Первое занятие пройдёт в понедельник, 5 октября, с 17:10 по 18:40, в 301 аудитории (14 линия В.О., дом 29Б, 3 этаж) и в Zoom канале ID 993-690-805 (пароль стандартный).

Будут обсуждаться исследовательские задачи, предложенные участниками семинара.

https://youtu.be/1-jbAp7c2Uk

Второе занятие пройдёт в субботу, 10 октября, с 15:25 по 16:55, в 301 аудитории (14 линия В.О., дом 29Б, 3 этаж) и в Zoom канале ID 993-690-805 (пароль стандартный).

Алексей Миллер
Графы преобразований узлов
Будут описаны основы теории Гордиевых графов преобразований узлов. Особое внимание будет уделено локальным преобразованиям. В качестве демонстрации будет показано, как инвариантность количества правильных раскрасок диаграмм в три цвета применима для доказательства несвязности тех или иных Гордиевых графов.

Александр Захаров
Геометрическая теория узлов и интегральные инварианты
Будет описана связь между теорией узлов и интегральной геометрией. Отправной точкой рассказа является Теорема Фари-Милнора. Будет рассмотрено несколько инвариантов узлов, определяемых в терминах интегрирования разных величин по кривым-представителям данного узла. Один из таких инвариантов («число мостов») был введён Милнором под названием «crookedness»‎. Другой пример известен под именем «‎индекс косы»‎. Оба инварианта допускают эквивалентные определения в элементарных комбинаторных терминах. В докладе будет описана серия новых инвариантов, обобщающих первый и второй. Одной из основных задач исследования является доказательство или опровержение аддитивности (относительно связного суммирования узлов) инвариантов из этой серии. Аддитивность числа мостов и индекса косы хорошо известна. Ожидается, что с помощью нового взгляда на эти инварианты удастся получить элементарное доказательство аддитивности индекса косы.

https://youtu.be/KoUrOHCQNJU

Третье занятие пройдёт в субботу, 17 октября, с 15:25 по 16:55, в 301 аудитории (14 линия В.О., дом 29Б, 3 этаж) и в Zoom канале ID 993-690-805 (пароль стандартный).

https://youtu.be/9GCOBYvRC28

Четвёртое занятие пройдёт в субботу, 24 октября, с 15:25 по 16:55, в 105 аудитории (14 линия В.О., дом 29Б, 1 этаж) и в Zoom канале ID 993-690-805 (пароль стандартный).

Алексей Миллер
Открытые вопросы в теории графов преобразований узлов
Будут обсуждаться предложения по исследовательским направлениям, связанным с Гордиевыми графами преобразований.

https://youtu.be/i3cDNP0zZKU

Пятое занятие пройдёт в понедельник, 2 ноября, с 17:00 по 19:00, в 105 аудитории (14 линия В.О., дом 29Б, 1 этаж) и в Zoom канале ID 993-690-805 (пароль стандартный).

Будет рассказано о феномене в теории узлов, который заключается в том, что некоторые зрительно распознаваемые свойства диаграмм гарантируют наличие тех или иных топологических и геометрических свойств соответствующих узлов и зацеплений. Особое внимание будет уделено свойству минимальности (по количеству перекрёстков) диаграмм. В частности, мы обсудим (доказанные) гипотезы Тейта об альтернированных узлах, перспективу обобщения соответствующих результатов на однородные узлы и зацепления, а также результаты, представленные в работе https://arxiv.org/abs/2012.04330.

https://youtu.be/vb2eT4RRxg0

Шестое занятие пройдёт в субботу, 7 ноября, с 15:25 по 17:25, в 105 аудитории (14 линия В.О., дом 29Б, 1 этаж) и в Zoom канале ID 993-690-805 (пароль стандартный).

Ильнур Байбулов
Введение в теорию виртуальных узлов
Будет описано соответствие между диаграмматическим представлением виртуальных узлов и классами эквивалентности вложенных в утолщённые поверхности классических узлов.

https://youtu.be/CTjdgs_4d8w

Седьмое занятие пройдёт в понедельник, 16 ноября, с 17:00 по 19:00, в 105 аудитории (14 линия В.О., дом 29Б, 1 этаж) и в Zoom канале ID 993-690-805 (пароль стандартный).

Алексей Кривовичев
Универсальные диаграммы узлов
Будет описан результат, представленный в работе [S. Yamada, The minimal number of Seifert circles equals the braid index of link, Invent. Math. 891 (1987), 347–356]. Кроме того, будут предложены открытые вопросы, связанные с этим результатом.

https://youtu.be/5r2hk80NI8g

Восьмое занятие пройдёт в субботу, 21 ноября, с 15:25 по 17:25, в 105 аудитории (14 линия В.О., дом 29Б, 1 этаж) и в Zoom канале ID 993-690-805 (пароль стандартный).

Руслан Магдиев
Геометрия многообразия NIL
Будет рассказано об одном из восьми односвязных трёхмерных римановых многообразий, входящих в список идеальных геометрий, которые фигурируют в геометризационной гипотезе Тёрстона, доказанной Перельманом. Вышеупомянутое риманово многообразие гомеоморфно трёхмерному евклидовому пространству и наделяется структурой группы Ли, называемой (непрерывной) группой Гейзенберга.

https://youtu.be/uWAMmPCCmgw

Девятое занятие пройдёт в субботу, 28 ноября, с 15:25 по 17:25, в 105 аудитории (14 линия В.О., дом 29Б, 1 этаж) и в Zoom канале ID 993-690-805 (пароль стандартный).

Руслан Магдиев
Геометрия многообразия NIL
Будет продолжен рассказ о геометрии трёхмерного NIL многообразия. В частности, будут обсуждаться физика света и формы геометрических фигур.

https://youtu.be/x_Ukk0l6FLY

Десятое занятие пройдёт в субботу, 5 декабря, с 15:25 по 17:25, в 105 аудитории (14 линия В.О., дом 29Б, 1 этаж) и в Zoom канале ID 993-690-805 (пароль стандартный).

Дарья Аксенова
Автоморфизмы моноидов струнных зацеплений
Будет рассказано о моноидах (крашеных) струнных зацеплений SL_n, которые содержат в качестве подгрупп группы крашеных кос PB_n, и о новых автоморфизмах θ_n моноидов SL_n. Определение автоморфизмов θ_n носит топологический характер. Ограничения θ_n на группы PB_n могут быть заданы на стандартных образующих этих групп явными формулами. В частности, будут обсуждаться исследовательские вопросы, связанные с этими автоморфизмами.

https://youtu.be/Os2fjfGCQMM

Одиннадцатое занятие пройдёт в субботу, 12 декабря, с 15:25 по 17:25, в 105 аудитории (14 линия В.О., дом 29Б, 1 этаж) и в Zoom канале ID 993-690-805 (пароль стандартный).

https://youtu.be/zJUbzIq4vbc

Двенадцатое занятие пройдёт в субботу, 19 декабря, с 15:25 по 17:25, в 105 аудитории (14 линия В.О., дом 29Б, 1 этаж) и в Zoom канале ID 993-690-805 (пароль стандартный).

Илья Алексеев
Косовские монодромии разветвлённых накрытий поверхностей
На занятии будет рассказано о топологии полиномиальных отображений комплексной плоскости. Мы научимся сопоставлять каждому многочлену древовидную картинку на плоскости, которая отражает его топологические свойства. Каждому многочлену степени N мы сопоставим подгруппу в группе кос Артина с N нитями, которая называется его группой косовских монодромий. Её образ в симметрической группе изоморфен группе монодромий — одному из центральных объектов топологической теории Галуа. Будет сформулировано несколько нерешённых задач. Кроме того, будет приведено элементарное доказательство того, что если количество различных критических значений многочлена на единицу меньше его степени, то группа косовских монодромий такого многочлена совпадает со всей группой кос (см. https://arxiv.org/abs/2008.05187 для доказательства этого факта с использованием алгебро-геометрического подхода).

https://youtu.be/uZ9vwVh8BiM

Заключительное в 2020 году занятие пройдёт в субботу, 26 декабря, с 15:25 по 17:25, в 105 аудитории (14 линия В.О., дом 29Б, 1 этаж) и в Zoom канале ID 993-690-805 (пароль стандартный).

Илья Алексеев
Косовские монодромии разветвлённых накрытий поверхностей (продолжение)

Мастер-класс «Создадим идеальный спецкурс по топологии»

Цель мастер-класса — создание интересного и несложного спецкурса по топологии. Его можно будет использовать на факультетах, не имеющих топологию среди обязательных предметов, для внеклассной работы со школьниками в математических классах, в качестве основы мини-курса на студенческой школе, для украшения лекций по геометрии. В серии из трёх лекций приводится достаточно известная литература по основам топологии, но акцент сделан на разных ноу-хау. Мастер-класс будет интересен студентам математических направлений и преподавателям математики, желающим узнать новое о преподавании топологии.

Обсуждаются следующие темы:
-- как удивить слушателей;
-- как избежать изложения общей топологии, сохранив строгость изложения;
-- как вкусно рассказать о замкнутых поверхностях;
-- накрытия;
– векторные расслоения и класс Эйлера;
– теорема Борсука — Улама через класс Эйлера;
-- выворачивание поверхностей наизнанку;
-- разница между топологией и геометрией;
-- как увидеть трехмерные многообразия;
-- арифметика узлов.

Конспект мастер-класса и слайды: https://bit.ly/WorkshopTopologyCourse.
Видеозаписи: https://bit.ly/WorkshopTopologyCourseVideos.

По техническим причинам занятие пройдёт в канале Zoom ID 212767337. Пароль стандартный.

Один из любопытных классов гомеоморфизмов поверхностей — скручивания Дена. По ссылке https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~sakasai/MCG/teruaki.html доступна игра, цель которой — с помощью пяти представленных скручиваний (и обратных к ним) перевести простую замкнутую кривую в заданную.

В действительности любую неразбивающую простую замкнутую кривую на поверхности изображенного на рисунке кренделя можно перевести этими скручиваниями в любую другую.

Этот и другие простейшие факты о гомеоморфизмах поверхностей обсуждаются в курсе для студентов младших курсов «Пространства Тейхмюллера» Г.Ю.Паниной: https://youtube.com/playlist?list=PLSF3rmygvD9JSGAxiNUIzM1jEHIKA5W9y.

Поздравляем всех с наступлением весеннего семестра и приглашаем на семинар!

Мы планируем в течение ближайших месяцев обсудить много интересных тем. Среди них:
-Группы классов отображений поверхностей;
-Связи между маломерной топологией и теорией чисел;
-Арифметика узлов;
-Конфигурационные пространства шарнирных механизмов;
-Песочные модели и регулярные узоры;
-Инварианты конечного типа (инварианты Васильева);
-Автоморфизмы групп кос;
-Кобордантность, визуализация четырёхмерия и конкордантность узлов;
-Квазиморфизмы на группах классов отображений.

Мы продолжим смешанный (очно-дистанционный) формат проведения занятий. Присоединяйтесь к беседе (https://t.iss.one/joinchat/Gj9VIM9uyfdLh45k) для голосования по поводу расписания, для уточнения/предложения тем и для обсуждения маломерной топологии.

Помните, что лучший способ глубже понять идею — это объяснить/пересказать её своими словами другим людям. Пишите нам, если заинтересованы в активностях нашего семинара.