая геометрия I (12.09)
▪️Введение в гомотопическую алгебру (12.09)
▪️Нестабильная теория гомотопий (13.09)
▪️Стабильная теория гомотопий (13.09)
▪️Алгебра и теория гомотопий (14.09)

▪️Классификация лежандровых узлов некоторых топологических типов (9.09)
▪️Примеры гамильтоново минимальных лагранжевых подмногообразий в грассманиане Gr(2, n) (9.09)
▪️Polyhedra inscribed in a quadric (09.09)
▪️Асимптотические метрические инварианты и фундаментальные группы многомерных граф-многообразий (11.09)

На открытке: гомологии Хованова и полином Джонса узла трилистника

Гладкие многообразия и гомотопические группы сфер

Важным алгебраическим инвариантом топологического пространства X является множество π_n(X) гомотопических классов непрерывных отображений n-мерной сферы S^n в X. Это множество обладает естественной структурой группы и называется n-ой гомотопической группой пространства X.

Оказывается, что в случае, когда пространство X само является сферой, гомотопические группы тесно связаны с совсем другим разделом топологии: дифференциальной топологией, изучающей гладкие многообразия и их гладкие отображения. Я расскажу про конструкцию Л. С. Понтрягина, связывающую группу π_{n+k}(S^n) с k-мерными гладкими подмногообразиями в (n+k)-мерном векторном пространстве, снабжёнными дополнительной структурой. В середине прошлого века эта конструкция позволила вычислить π_{n+k}(S^n) для k≤3. Я расскажу про вычисления для k=0,1.

Материалы
▪️Видеозапись (продолжительность: 5 часов)

Программа
1. Гомотопические группы топологического пространства
2. Гладкие многообразия и гладкие отображения. Касательное и нормальное расслоения
3. Оснащённые многообразия и их связь с гомотопическими группами сфер
4. Гомотопическая классификация отображений n-мерных многообразий в n-мерную сферу. Степень отображения
5. Гомотопическая классификация отображений (n+1)-мерной сферы в n-мерную сферу

Литература
▪️Л. С. Понтрягин. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий.

Пререквизиты
Для понимания курса необходимо знакомство с следующими понятиями: топологические пространства и непрерывные отображения, n-мерное векторное пространство, дифференцируемые функции нескольких переменных.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

📣 Мероприятия этой недели

▪️Кружок любителей арифметики (16.09)
▪️Пучки и их когомологии (17.09)
▪️Алгебраическая геометрия I (19.09)
▪️Введение в гомотопическую алгебру (19.09)
▪️Нестабильная теория гомотопий (20.09)
▪️Стабильная теория гомотопий (20.09)
▪️Студенческий семинар по маломерной топологии (21.09)
▪️Алгебра и теория гомотопий (21.09)

▪️Классификация лежандровых узлов некоторых топологических типов – 2 (16.09)
▪️О геометрии полинома Александера (16.09)
▪️Топология слоений Лиувилля интегрируемых биллиардов в трехмерном евклидовом пространстве (16.09)
▪️Lie Superalgebra generalizations of the Jaeger-Kauffman-Saleur Invariant (16.09)
▪️Ренормализация в однородной динамике (20.09)
▪️Lipschitz-Sarkar stable homotopy type for planar trivalent graph with perfect matchings (21.09)

На открытке: абелианизация фундаментальной группы букета окружностей на уровне графов Кэли

В субботу (21 сентября) в 16:00 в 120 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Теорема Дена—Нильсена»
Андрей Рябичев

Пусть S — замкнутая поверхность, а φ — любой автоморфизм фундаментальной группы S. Легко построить отображение f : S→S, реализующее φ. Согласно теореме Уайтхеда, такое f является гомотопической эквивалентностью. Теорема же Дена—Нильсена утверждает, что f гомотопно гомеоморфизму.

Мы обсудим доказательство этой теоремы, а также некоторые смежные факты — такие, как теорема Эдмондса о факторизации (которая утверждает, что любое отображение поверхностей либо стягивается на 1-остов, либо гомотопно композиции стягивания нескольких ручек и разветвлённого накрытия), а также, если хватит времени, сюжеты, связанные с понятием геометрической степени.

Интересно, что аналог теоремы Дена—Нильсена для поверхностей более чем с двумя проколами/компонентами края неверен, и об этом мы также поговорим (если успеем).

📣 Мероприятия этой недели

▪️Кружок любителей арифметики (07.10)
▪️Пучки и их когомологии (08.10)
▪️Алгебраическая геометрия I (10.10)
▪️Основы гомотопической алгебры (10.10)
▪️Нестабильная теория гомотопий (11.10)
▪️Стабильная теория гомотопий (11.10)
▪️Студенческий семинар по маломерной топологии (12.10)

▪️Асимптотические инварианты зацеплений, построенные на основе полиномов Конвея (07.10)
▪️О нелокальных осцилляциях в трехмерных моделях кольцевых генных сетей (07.10)
▪️On universal parity on free two-dimensional knots (07.10)
▪️Порядки гомотопических инвариантов отображений в пространства Эйленберга — Маклейна (09.10)
▪️Проблема Арнольда о гельдеровом отображении квадрата на куб (09.10)

На открытке: стандартная контактная структура на R^3

Завтра, в субботу (12 октября) в 16:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Продолжение самоизотопий: косы на поверхностях»
Илья Алексеев

Как известно, любой танец точек на поверхности (т. е. петля в конфигурационном пространстве n различных точек) продолжается до объемлющей изотопии этой поверхности. Доклад посвящен вопросу о том, в каком случае такую объемлющую изотопию можно выбрать самоизотопией тождественного автогомеоморфизма. Мы покажем, что подгруппа в группе крашеных кос компактной ориентируемой поверхности, состоящая из танцев, продолжающихся до такой самоизотопии, совпадает с центром этой группы кос. Для этого мы обратимся к таким понятиям, как группа классов отображений, скручивание Дена, геометрический индекс пересечения и трюк Александера. Если останется время, мы обсудим открытый вопрос о продолжении самоизотопий одномерных подмногообразий до самоизотопий трёхмерных многообразий.