📣 Мероприятия этой недели

▪️Теория кос (1.04)
▪️Семинар "Геометрия и комбинаторика" (2.04)
▪️Характеристические классы векторных расслоений (2.04)

▪️Гомологии Флоера узлов и группа конкордантности узлов, часть 2 (01.04)
▪️Extending knot isotopies to two-component links with linking number one, часть 3 (01.04)
▪️Dendriform algebras (01.04)
▪️Многомерные обобщения тождества Плейеля (01.04)
▪️Минимальные модели нильмногообразий и комплексные структуры. Продолжение доклада (03.04)

На открытке: шутовской колпак

Группы классов отображений и их подгруппы

Группа классов отображений ориентируемой двумерной поверхности S_g — это факторгруппа Mod(S_g) группы сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов поверхности на себя по подгруппе всех гомеоморфизмов, изотопных тождественному. Теория групп классов отображений замечательна тем, что она тесно связана с очень разными областями математики, в числе которых геометрия плоскости Лобачевского, группы кос, теория пространств модулей алгебраических кривых, трёхмерная топология, динамические системы, арифметические группы и многое другое.
В рамках курса я постараюсь сосредоточиться на некоторых комбинаторных и гомологических свойствах групп классов отображений и их подгрупп (важнейшей из которых является подгруппа Торелли I_g, состоящая из всех классов гомеоморфизмов, тривиально действующих на одномерных гомологиях поверхности), а также на их связях с инвариантами Рохлина и Кассона трёхмерных гомологических сфер.

Курс «Пространства Тейхмюллера» выгодно дополняет данный. (Однако не предполагается, что слушатели непременно его изучили.)

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 28 часов)

Программа
1. Теорема Дена — Нильсена — Бэра о связи группы классов отображений и группы внешних автоморфизмов фундаментальной группы поверхности.
2. Классы Мамфорда — Миллера — Мориты в когомологиях групп классов отображений.
3. Действия групп классов отображений и их подгрупп на клеточных комплексах, имеющих геометрическое происхождение: комплексе кривых, комплексе циклов и т. д.
4. Порождающие групп классов отображений и групп Торелли.
5. Инвариант Рохлина и гомоморфизмы Бирман — Крэггса I_g → Z/2Z.
6. Гомоморфизм Джонсона и строение абелианизации группы Торелли.
7. Ядро гомоморфизма Джонсона и инвариант Кассона, алгебра Кассона — Мориты.

Литература
▪️M. Clay, D. Margalit, eds. Office Hours with a Geometric Group Theorist. Princeton, NJ Oxford: Princeton University Press, 2017.
▪️B. Farb, D. Margalit. A Primer on Mapping Class Groups. Princeton Mathematical Series. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2012.

Пререквизиты
Предполагается, что слушателям курса знакомы понятия фундаментальной группы и группы одномерных гомологий поверхностей и их основные свойства. Также будет полезным (но не обязательным) некоторое предварительное знакомство с геометрией плоскости Лобачевского.

Зацепления по модулю узлов

В классической теории узлов зацепления часто понимаются как “многокомпонентные узлы” и играют скорее вспомогательную или второстепенную роль по отношению к настоящим узлам. Но в последние 65 лет активно развивается и другая наука, в которой интересным считается лишь взаимодействие разных компонент зацепления, а локальное заузливание отдельных компонент игнорируется.

Эта идея “зацеплений по модулю узлов” формализуется несколькими разными отношениями эквивалентности на зацеплениях: PL-изотопией (при которой могут вставляться и удаляться локальные узелки на каждой компоненте), зацепляющей гомотопией (при которой компоненты могут самопересекаться, но разные компоненты не пересекаются), топологической изотопией (т.е. гомотопией в классе топологических вложений) и некоторыми другими. Такой взгляд на вещи приводит к математике, заметно отличающейся по духу от обычной теории узлов.

В чём-то она проще: многое удаётся сделать, используя лишь классическую алгебраическую топологию (гомологии, фундаментальную группу, гомотопические группы сфер и т.п.), чего не скажешь об обычной теории узлов. В чём-то наоборот сложнее: ту же роль, которую в классической теории узлов играют “многокомпонентные узлы”, здесь берут на себя зацепления, окрашенные в n цветов (при этом “многокомпонентные узлы” соответствуют случаю n=1), поэтому вместо одной переменной приходится иметь дело с n переменными, и хорошо ещё, если они коммутируют.

В мини-курсе, вторая половина которого проходит в рамках тематической программы, будут разобраны классические и современные конструкции и результаты.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 19 часов)
▪️Подробная программа
▪️Литература

Программа
1. Коэффициент зацепления и тройной мю-инвариант как инварианты, сводящиеся к индексу пересечения
2. Поверхности Зайферта, инварианты Сато — Левина и Кохрана
3. Полином Конвея и его связь с инвариантами Кохрана
4. Инварианты конечного порядка и топологическая изотопия
5. Гомологии Стинрода и гомологическая поверхность Зайферта
6. Не всякое зацепление изотопно гладкому
7. Классификация 2-компонентных зацеплений относительно дельта-гомотопии
8. Брунновы сингулярные зацепления в 4-сфере и дельта-гомотопия 3-компонентных зацеплений
Первая половина курса (1-3) логически независима от второй (4-8).

Пререквизиты
Рекомендуется знакомство с основами классической теории узлов.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

📣 Мероприятия этой недели

▪️Теория кос (8.04)
▪️Семинар "Геометрия и комбинаторика" (9.04)
▪️Характеристические классы векторных расслоений (9.04)
▪️Теория узлов (12.04)
▪️Кружок по геометрии и топологии (13.04)
▪️Студенческий семинар по маломерной топологии (13.04)

▪️Разложение Коджимы одного класса гиперболических 3-многообразий с вполне геодезическим краем (08.04)
▪️Гладкие структуры на замкнутых четырехмерных многообразиях, часть 1 (08.04)
▪️Проблема Кервера в стабильной гомотопической теории, часть 5 (08.04)
▪️Ещё одна бильярдная задача (08.04)
▪️Полиэдральные произведения, граф-произведения и p-центральные ряды (09.04)

На открытке: проективное пополнение параболы y-x^2 и кубики y-x^3

В субботу (13 апреля) в 16:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Теории когомологий и бесконечнократные пространства петель»
Вася Ионин

С каждым пространством X можно связать теорию когомологий Hom(-, X). Мы покажем, что так получаются все теории когомологий на гладких многообразиях, которые (а) гомотопически инвариантны; (б) удовлетворяют аксиоме склейки. Также мы покажем, что если пространство X является бесконечнократным пространством петель, то эта теория когомологий автоматически оснащается некоторой дополнительной структурой (конечными этальными трансферами), что приведёт к ещё одному решению задачи распознавания бесконечнократных пространств петель.

Специальных знаний от слушателей не предполагается, все термины из аннотации будут определены на докладе!

Пререквизиты: базовый курс топологии (понятие гомотопической эквивалентности, петельного пространства и надстройки), представление о сопряжённых функторах.

Конференция

«IV Конференция математических центров России»

6-11 августа 2024
ул. Смольного, 1/3 Г2
YouTube

Этим летом в Санкт-Петербурге пройдет IV конференция матцентров, посвященная 300-летию СПбГУ и РАН. Участие в конференции предполагается очным, к участию приглашаются все представители российской и мировой математической общественности. В рамках конференции планируется проведение ряда пленарных докладов, доступных для понимания широкой математической аудитории, а также доклады в секциях

• Комплексный анализ
• Вещественный и функциональный анализ
• Уравнения с частными производными, математическая физика и спектральная теория
• Дифференциальные уравнения и динамические системы
• Топология
• Геометрия
• Алгебра
• Алгебраическая геометрия
• Математическая логика и теоретическая информатика
• Теория чисел и дискретная математика
• Теория вероятностей
• Прикладная математика и математическое моделирование
• История математики
• Математическое образование и просвещение

Регистрация открыта до 15 июня 2024.

Лемма о диаманте и примарные разложения топологических объектов

В докладе будет изложен ряд результатов о существовании и единственности разложений различных топологических объектов на примарные слагаемые. В число таких объектов входят трехмерные многообразия, классические, глобальные и виртуальные узлы, пространственные графы, трехмерные орбифолды и другие объекты. Все доказательства проводятся по одной и той же универсальной схеме, основанной на новой версии знаменитой леммы о диаманте М. Х. А. Ньюмана 1942 года.

Материалы
▪️Видеозапись (продолжительность: 1 час)

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

📣 Мероприятия этой недели

▪️Семинар "Геометрия и комбинаторика" (16.04)
▪️Характеристические классы векторных расслоений (16.04)

▪️Обобщение трюка Александера (15.04)
▪️Rigidity of locally Hermitian symmetric rank one manifolds of infinite volume (15.04)
▪️Complements of smooth surfaces in simply connected 4-manifolds (18.04)

На открытке: внешнее пространство Каллера — Вогтман

Гибкая сторона симплектической топологии

В любом математическом предмете, и особенно в геометрии и топологии, есть всегда две стороны, развивающиеся навстречу друг другу: жесткая и гибкая. Одна (жесткость) занимается поиском инвариантов и ограничений, а гибкая сторона пытается построить то, что не запрещено. Например, в топологии неравенства Морса (жесткий результат) оценивают снизу минимальное количество невырожденных критических точек гладкой функции на замкнутом многообразии, а теорема Смэйла об h-кобордизме (гибкий результат) позволяет, в случае односвязного многообразия размерности >5, уничтожить все лишние критические точки. В докладе будет рассказано о развитии гибкой стороны симплектической топологии, начиная с работ М.Громова в начале 70-х годов и кончая новыми результатами.

Материалы
▪️Видеозапись (продолжительность: 1.5 часа)
▪️Слайды

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

В субботу (27 апреля) в 16:00 в 120 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Соотношения Дена — Соммервиля»
Сергей Фомин

Формула Эйлера для выпуклых многогранников задаёт ограничение на их комбинаторное устройство. Можно показать, что это — единственное линейное соотношение на количества граней у произвольных трёхмерных выпуклых многогранников. Но для многогранников размерности n>3, гранями которых являются симплексы, имеется целый набор из (n+1) / 2 так называемых соотношений Дена — Соммервиля. Различные доказательства этих соотношений мотивированы идеями из алгебраической топологии, дифференциальной геометрии, алгебраической комбинаторики и прочих комбинаций слов «алгебра», «геометрия», «топология» и «комбинаторика». Доклад посвящён этим доказательствам и связям.

Пререквизиты предполагаются минимальными, но знание понятий «двойственность Пуанкаре» и «аффинное алгебраическое многообразие» улучшит восприятие доклада.

Смешивая поверхности, алгебру и геометрию

Японцы говорят, что у каждого есть 3 лица. Первое лицо мы показываем миру. Второе — близким друзьям и семье. Третье мы не показываем никому. Оно и есть истинное отражение того, кто мы есть.

Доклад посвящен обсуждению трёх лиц псевдоаносовских отображений поверхностей.

Рассказ начинается с геометрии поверхностей, понимаемой с точки зрения простых замкнутых кривых на них. Начиная с этой скромной на первый взгляд темы, мы откроем удивительные и широкие связи между многочисленными областями математики, включая алгебраическую геометрию, теорию Тейхмюллера, пространства модулей, динамику, однородные пространства, симплектическую геометрию и бильярды. Целью рассказа является объяснение некоторых недавних результатов, посвященных теории Нильсена — Тёрстона. Мы проложим мостик от псевдоаносовских отображений к теории чисел, теории 3-многообразий, комплексному анализу и перемешиванию жидкостей.

Материалы
▪️Видеозапись (продолжительность: 1 час) и конспект с временными отметками
▪️Анимации
▪️Игра про скручивания Дена

Программа
1. Сколько существует простых замкнутых кривых длины не более L на данной поверхности с римановой метрикой?
2. Тянутели тянучек и вытягивание ириски: золотое сечение
3. Лицо первое: группы классов отображений
4. Лицо второе: заблуждение Тёрстона и геометризация трёхмерных многообразий
5. Лицо третье: петли в пространствах модулей
6. Охота за малыми коэффициентами растяжения: задача Лемера, пример Пеннера и вопрос Лонга

Литература
▪️D. Margalit. Mixing Surfaces, Algebra, and Geometry. Notices of the American Mathematical Society (2023).

Пререквизиты
Знакомство с топологией и геометрией поверхностей, линейной алгеброй, теорией групп. Наличие представления о трёхмерных многообразиях, фундаментальной группе и накрытиях, геометрии Лобачевского, различных дополнительных структурах на поверхностях (комплексной, гиперболической).

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

В субботу (4 мая) в 16:00 в 120 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Жадная нормальная форма — это нормальная форма Грёбнера—Ширшова»
Виктор Лопаткин

В теории групп кос был удивительный случай, когда один школьный учитель из Шотландии (Гарсайд) предложил очень красивую идею о копредставлении групп кос. Позже эта идея была продолжена в работах Адяна и Тёрстона. В результате было показано, что группа кос является автоматной и, более того, была предъявлена нормальная форма (базис группового кольца), которая называется жадной нормальной формой (greedy normal form). Далее эту идею уже продолжил развивать Дэорнуа с коллегами, и в результате получалась теория Гарсайда, которая распространилась на малые категории, заданные копредставлением.

С другой стороны, в комбинаторной алгебре существует очень мощный и в то же время простой способ получения нормальных форм для переписывающих систем — теория базисов Грёбнера — Ширшова. Вообще говоря, эта техника есть прямое обобщение деления полиномов от одной переменных на случай некоммутативных (и даже лиевых) полиномов от нескольких переменных (а также и на ряды). Так называемая бриллиантовая лемма (the Composition-Diamond lemma) и позволяет, в частности, получать нормальные формы у алгебраических систем, которые заданы образующими и соотношениями (ассоциативность, как оказалось, можно заменить на более слабое свойство, например, на лиевость).

В этом докладе я расскажу, как Леонид Аркадьевич Бокуть легко и просто получил жадную форму как следствие того факта, что с помощью автомата Тёрстона находится базис Грёбнера — Ширшова для группового кольца группы кос. Если останется время, я расскажу о своём результате, который есть обобщение подхода Бокутя, и также то, что мы можем получить теорию Гарсайда, развитую Дэорнуа и коллегами, как простое следствие из теории базисов Грёбнера — Ширшова.

Проективные плоскости с разных сторон

Курс будет состоять из четырех сюжетов, объединенных общим объектом исследования, в качестве которого выступят проективные плоскости, но довольно разных по подходам и методам.

Первый сюжет будет касаться абстрактной теории проективных плоскостей. Обычная проективная плоскость, получаемая добавлением бесконечно удаленных точек к привычной нам евклидовой плоскости, обладает следующими двумя свойствами:
(1) любые две различные точки лежат на единственной прямой;
(2) любые две различные прямые пересекаются в единственной точке.
Можно взять эти два свойства в качестве определения и называть проективной плоскостью любое множество (элементы которого называются точками) с набором выделенных подмножеств (называемых прямыми), если выполнены условия (1) и (2). (Обычно еще добавляют условие, что найдутся четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой.) Важнейшим классом проективных плоскостей являются проективные плоскости KP^2 над полем или телом K. Мы увидим, что на таких плоскостях всегда имеет место теорема Дезарга, а коммутативность K отвечает выполнению теоремы Паппа. Кроме того, мы обсудим примеры недезарговых конечных проективных плоскостей. Эта тематика тесно связана с теорией конечных полей.

Второй сюжет относится к топологии проективных плоскостей RP^2, CP^2 и HP^2 над полями вещественных R и комплексных C чисел и телом кватернионов H. На этих трех примерах мы обсудим основные понятия теории Морса, а также поговорим об инварианте Хопфа непрерывных отображений сфер S^{4n-1} → S^{2n} и о знаменитой теореме Адамса об отображениях с инвариантом Хопфа, равным одному. Также мы построим замечательные вложения RP^2 → S^4, CP^2 → S^7 и HP^2 → S^13 и обсудим их свойства. (А есть еще вложение OP^2 → S^25, где O — алгебра октав!)

В третьем сюжете мы перейдем от топологии к геометрии: научимся вводить на проективных плоскостях RP^2, CP^2 и HP^2 метрики, называемые метриками Фубини — Штуди, изучим их группы изометрий и докажем, что они имеют положительную секционную кривизну. Неформально говоря, это означает, что выпущенные из одной точки геодезические на них расходятся медленнее, чем на евклидовой плоскости. Свойство положительной секционной кривизны замечательно тем, что оно крайне редкое: примеров многообразий, на которых люди умеют вводить такие метрики, очень мало.
Если хватит времени, я постараюсь рассказать еще о трех примерах таких многообразий — многообразиях Уоллаха W^6, W^12 и W^24, тесно связанных с упоминавшимися выше вложениями проективных плоскостей в сферы.

Наконец, последний сюжет будет посвящен неассоциативной алгебре октав O и конструкции соответствующей проективной плоскости OP^2. Мы увидим, что эта проективная плокость недезаргова, что связывает этот сюжет с первым.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 5 часов)

Литература
▪️Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? М.: МЦНМО, 2001.

Пререквизиты
Я буду рассчитывать на знакомство слушателей с началами линейной алгебры (операторы, матрицы, собственные векторы), комплексными числами и основными свойствами полей. Знакомство с теорией конечных полей, топологией и дифференциальной геометрией предполагаться не будет.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Ежегодная программа ММИ им. Леонарда Эйлера

«Летний Математический Лекторий»

1 июня — 31 августа
14 линия В.О., 29, Санкт-Петербург

Летний Математический Лекторий — это открытая площадка, позволяющая каждому математику прочесть свой собственный курс, содержание которого остаётся на усмотрение автора. Курс должен удовлетворять единственному требованию — способствовать развитию и совершенствованию самого лектора. К участию в качестве лекторов приглашаются все желающие, начиная от студентов первого курса. Курсы от опытных математиков и профессиональных лекторов, безусловно, также приветствуются!

Список анонсированных мероприятий и регистрация участников доступны на сайте Лектория

Вся информационная поддержка Лектория (объявления, материалы курсов и математические обсуждения) организуется на базе Telegram-форума

Большая часть мероприятий будет проходить очно, но отдельные занятия могут состояться онлайн. Все курсы будут транслироваться и записываться, а записи будут публиковаться на YouTube-канале Лектория

Проективная двойственность

Если назвать точки на плоскости «прямыми», прямые на плоскости «точками», а «прямой», проходящей через две «точки», назвать точку пересечения соответствующих прямых, то (при правильном понимании) полученная «плоскость» будет обладать всеми свойствами обычной плоскости. Этот эффект известен в математике под названием проективной двойственности.

Проективная двойственность небезынтересна уже при работе исключительно с точками и прямыми на плоскости и вдвойне интересна при работе с «искривленными» геометрическими фигурами: кривыми, поверхностями и многообразиями более высокой размерности.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 5 часов)

Программа
1. Напоминание о проективных пространствах. Двойственность между точками и прямыми (или между точками и гиперплоскостями).
2. Двойственность для плоских кривых. Степень двойственной кривой: как ее искать, какие неожиданности при этом возникают и как с ними бороться.
3. Контактные структуры, лежандровы подмногообразия и двойственность в произвольной размерности.
4. Флаги Френе и оскулирующая двойственность для неплоских кривых.
5. Развертывающиеся многообразия.

Пререквизиты
Для понимания достаточно уметь дифференцировать функции одного переменного (ближе к концу и нескольких) и не бояться умножения матриц.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

В субботу (11 мая) в 16:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Триангуляции, гладкие структуры и трюк Кирби для поверхностей»
Андрей Рябичев

Известно, что на топологических многообразиях размерности d<4 существует гладкая структура, причём единственная с точностью до изотопии. Случай d=1 каждый может продумать как упражнение, я же планирую рассказать про менее тривиальный случай d=2. А именно, мы посмотрим на доказательство из известной заметки Хатчера arXiv:1312.3518, разберём все подробности и обсудим возникающие смежные вопросы. Будут функции Морса, будут изотопии и немного комбинаторики. И самое главное, нам предстоит ответить на будоражащий вопрос: почему трюк с тором? разве нельзя проще? Если хватит времени, мы поговорим про более высокие размерности (или не поговорим).

В субботу (18 мая) в 16:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 812-916-426 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Группы Томпсона в алгебре, геометрии и топологии»
Артём Семидетнов

Группы Томпсона были введены Ричардом Томпсоном в 1965 году как потенциальный контрпример к гипотезе фон Неймана об аменабельности. Эти группы имеют множество различных воплощений, а также обобщений, продолжающих существующие конструкции. Доклад посвящен в первую очередь различным представлениям групп Томпсона: их можно задавать как группы автоморфизмов группоидов, удовлетворяющих определенному универсальному соотношению, как подгруппы в группах классов отображений, как фундаментальные группы обобщенных конфигурационных пространств.

Никаких специальных пререквизитов, за исключением базового курса алгебры и топологии, для понимания не требуется