Студенческий семинар по маломерной топологии в цифрах

▪️75 занятий
▪️25 докладчиков
▪️1000 часов просмотренных видео на YouTube канале
▪️60 очных участников
▪️5/10/2020 года — день рождения семинара

По случаю данного юбилея у нас приготовлен для вас подарок: мы впервые публикуем новый авторский видеокурс по теории узлов и расширяем данную публикацию сборником материалов по маломерной топологии, который предоставляет возможность для развития в данной области всем желающим. Мы надеемся, что эти материалы помогут вам провести зимние каникулы приятно и плодотворно.

Геометрическая теория узлов

Мыслитель Вадим Руднев в своей книге "Странные объекты" сообщает, среди прочего, три ключевых тезиса:

— Странный объект в узком смысле это скорее пара объектов, взаимодействующих как части одной Заводной игрушки — вы смотрите на фотографию, но фотография смотрит на вас.

— Странные объекты — фрагментированные объекты, а странные факты — фрагментированные факты.

— Реальность — это ошибка. И если теория не соответствует реальности, «тем хуже для реальности».

Мы не можем утверждать, какой именно посыл пытался донести нам Вадим Руднев своим замечательным текстом, однако сложно не отметить, что маломерная топология в целом и теория узлов в частности слегка похожи на науку о странных объектах.

Наших объектов исследования, конечно, ни в каком разумном смысле не существует, однако единственный продуктивный способ взаимодействия с ними — не только представить, будто бы они есть на самом деле, но и нескончаемо эксплуатировать свои предчувствия об их воображаемой реальности. Процесс этой инициации всегда сопровождается обнаружением неприличного числа очевидных фактов, реальный статус которых совершенно непредсказуем, и такого же числа совершенно неочевидных фактов, для которых непредсказуемым оказывается уже само их наличие.

Это первая часть предполагаемого курса по геометрической теории узлов, в процессе которого мы попробуем посмотреть на то, чего не только быть не может, но и, в общем-то, не должно.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 17 часов)

Программа
1. Обзор на маломерную топологию.
2. Тонкости определений. Теорема Александера о замыкании.
3. Введение в теорию локальных преобразований.
4. Алгоритм Зейферта.
5. Калькулус вложенных поверхностей. Аддитивность рода.
6. Трюк Александера. Мошенничество Мазура — Эйленберга.
7. Пять классов симметрий. Теорема Райдемастера. Комбинаторный коэффициент зацепления.
8. Матрица Зейферта.
9. Дополнение узла. Копредставление Виртингера. Гомологический коэффициент зацепления. Лемма Кайла Миллера.
10. Критерий S-эквивалентности поверхностей Зейферта.
11. Детерминант. Сигнатура. Критерий Эндрю Путмана о представимости гомологического класса простой замкнутой кривой.

Литература
▪️P. Cromwell. Knots and links. Cambridge university press, 2004.
▪️D. Rolfsen. Knots and links. Vol. 346. American Mathematical Soc., 2003.
▪️В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия. Москва: МЦНМО, 1997.
▪️Bar-Natan, Dror, Jason Fulman, Louis H. Kauffman. An elementary proof that all spanning surfaces of a link are tube-equivalent. Journal of Knot Theory and its Ramifications 7 (1998): 873-880.
▪️A. Putman, Realizing homology classes by simple closed curves.

Пререквизиты
Знакомство с началами теории топологических многообразий.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Геометрическая теория групп

Многие впечатляюще красивые математические теории возникают из неожиданных сочетаний известных понятий. К классу таких теорий относится геометрическая теория групп. Находясь на стыке алгебры, геометрии и топологии, она отталкивается от идеи рассмотрения счетной группы как метрического пространства, — пространства с однородной метрикой, что открывает пути из алгебры и комбинаторной теории групп в гиперболическую геометрию, топологию многообразий, теорию графов, теорию динамических систем и т.д. Исследуя геометрию каждой конкретной группы, мы вовлекаем, применяем и тем самым осваиваем «вживую» множество математических дисциплин одновременно, изучая не «слои» математики (алгебру, геометрию, топологию), а — пронизывая эти слои — всю математику одновременно.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 22 часа)
▪️Конспект
▪️Литература

Программа
1. Графы Кэли и карта мира групп
2. Квазиизометрии
3. Гиперболические пространства и группы: примеры и конструкции
4. Лемма Шварца — Милнора
5. Гиперболические границы и пространства концов
6. Орифункции

Пререквизиты
Предполагается владение стандартным курсом высшей алгебры.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

[Гомологии, когомологии и] гармонические цепи

Цель курса — знакомство с теорией (ко)гомологий. Мы начнем с малых размерностей и, упрощая себе жизнь, будем смотреть исключительно на симплициальные и клеточные гомологии, для чего понадобится лишь базовая линейная алгебра. Познакомимся со всеми важными понятиями, до которых только сможем дотянуться: точная последовательность пары, первый класс Штифеля — Уитни, двойственность Пуанкаре, изоморфизм Тома. Затем мы перейдём к гармоническим цепям. С точки зрения курса, популярная тема «дискретный оператор Лапласа на графах» — это рассказ о нулевых цепях, а мы посмотрим на все размерности, где мир богаче, и гармонические цепи доставляют хороший инструмент.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 5 часов)
▪️Упражнения

Программа
1. Симплициальные и клеточные (ко)гомологии в маленьких размерностях. Разнообразные примеры и упражнения.
2. Гармонические цепи, дискретный оператор Лапласа. Основная теорема: в каждом (ко)гомологическом классе есть единственный гармонический представитель.
3. Приложения: прогулки пьяницы, мыльные плёнки, каноническое обращение граничного оператора.

Литература
▪️М. Э. Казарян. Введение в теорию гомологий. Лекц. курсы НОЦ, 3, МИАН, М., 2006, 106 с.

Пререквизиты
Предполагается, что слушатели умеют работать с векторными пространствами, линейными операторами, матрицами, скалярным произведением. Знание дискретного лапласиана для графов не требуется.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Гомологические сферы и алгоритмическая неразрешимость в топологии

Одной из ключевых проблем, определивших развитие топологии и геометрии в 20-м веке, стала знаменитая гипотеза Пуанкаре, утверждающая, что всякое односвязное компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно стандартной трехмерной сфере. О трехмерном многообразии можно думать как об объекте, который локально (в окрестности каждой точки) устроен как наше обычное трехмерное пространство. Ключевым в формулировке гипотезы является слово «односвязное», означающее, что в рассматриваемом многообразии всякая замкнутая кривая (петля) может быть непрерывно стянута в точку или, что эквивалентно, заклеена топологическим диском.

Гипотеза Пуанкаре была доказана в серии замечательных работ Г. Я. Перельмана 2002—2003 годов. Однако содержание курса будет связано не с доказательством этой гипотезы, а с ее возникновением. Изначально (в 1900 году) Анри Пуанкаре сформулировал свою гипотезу неправильно. Вместо условия односвязности он потребовал выполнения лишь более слабого условия, а именно, того, что каждая замкнутая кривая в многообразии должна заклеиваться ориентированной двумерной поверхностью (не обязательно диском!). В 1904 году Пуанкаре сам нашел контрпример к изначальной версии своей гипотезы и уточнил ее формулировку. Этот контрпример — трехмерное многообразие, называемое с тех пор гомологической сферой Пуанкаре, — будет главным объектом первой половины курса. Я расскажу о различных конструкциях сферы Пуанкаре, связанных с группой симметрии правильного икосаэдра, кватернионами, перестройками вдоль узлов и зацеплений, диаграммой Дынкина E8.

Вторая половина курса будет посвящена 4- и 5-мерным гомологическим сферам и их связям с теорией групп и теоремами об алгоритмической неразрешимости в топологии. Я расскажу о:
▪️принадлежащей М. Керверу характеризации фундаментальных групп 5-мерных гомологических сфер,
▪️теореме А. А. Маркова (младшего) об алгоритмической неразрешимости проблемы гомеоморфности для четырехмерных многообразий,
▪️теореме С. П. Новикова об алгоритмической нераспознаваемости пятимерной сферы,
а также об их более современных следствиях и открытых проблемах в этой области.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 5 часов)

Программа

1. Необходимые сведения: фундаментальная группа и первая группа гомологий, задание групп образующими и соотношениями, вычисления для клеточных пространств
2. Дефект фундаментальных групп замкнутых 3-многообразий неотрицателен, а для гомологических сфер — нулевой
3. Задание группы A_5 вращений додекаэдра образующими и соотношениями
4. Любое центральное расширение совершенной группы нулевого дефекта тривиально
5. Центральное расширение C_2 —> S^3 —> SO(3) как двулистное накрытие, сфера Пуанкаре как фактор трёхмерной сферы по действию бинарной группы икосаэдра, 120-ячеечник
6. Генерация гомологических сфер:
▪️перестройки по узлам (хирургии Дена), сфера Пуанкаре как [-1]-перестройка по трилистнику и как [-2]-перестройка по зацеплению E_8
▪️сферы Брискорна: пересечения единичной 5-мерной сферы с комплексными гиперповерхностями x^p + y^q + z^r = 0 в C^3
7. Группы гомологических кобордизмов, гомологические сферы в старших размерностях
8. Вторая группа гомологий и формула Хопфа, суперсовершенность
9. Алгоритмическая нераспознаваемость n-сфер при n>=5 и связной суммы 16#(S^2xS^2)
10. Реализация конечно-определённых групп фундаментальными группами 4-многообразий

Пререквизиты
Уверенное знакомство с основами теории групп (смежные классы, нормальные подгруппы, теорема о гомоморфизме, классы сопряженности, группы перестановок). Знакомство с теорией гомологий НЕ предполагается. Полезно (но не обязательно) знакомство с понятием фундаментальной группы и (на интуитивном уровне) с понятием многообразия.

Литература
▪️Н. Савельев. Лекции по топологии трехмерных многообразий: введение в инвариант Кассона. Перевод с англ. И. Дынникова. М.: МЦНМО, 2004.
▪️O. Şavk. A survey of the homology cobordism group. Bulletin of the American Math. Society. 2023.

Соседи
▪️(2,3,5) = (5,2,3)

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Разбиения многообразий на ручки: в сторону теоремы об h-кобордизме

Многообразия — без сомнения, ключевое понятие в современной математике, появляющееся буквально во всех её областях, от алгебры и теории чисел до топологии и математической физики. Про многообразия можно думать как про геометрический объект, склеенный из (возможно, изогнутых) кусков евклидова пространства. Одномерные многообразия — окружность и прямая; двумерные — сфера, тор, проективная плоскость... Начиная с размерности 3 их представить себе уже довольно сложно, но всё же можно пытаться описать и классифицировать.
Существует много приёмов работы с многообразиями, приходящих как из дифференциальной геометрии, так и из алгебраической топологии. Кобордизмы удивительным образом имеют отношения к обоим этим мирам и устанавливает между ними довольно неожиданные связи. Сам по себе кобордизм между двумя многообразиями M и M′ — плёночка (многообразие на единицу большей размерности), границей которой является объединение M с M′.
Основное внимание в этом курсе будет уделено не кобордизмам вообще, а конкретному результату — теореме об h-кобордизме, — из которого выводится, например, гипотеза Пуанкаре в размерностях 5 и выше. Доказательство теоремы использует ряд мощных и весьма наглядных методов, о которых мы также подробно поговорим.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 5.5 часов)
▪️Упражнения
▪️Обзор категорий многообразий
▪️Литература

Программа
1. Многообразия, функции Морса, индексы критических точек, разбиения на ручки.
2. Гомеоморфизмы, диффеоморфизмы и гомотопические эквивалентности, h-кобордизмы, вывод гипотезы Пуанкаре.
3. Трансверсальность, трюк Уитни, операции над ручками.
4. Комплекс Морса, приведение матриц инцидентности к диагональному виду, окончание доказательства.

Пререквизиты
Для комфортного восприятия курса будет полезно немного быть знакомым с топологией, анализом функций многих переменных и линейной алгеброй. Однако без всех этих предварительных знаний можно обойтись, изложение будет часто неформальным, и пространственного воображения должно быть достаточно.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Дополнительные главы общей топологии

В предисловии к учебнику "Элементарная топология" авторы пишут:

«Мы должны предупредить студентов, для которых это один из самых первых математических предметов. Не спешите влюбиться в него слишком сильно, не дайте случиться импринтингу. Этот предмет может очаровать, но он не такой живой, как многие другие области математики, и не способен дать такого простора для захватывающих новых открытий»

В нашем курсе мы постараемся сформулировать антитезис к данному суждению.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 23 часа)
▪️Обсуждение (MathModern)

Программа
1. Пространства Бэра. Теорема Бэра. Теорема Банаха о категориях.
2. Борелевские подмножества. F_σ и G_δ множества. Точки непрерывности произвольного отображения. Теорема Мазуркевича — Александрова.
3. Совершенные пространства. Критерий совершенности Смирнова. Теорема Кантора — Бендиксона. Плоскость Немыцкого.
4. Аксиомы отделимости. Внутренняя характеризация тихоновских пространств. Критерий совершенной нормальности Веденисова. Критерий нормальности Смирнова в терминах функциональной замкнутости G_δ. Теорема Борсука о продолжении гомотопии для нормальных пространств.
5. Сходимость в топологических пространствах. Сети и фильтры.
6. Секвенциальные пространства. Пространства Фреше. k-пространства. Патологические примеры: пространства Форта и Фортиссимо, пространство Аренса. Критерий, когда секвенциальное пространство является пространством Фреше. Секвенциальные пространства как факторпространства.
7. Фундаментальные покрытия. Фундаментальность открытых и локально конечных замкнутых покрытий. Пучки непрерывных функций.
8. Критерий Гиллмана — Джерисона продолжимости ограниченных функций с подпространства.
9. Произведение пространств. Куб Александрова и тихоновский куб. Теорема Урысона о метризации. Теорема Хьюитта — Марчевского — Пондишери.
10. Компактность. Теорема Куратовского о замкнутости проекции. Компактные пространства как образы канторова куба. Теорема Александера о предбазе и теорема Тихонова. Теорема Уоллеса о структуре открытых в произведении, содержащих произведения компактов.
11. Локально компактные пространства. Теорема Уайтхеда о произведении тождественного и факторного отображений. Связь с k-пространствами.
12. Пространства отображений. Топологии равномерной и поточечной сходимостей. Компактно-открытая топология. Теорема Асколи. Экспоненцируемые объекты в Top.
13. Компактификации и их иерархия: Александрова, Стоуна — Чеха, Воллмана, Фрейденталя.
14. Линделёфовы пространства. Паракомпактность и разбиения единицы. Паракомпактность линделёфовых пространств. Нормальность паракомпактных пространств. Наследственность нормальности и линделёфовости относительно F_σ. Критерий паракомпактности в терминах компактификации Стоуна — Чеха (теорема Тамано).
15. Метризуемые пространства. Совершенная нормальность. Польские пространства. Универсальное пространство Урысона (конструкции Катетова и Урысона). Компактная однородность пространства Урысона. Гомеоморфность пространства Урысона гильбертову пространству.
16. Теорема Стоуна о паракомпактности метризуемых пространств. Критерии Нагаты — Смирнова и Бинга метризуемости. Инвариантность метризуемости относительно открыто-замкнутых отображений (теорема Морита — Ханаи — Стоуна).
17. Экспонента пространства с топологией Виеториса. Метрика Хаусдорфа.
18. Связные пространства. Континуумы. Теорема Серпинского. Топологическая характеризация отрезка.
19. Нульмерные пространства. Индуктивная размерность и размерность Лебега.
20. Бесточечная топология. Локали и трезвые пространства.

Литература
▪️Р. Энгелькинг. Общая топология. М.: Мир, 1986.
▪️L. A. Steen, J. A. Seebach (Jr.). Counterexamples in topology. Springer, NY, 1978.
▪️A. V. Arhangel’skii. Selected old open problems in general topology. Bul. Acad. Stiinte Repub. Mold. Mat., 2013, no. 2-3, 37–46.

Пререквизиты
Уверенное знакомство с основами общей топологии.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

S^1-расслоения [и дифференциальные формы]

S^1-расслоение (или расслоение со слоем окружность) — это формализация понятия непрерывного семейства окружностей. Будучи довольно наглядным и простым объектом, оно служит хорошей моделью для введения в современную теорию препятствий и характеристических классов.

Чтобы показать, что то или иное расслоение нетривиально (то есть не сводится к прямому произведению окружности на пространство параметров), необходимы топологические препятствия. Примером такого препятствия является инвариант Чженя/Черна — Эйлера (класс Эйлера), отвечающий за несуществование глобального сечения.

В курсе:
▪️приводится множество эквивалентных описаний класса Эйлера — от комбинаторных до дифференциально-геометрических и интегральных,
▪️выводится полная классификация S^1-расслоений над поверхностями,
▪️обсуждается, каким образом всё это связано с геометрией бесконечномерного комплексного проективного пространства.

Курсы «Класс Эйлера», «Теорема Милнора—Вуда» и «Действия групп в малой размерности» выгодно дополняют данный. (Однако не предполагается, что слушатели непременно их изучили.)

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 5 часов)

Программа
1. Локально тривиальные расслоения, примеры:
▪️единичные касательные векторы на поверхностях,
▪️расслоение Хопфа,
их визуализация, неэквивалентность и нетривиальность (теорема о причёсывании ежа, фундаментальная группа).
2. Класс Эйлера как сумма индексов особых точек, примеры. Векторные поля и теорема Пуанкаре — Хопфа.
3. Классификация S^1-расслоений над поверхностями.
4. Дифференциальные формы и как ими манипулировать. Комплекс де Рама, интегрирование, примеры.
5. Связность в S^1-расслоении и 2-форма кривизны на его базе. Формула Гаусса — Бонне, класс Эйлера S^1-расслоения над замкнутой ориентируемой поверхностью как интеграл формы кривизны (теорема Черна).
6. Соответствие между классами S^1-расслоений и второй группой когомологий базы.

Литература
▪️М. Э. Казарян. Курс дифференциальной геометрии (2001-2002). М.: МЦНМО, 2002.
▪️Д. Реповш, А. Б. Скопенков. Характеристические классы для начинающих. Матем. просв., сер. 3, 6, МЦНМО, М., 2002, 60–77.
▪️B. Martelli. An Introduction to Geometric Topology. Independently published, 488 pages, 3rd Edition, 2023.

Пререквизиты
Большая часть курса состоит из вполне наглядных картинок, осмысление которых доступно даже школьникам. Однако для комфортного восприятия необходимы толерантность к неопределённости и уверенное знакомство с основами топологии, комплексной плоскостью и функциями нескольких переменных (в лекциях 3 и 4). Слушателям, чувствующим необходимость в более плавном элементарном введении в концепцию расслоения, рекомендуется обратить внимание на курс «Класс Эйлера», выгодно дополняющий данный.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Инварианты плоских кривых

Нарисовать замкнутую кривую на плоскости можно безумным количеством способов, но даже в этом множестве можно навести некоторый порядок. Если ограничиться только гладкими кривыми общего положения и считать эквивалентными те из них, которые переводятся друг в друга непрерывной деформацией плоскости, то останется лишь счетное число разных кривых. Их удобно различать при помощи инвариантов, то есть численных характеристик, заведомо одинаковых у эквивалентных кривых. Кроме того, сравнивая такие числа для разных кривых, можно понять, насколько они «топологически далеки» друг от друга, то есть сколько перестроек надо сделать, чтобы превратить одну кривую в другую. Простейшими инвариантами являются число точек самопересечения и число вращения касательной к кривой, рассмотренные Уитни в работе 1937 года. Я расскажу про эти и про более сложные инварианты (в частности, про введенные В.  И.  Арнольдом в 1994 году), позволяющие эффективно различать сложные кривые, про их связи между собой и с другими областями математики.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 5.5 часов)

Программа
1. Пространство плоских регулярных кривых гомотопически эквивалентно набору окружностей
2. Теорема Смейла — Хирша
3. Анализ особенностей, возникающих при гомотопии регулярных кривых
4. Инварианты Арнольда и тавтологическая нормализация дискриминанта
5. Орнаменты, индекс Кронекера и его обобщения, дудлы (каракули, кривые без 3-кратных точек)
6. Теория узлов, гомотопическая теория зацеплений, узлы без уплощений
7. Инварианты высших порядков, формула включения-исключения и эйлерова характеристика

Литература
▪️В. А. Васильев. Топология дополнений к дискриминантам. М.: Фазис, 1997.
▪️S. Chmutov, S. Duzhin. Explicit formulas for Arnold’s generic curve invariants. In: V. I. Arnold, I. M. Gelfand, V. S. Retakh, M. Smirnov (eds) The Arnold-Gelfand Mathematical Seminars. Birkhäuser Boston, 1997.
▪️А. Б. Мерков. Инварианты Васильева классифицируют плоские кривые и наборы кривых без тройных пересечений. Матем. сб., 194:9 (2003), 31–62.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

[Группы классов отображений и] пространства Тейхмюллера

В центре внимания курса — поверхность рода g (=сфера с g ручками). С ней связана замечательная тройка, которую мы собираемся изучать, сделав акцент на первых двух объектах:

▪️Группа классов отображений (=модулярная группа),
▪️Пространство Тейхмюллера,
▪️Пространство модулей алгебраических кривых.

В простых словах, о чем этот курс? Если у (обычного плоского) квадрата склеить противолежащие стороны, то получится тор с плоской метрикой, то есть каждый достаточно малый участок тора будет устроен как кусочек евклидовой плоскости. Если квадрат заменить на прямоугольник или параллелограмм, аналогичная склейка тоже даст тор с плоской метрикой, но про него разумно сказать — это другой тор, не изометричный первому. Здесь история о поверхностях с плоской метрикой заканчивается, так как никакую другую поверхность (с плоской метрикой) кроме этих торов из куска евклидовой плоскости склеить нельзя. Поэтому мы евклидову плоскость заменим на плоскость Лобачевского (с ней больше свободы!) и определим пространство Тейхмюллера как пространство, элементы которого суть все возможные способы склеить поверхность рода g из гиперболической развертки, то есть, из некоторого куска гиперболической плоскости.

Курс «Группы классов отображений и их подгруппы» выгодно дополняет данный. (Однако не предполагается, что слушатели непременно его изучили.)

Материалы
▪️ Видеозаписи (продолжительность: 5 часов)

Программа
1. Необходимые сведения из геометрии Лобачевского «для пользователей». Плоскость Лобачевского как универсальное накрытие поверхности.
2. Диффеоморфизмы поверхности, модулярная группа. Ее образующие — скручивания Дена: режем, скручиваем, клеим.
3. Склейки гиперболических многоугольников. Пространство Тейхмюллера. Разрезание поверхности на штаны. Штаны дадут нам координаты Фенхеля — Нильсена на пространстве Тейхмюллера.
4. Пространство Тейхмюллера поверхности с проколами. В присутствии гиперболической метрики проколы превращаются в рога, уходящие на бесконечность, и значит, дают штаны бесконечной длины. Декорированное пространство Тейхмюллера. Лямбда-длины Пеннера.

Литература
▪️M. Clay, D. Margalit, eds. Office Hours with a Geometric Group Theorist. Princeton, NJ Oxford: Princeton University Press, 2017.
▪️B. Farb, D. Margalit. A Primer on Mapping Class Groups. Princeton Mathematical Series. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2012.

Пререквизиты
Необходимо знакомство с понятием «группа», «действие группы», «комплексные числа». Приветствуется знакомство с плоскостью Лобачевского и с понятием универсального накрытия.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Геометрическая классификация гомеотопий поверхностей

Курс посвящен изложению схемы доказательства теоремы Нильсена — Тёрстона о том, что любой автогомеоморфизм компактной поверхности изотопен автогомеоморфизму одного из трёх следующих типов:

▪️Периодический, то есть имеет конечный порядок в группе классов отображений.
▪️Приводимый, то есть сохраняет некоторый набор непересекающихся простых замкнутых кривых (сводящий изучение такого гомеоморфизма к изучению его неприводимых составляющих).
▪️Псевдо-аносовский, то есть сохраняет некоторое измеримое слоение (прямоугольную сетку на поверхности), растягивает его в одном направлении и сжимает в другом.

В курсе также объясняется значимость данного результата в следующих контекстах:
▪️Теорема о геометризации трёхмерных многообразий (пять геометрий Тёрстона).
▪️Пространство Тейхмюллера и пространство модулей комплексных структур на поверхности.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 4 часа)

Программа
1. Определения, необходимые для формулировки трихотомии Нильсена — Тёрстона
2. Эквивалентное определение псевдо-аносовости в терминах железнодорожных путей
3. Теорема Перрона — Фробениуса о наибольшем собственном числе вещественной квадратной матрицы с неотрицательными компонентами
4. Алгоритм Бествины — Хэндела

Литература
▪️B. Farb, D. Margalit. A Primer on Mapping Class Groups. Princeton Mathematical Series. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2012.
▪️M. Bestvina, M. Handel. Train-traks for surface homeomorphisms. Topology 34 (1995), 109-140.
▪️M. Bestvina, M. Handel. Train tracks and automorphisms of free groups. Annals of Mathematics, 135, 1, 1992, 1–51.

Пререквизиты
Уверенное знакомство с основами теории многообразий и толерантность к неопределённости.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Теорема Гусарова

В 2023 году исполнилось 65 лет со дня рождения М. Н. Гусарова (1958–1999), замечательного петербургского математика, одного из первооткрывателей теории инвариантов конечного типа. Инварианты узлов конечного типа, введенные М. Гусаровым в Петербурге и В. Васильевым в Москве практически одновременно (около 1990 года), оказали революционное воздействие на теорию узлов, а вскоре и на другие разделы математики, например, на топологию 3-мерных многообразий. Вскоре после этого О. Виро и М. Поляк изобрели конструктивный способ записывать инварианты конечного типа в виде явных формул при помощи гауссовых диаграмм, которые строятся по плоской проекции узла. Михаил Гусаров доказал изящную и нетривиальную теорему о том, что любой инвариант конечного типа может быть записан при помощи формулы такого вида.
В докладе дано введение в теорию инвариантов конечного порядка, сформулирована теорема Гусарова и приведена схема ее доказательства. Изложение сопровождается конкретными примерами.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 2 часа)

Литература
▪️С.В.Дужин. Инварианты Васильева — Гусарова. В сборнике: Математика XX века. Взгляд из Петербурга. Под редакцией А.М.Вершика. М.: МЦНМО, 2010, стр. 87—116.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Погружения диска в плоскость

Представим себе эластичный диск, свободно парящий в пространстве. Он может принимать различные формы. Теперь спроецируем этот диск на горизонтальную плоскость. Какую форму мы видим? Возможно практически всё. Проекция границы этого диска — это проекция окружности в пространстве, и это может быть любая замкнутая кривая.
Теперь предположим, что наш плавающий диск никогда не бывает вертикальным, и посмотрим на его проекцию на горизонтальную плоскость. Можем ли мы получить столько же форм, сколько и раньше? Нет. Например, проекция границы не может быть восьмеркой.
Какие кривые на плоскости можно получить, проецируя границу такого никогда не вертикального диска? Ответом на этот вопрос является теорема Самуэля Бланка. Объяснение и доказательство этой теоремы — главная цель данного курса. Это также повод познакомиться и поиграть с (одним из) самых фундаментальных объектов современной геометрии и топологии: фундаментальной группой пространства.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 3.5 часа)

Программа
1. Определение вложений и погружений, анализ задачи, препятствия (индекс точки относительно кривой и число вращения).
2. Изложение теоремы С. Бланка.
3. Отображения поверхностей и коммутаторные тождества.
4. (если позволит время) Введение в инварианты Арнольда плоских кривых.

Пререквизиты
Никаких особых пререквизитов нет, разве что немного понимать английский.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Сферы размерностей 1, 2, ..., 7

С многомерными компактными многообразиями связано много известных результатов и открытых проблем. Простейшие компактные многообразия — это сферы, и с них можно начать путешествие по многомерным мирам. В курсе будет рассказано (в основном на уровне формулировок со ссылками) о сферах разных размерностей.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 2.5 часа)
▪️Конспект

Программа
1. Окружность S^1 как группа; теорема Жордана — Шёнфлиса.
2. Двумерная сфера S^2 как риманово многообразие постоянной положительной кривизны и как проективная прямая P_1(C); рогатая сфера Александера.
3. Трёхмерная сфера S^3 как группа; линзовые пространства; изначальная формулировка гипотезы Пуанкаре и его трёхмерная гомологическая сфера.
4. Четырёхмерная сфера S^4 как проективная «прямая» P_1(H); немного о твисторах.
5. Пятимерная сфера S^5 и суперсимметричный Янг — Миллс.
6. Шестимерная сфера S^6 и почти комплексная структура на ней. Вопрос о существовании комплексной структуры.
7. Семимерная сфера S^7 и экзотические гладкие структуры на ней (Милнор).

Пререквизиты
Для понимания основной части лекций достаточно хорошей топологический интуиции; для некоторых частей потребуется владение определениями из «взрослой» математики, которые по возможности будут объяснены.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Действия групп в малой размерности

Можно ли описать все действия заданной группы на заданном многообразии? В такой общности данный вопрос слишком амбициозен, но некоторые его частные случаи вполне решаемы. В курсе мы сосредоточимся на случае, при котором в качестве многообразия выступает окружность, а в качестве группы — фундаментальная группа замкнутой поверхности. Оказывается, даже этот очень специальный случай приводит к удивительно богатой теории, имеющей глубокие связи с задачами, центральными в топологии, геометрии и динамике.

В первой части курса мы мотивируем изучение пространств групповых действий и фокусировку на фундаментальных группах замкнутых поверхностей. Во второй части мы прорекламируем подход к изучению пространств групповых действий с использованием чисел вращения как координат и обсудим концепции жесткости и гибкости таких действий в нескольких различных формах.

Курсы «Класс Эйлера», «S^1-расслоения» и «Теорема Милнора—Вуда» выгодно дополняют данный. (Однако не предполагается, что слушатели непременно их изучили.)

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 5 часов)

Программа
1. Слоёные/плоские S^1-расслоения, класс Эйлера, число вращения, неравенство Милнора — Вуда: характеризация S^1-расслоений над двумерной базой, допускающих слоение/плоскую связность.
2. Голономия как соответствие между множеством классов эквивалентности слоёных расслоений и многообразием характеров. Результаты Голдмана, связанные с группой PSL(2,R), как путеводная звезда.
3. Классификация представлений с точностью до полусопряженности. След и число вращения как координаты на многообразиях характеров.
4. От жесткости Мостова к жесткости групповых действий. Геометрические действия на окружности и их классификация, геометричность жестких действий.

Литература
▪️E. Ghys. Groups acting on the circle. L’Enseignement Mathematique, 47 (2001), 329-407.
▪️K. Mann. Rigidity and flexibility of group actions on the circle. 2015.
▪️K. Mann, W. Maxime. A characterization of Fuchsian actions by topological rigidity. Pacific Journal of Mathematics 302, no. 1 (2019): 181-200.

Пререквизиты
Уверенное знакомство с действиями групп на многообразиях и локально тривиальными расслоениями.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

​​Узлы и косы

Теория узлов и кос является центральной, ключевой составляющей топологии малых размерностей. Эта теория имеет богатейшую историю и проникает во множество областей математики, в физику, химию, биологию. В теории узлов и кос с потрясающей частотой происходят революции, открытия новых подходов, связей и точек зрения, во многом переворачивающих установившиеся до этого представления. При этом, как это ни удивительно, начать занятия этой теорией и совершить там серьезное открытие (и даже — очередную революцию) до сих пор можно практически без подготовки — не тратя времени на освоение уже накопленного объема знаний. Посвятить хотя бы несколько дней своего творчества теории узлов и кос должен каждый математик — просто для того, чтобы проверить, не совершит ли какая-то простая идея, представляющаяся ему самому элементарной и естественной, очередной переворот в этой теории (а может быть, и в нескольких смежных с ней).

Курс январской научной школы по математике и программированию для старшеклассников.

▪️Конспект, задачи, загадки, проекты, литература, картинки и анимации

1. Группы кос, теорема Артина, задача распознавания кос
2. Нормальные формы: Деорнуа, причёсанная, жадная
3. Танцы точек и криволинейные диаграммы
4. От представления Бурау к координатам Дынникова
5. Узлы и зацепления, теорема Александера — Маркова о связи с косами, теорема Райдемастера
6. Элементы двумерной топологии: поверхности Зейферта и коэффициент зацепления
7. Полином Джонса
8. Элементы трёхмерной топологии: трёхмерная сфера и дополнение узла

Авторы: @ilya_s_alekseev @Odisub @daksenova

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Танглы Конвея и модулярная группа

Рациональные танглы Конвея — это переплетения двух канатов, которые 4 человека с двумя канатами могут станцевать из «начальной позиции» с помощью движений «твист» и «поворот».
По каждому танглу можно определить рациональное число — инвариант тангла относительно естественного отношения эквивалентности (два тангла эквивалентны, если один можно получить из другого, двигая канаты, но не меняя положения их концов). У твистов и поворотов есть и другие инкарнации — можно определить их действие на полуокружностях диаграммы Фарея и на параллелограммах с вершинами в узлах клетчатой бумаги. Всё это примеры действия модулярной группы. В курсе планируется подробно разобрать все приведённые выше примеры, изучить их взаимосвязи и попутно познакомиться с важными математическими объектами, такими как модулярная группа.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 5 часов)
▪️Литература

Программа
1. Как станцевать тангл Конвея и построить его полный инвариант. Узлы, танглы и зацепления: зачем Конвей придумал танглы.
2. Диаграмма и дроби Фарея. Комплексная плоскость и её дробно-линейные преобразования. Связь диаграммы Фарея с разложением рационального числа в цепную дробь.
3. Параллелограммы на клетчатой бумаге. Линейные отображения плоскости и преобразования решётки. Модулярная группа.
4. Как склеить тор из плоскости с решёткой. Связь между параллелограммами и танглами: естественная конструкция инвариантов танглов.

Пререквизиты
Курс ориентирован на школьников и не предполагает никаких знаний, выходящих за рамки стандартной школьной программы

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Слоения, железные дороги Тёрстона и гиперболическая геометрия на поверхностях

Ориентируемые поверхности (то есть, сферы с несколькими ручками), несмотря на кажущуюся простоту, таят много содержательных возможностей:
▪️Поверхность можно склеить, вырезав подходящую развертку из плоскости Лобачевского. Отсюда один шаг до пространств Тейхмюллера.
▪️На поверхности можно рисовать непересекающиеся кривые, и даже заполнить ими (почти всю) поверхность. Отсюда один шаг до измеримых слоений.
▪️Наконец, как придумал У. Тёрстон, на поверхности можно проложить сеть железных дорог, чтобы удобнее было работать со слоениями, стянув их на железные дороги.
Мы обсудим взаимную связь этих понятий и явлений.

Курс «Пространства Тейхмюллера» выгодно дополняет данный. (Однако не предполагается, что слушатели непременно его изучили.)

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 5 часов)

Программа
1. Кривые на поверхности. Симплициальный комплекс кривых.
2. Диффеоморфизмы поверхности, скручивания Дена (разрезать-скрутить-склеить), модулярная группа.
3. Штаны (это основной инструмент курса). Разрезание на штаны, гиперболические штаны, сшивание поверхности из штанов. Пространство Тейхмюллера.
4. Измеримые слоения. Железные дороги (опять работают штаны). Родственная связь железных дорог и пространств Тейхмюллера. Карты в пространстве измеримых слоений. Действие модулярной группы.

Пререквизиты
Желательно (хотя бы поверхностное) знакомство с плоскостью Лобачевского, теорией групп (факторгруппа, действие группы), многомерными векторными пространствами.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Рохлинская двойка

23 августа 2019 года исполнилось 100 лет со дня рождения выдающегося математика Владимира Абрамовича Рохлина. Одной из вершин его творчества является теорема, утверждающая, что сигнатура любого гладкого замкнутого ориентированного четырёхмерного многообразия с чётной формой пересечений делится на 16. Все изучавшие линейную алгебру должны знать, что над полем вещественных чисел любая симметрическая билинейная форма линейной заменой координат приводится к виду

f(x,y) = x_1y_1 + ⋯ + x_py_p − x_{p+1}y_{p+1} − ⋯ − x_{p+q}y_{p+q}.

Числа p и q называются положительным и отрицательным индексами инерции, а их разность — сигнатурой формы f. Таким образом, классификация вещественных симметрических билинейных форм очень проста. Однако, если рассматривать формы не над полем вещественных чисел, а над кольцом целых чисел, то получается гораздо более сложная и красивая теория, ещё очень далёкая от своего завершения.

Симметрическая билинейная форма называется унимодулярной, если определитель её матрицы равен ±1, и чётной, если на диагонали её матрицы стоят чётные числа. Бывают ли чётные унимодулярные формы? Да, например, f(x,y) = x_1 y_2 + x_2 y_1. А бывают ли чётные унимодулярные формы с ненулевой сигнатурой? Тоже да. Попробуйте построить такую форму, но не переживайте, если не получится: это сложная задача и простейший пример имеет размерность 8. Более того, оказывается, что сигнатура любой чётной унимодулярной формы делится на 8. Этот красивый алгебраический факт будет доказан в первой половине курса.

Вторая половина курса будет посвящена упомянутому выше замечательному результату В.Рохлина. Каждому ориентированному гладкому замкнутому четырёхмерному многообразию можно естественным образом сопоставить унимодулярную симметрическую билинейную форму, называемую его формой пересечений. Теорема Рохлина утверждает, что если эта форма чётна, то её сигнатура делится не только на 8, но и на 16. Это отличие в 2 раза, открытое В.А. Рохлиным, сыграло огромную роль в развитии топологии во второй половине 20-го века и известно в настоящее время под жаргонным названием «рохлинская двойка». Я не уверен, что я успею рассказать полное доказательство теоремы Рохлина, но я постараюсь проиллюстрировать основные идеи, лежащие в основе её доказательства, и объяснить, почему эта теорема так важна.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 5 часов)

Пререквизиты
Курс рассчитан на студентов. Для понимания первой (алгебраической) части курса достаточно хорошего знания основ линейной алгебры (матрицы, определители, билинейные формы). Для второй части курса необходимо также знание теоремы о неявной функции и хотя бы интуитивное понимание того, что такое гладкое многообразие. Знакомство с определением групп гомологий не предполагается.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Феномен мягкости в дифференциальной топологии

В середине прошлого века С. Смейл обнаружил, что сферу в трёхмерном пространстве можно непрерывно вывернуть наизнанку. В процессе выворачивания могут появляться самопересечения, но запрещены изломы (т.е. каждый достаточно маленький кусочек сферы должен быть гладким в любой момент времени). Примерно в то же время Дж. Нэш доказал теорему об изометрическом вложении. Она позволяет, например, вложить в трёхмерное пространство тор, склеенный из прямоугольника, так что в итоге поверхность прямоугольника не будет растянута или сжата, а лишь гладко изогнута. В дальнейшем М. Громов заметил, что оба применённых здесь метода обобщаются на довольно широкий класс геометрических задач, которым присуща некая «гибкость». Разработанная Громовым техника получила название h-принцип и была впоследствии широко популяризирована. В этом курсе мы попробуем увидеть и почувствовать, как работает h-принцип, на нескольких простых примерах. В процессе мы также освоим ряд концептуальных приёмов и инструментов, часто применяющихся во многих других топологических задачах.

Материалы
▪️Видеозаписи (продолжительность: 3.75 часа)
▪️Упражнения
▪️Литература

Программа
1. Регулярные гомотопии гладких кривых на плоскости (разминка),
2. Векторные расслоения, послойные морфизмы (техническая подготовка),
3. Теорема Смейла — Хирша, выворачивание сферы (и другие примеры),
4. Мягкость отображений с заданными особенностями.

Пререквизиты
Для комфортного понимания курса от слушателей потребуется владение азами теории множеств (отображения, декартово произведение) и анализа (эпсилон-дельта формализм, интуитивное понимание непрерывности и геометрического смысла производной), а также хорошее пространственное воображение.

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка