جبرهای *C به چه کار می‌آیند؟!

می‌خواهم کمی درباره اهمیت جبرهای *C در فیزیک صحبت کنم. سعی می‌کنم از وارد شدن به جزئیات ریاضی پرهیز کنم و بیشتر بر ایده‌های پایه‌ای فیزیکی تمرکز داشته باشم. همه چیز در این نوشته غیر دقیق است. حتی تعریف یک جبر *C را هم نمی‌گویم! برای جزئیات بیشتر می‌توانید به منابع پایانی مراجعه کنید.

در مکانیک کوانتومی اغلب از اینجا شروع می‌کنیم که کمیت‌های کلاسیک (observableها) را گرفته و روابطی می‌نویسیم که نشان می‌دهند این کمیت‌ها در واقع با هم جابجا‌یی‌پذیر نیستند. مثال مشهورش این است:
pq - qp = ih
اما نمونه‌های دیگری هم وجود دارند.

وقتی این کار را می‌کنیم، در واقع داریم یک جبر تعریف می‌کنیم. فیزیک‌دان‌ها معمولاً آن را «جبر کمیت‌های قابل مشاهده» می‌نامند. جبرهای *C راهی برای دقیق کردن همین ایده‌اند. آن‌ها را اروینگ سیگال در سال ۱۹۴۷ معرفی کرد. البته کار او بر پایه پژوهش‌های دیگران بود، به‌ویژه مقاله‌های فون نویمان و مورای درباره بنیان‌های مکانیک کوانتومی، و همچنین ایده‌های گلفاند و نایمارک.

اما کمیت‌های قابل مشاهده بدون «حالت‌ها» چندان به درد نمی‌خورند. یک راه به دست آوردن حالت‌ها این است که جبر observables را به‌صورت جبری از عملگرها روی یک فضای هیلبرت نمایش دهیم. در این صورت بردارهای واحد در فضای هیلبرت حالت‌ها را نشان می‌دهند.

با این حال، همان جبر observables می‌تواند نمایش‌های متفاوتی به صورت عملگر روی فضاهای هیلبرت داشته باشد. در مثال بالا، هایزنبرگ توانست p و q را به صورت ماتریس‌های بی‌نهایت‌بعدی نمایش دهد، در حالی که شرودینگر آن‌ها را به صورت عملگرهای دیفرانسیلی نمایش داد. در این مورد خاص، این دو نمایش «معادل» هستند، بنابراین تعارض جدی میان مکانیک ماتریسی هایزنبرگ و مکانیک موجی شرودینگر وجود ندارد: این‌ها دو دیدگاه مختلف بر همان نظریه‌اند.

در سال ۱۹۳۱ فون نویمان قضیه معروفی که اکنون قضیه استون–فون نویمان نام دارد را اثبات کرد که توضیح می‌دهد چرا در این مورد لازم نیست نگران نمایش‌های مختلف باشیم. اما بعدها نمونه‌هایی پیدا شدند که در آن‌ها یک جبر observables می‌تواند نمایش‌های کاملاً متفاوت و ناسازگار داشته باشد!

ساده‌ترین نمونه، نظریه میدان کوانتومی ذره‌ای بدون برهم‌کنش و با اسپین صفر است. در این نظریه observables مشابه ‌pها و ‌qها داریم و بنابراین یک جبر *C از این‌ها ساخته می‌شود. این جبر به جرم ذره وابسته نیست. اما نمایش آن به‌صورت عملگر روی فضای هیلبرت، به شکلی اساسی به جرم ذره بستگی دارد. جرم‌های متفاوت معادل نمایش‌های نامعادلی هستند!

از نظر عملی یعنی چه؟ یعنی اگر نمایشی متناظر با ذره‌ای با جرم m بگیریم و بخواهیم عملگر همیلتونی ذره‌ای با جرم 'm را در آن بنویسیم، به یک انتگرال واگرا و بی‌معنی می‌رسیم، مگر اینکه 'm=m .

مشکل مشابهی وقتی رخ می‌دهد که بخواهیم حالت خلأ برای نظریه با جرم 'm را به صورت یک بردار واحد در فضای هیلبرت نظریه با جرم m تعبیر کنیم. باز هم فرمولی نوشته می‌شود، اما شامل یک انتگرال واگراست مگر اینکه m'=m .

در واقع، بسیاری از بی‌نهایت‌ها در نظریه میدان کوانتومی از همین‌جا ناشی می‌شوند: از فرض غلط اینکه همه نمایش‌های یک جبر observables معادل هستند. برای اجتناب از این بی‌نهایت‌ها باید این فرض را کنار گذاشت. این کار علاج همه مشکلات نیست، اما شروع ضروری‌ای است.

نمونه عالی دیگر، شکست خودبه‌خودی تقارن (spontaneous symmetry breaking) است. برخی نظریه‌های میدان کوانتومی اجازه وجود چندین حالت خلأ متفاوت را می‌دهند. هر خلأ متفاوت، نمایش متفاوتی از جبر *C به صورت عملگر روی فضای هیلبرت ایجاد می‌کند. به‌طور ساده، هر حالت خلأ در یک فضای هیلبرت متفاوت «زندگی می‌کند»؛ رفتن از یکی به دیگری نیازمند ایجاد یا نابودی بی‌نهایت ذره است، پس نمی‌توان آن‌ها را در یک فضای هیلبرت مشترک دید.

از آنجا که نظریه میدان کوانتومی ارتباط نزدیکی با مکانیک آماری دارد، تعجبی ندارد که همه این پدیده‌ها در مکانیک آماری هم نظایری دارند. به همین دلیل جبرهای *C در مکانیک آماری نیز مفیدند. در واقع، یک چرخه بازخوردی جالب هم وجود دارد: ایده‌های مکانیک آماری بر نظریه جبرهای *C نیز تأثیر گذاشته‌اند. مشهورترین نمونه، کار کوبو، مارتین و شوینگر بر تعادل گرمایی است که به چیزی به نام نظریه تومیتا–تاکه‌ساکی انجامید.
@harmoniclib

پیش‌تر اشاره کردم که میان «حالت‌های خلأ» و نمایش‌های جبرهای *C رابطه نزدیکی وجود دارد. در واقع قضیه‌ای به نام ساختار GNS این را دقیق می‌کند. اما از نظر فیزیکی چه خبر است؟ برای تعریف مفهوم «خلأ» در یک نظریه میدان کوانتومی، فقط داشتن جبر C* observables کافی نیست: باید نمایش خاصی هم مشخص شود. این موضوع در نظریه میدان کوانتومی روی فضا–زمان خمیده بسیار برجسته‌تر می‌شود. مقدمه‌ای برای گرانش کوانتومی کامل. در این بستر، توافق ناظران درباره اینکه چه چیزی «خلأ» محسوب می‌شود بسیار دشوارتر از حالت فضا–زمان تخت است. مشهورترین مثال، تابش هاوکینگ است که از سیاه‌چاله گسیل می‌شود. شاید توضیح‌های عمومی آن را به صورت جفت‌ذرات مجازی شنیده باشید، اما اگر سراغ ریاضی بروید، می‌بینید موضوع ظریف‌تر است. به‌طور ساده، دلیلش این است که در فضا–زمان خمیده، ناظران مختلف می‌توانند برداشت‌های متفاوتی از «خلأ» داشته باشند! و برای فهم درست این موضوع، جبرهای *C ابزار بسیار خوبی هستند.

ریاضیات جبرهای *C تمام این حرف‌های مبهم را کاملاً دقیق و روشن بیان می‌کند! برای جزئیات بیشتر، این کتاب‌ها را ببینید:

Gerard G. Emch, Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory, Wiley-Interscience, New York, 1972.

Rudolf Haag, Local Quantum Physics: Fields, Particles, Algebras, Springer, Berlin, 1992.

Ola Bratteli and Derek W. Robinson, Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics, 2 volumes, Springer, Berlin, 1987–1997.


برای کتاب‌هایی که بیشتر به ریاضیات می‌پردازند تا فیزیک، این‌ها را ببینید (تقریباً به ترتیب سختی):

William Arveson, An Invitation to C-Algebras*, Springer, New York, 1976.

Masamichi Takesaki, Theory of Operator Algebras I, Springer, Berlin, 1979.

Richard V. Kadison and John R. Ringrose, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, 4 volumes, Academic Press, New York, 1983–1992.

Shoichiro Sakai, C-Algebras and W*-Algebras*, Springer, Berlin, 1971.

@harmoniclib
برگرفته از مقاله جان بائز

ریاضی به عنوان یک تجلی از ذهن انسان، بازتاب اراده فعال، استدلال متفکرانه و میل به کمال زیبایی است. عناصر اساسی آن منطق و شهود، تجزیه و ساخت، اصل کلی و تک‌بعدی است.
@harmoniclib
ریچارد کورانت

زنده‌یاد ابراهیم اسرافیلیان تحصیلات رسمی خود را از سن ۱۰ سالگی شروع کرد و تحصیلات ابتدایی و متوسطه را در نجف آباد اصفهان و دانشسرای مقدماتی را در دانشسرای مقدماتی اصفهان در سال ۱۳۳۵ گذرانید. دیپلم ریاضی را از دبیرستان ادب اصفهان در سال ۱۳۳۶ دریافت کرد. پس از آن در کنکور شرکت کرد و در دو رشته کارشناسی ریاضی و کارشناسی ادبیات فارسی و فلسفه به تحصیل پرداخت و در سال ۱۳۳۹ به پایان رسانید. وی از سال ۱۳۴۵ تا ۱۳۴۷ دوره مدرسی عالی را به پایان رسانید. او دارای دکتری ریاضی گرایش هندسه دیفرانسیل از دانشگاه ساوتامپتون انگلستان به راهنمایی استاد «استیوارت رابرتسون» با عنوان «ساختارهای نرمال بر منیفلدها» بود.
@harmoniclib

سخنی چند از برتراند راسل
@harmoniclib

این دانشگاه با این سردر نوستالژیک آرزوی خیلی‌ها بوده
و بعضی‌ها هم تا رسیدند فهمیدند آنچنان که فکر می‌کردند نبوده و خیلی‌ها هم پل مهاجرتش کردند.
@harmoniclib
دانشگاه صنعتی شریف

پیام ارسالی:

۱۰ سال پیش لیسانس ریاضی از دانشگاه آزاد تهران گرفتم. تو این چند سال کارهای غیرمرتبط با رشته‌ام کردم حتی کارگری.

دیگه خسته شدم! دیگه نمی‌تونم کار غیرمرتبط با ریاضی انجام بدم. ۸ ترم هزینه کردم. شهریه دادم. لیسانس ریاضی گرفتم‌ الان هم بیکارم و نمی‌دونم چی کار کنم؟ممنون میشم این پیام را بگذارید کانالتون.
@harmoniclib

آیا متوجه می‌شوید که این مساله و جواب آن چیست؟!
@harmoniclib

پیام ارسالی:

این مسئله درباره‌ی محاسبه مساحت مثلث است بدون اینکه مستقیم از ارتفاع یا عمود استفاده کنیم.
برای محاسبه مساحت مثلث معمولاً داریم:
مساحت = نصف قاعده × ارتفاع.

اما گاهی ارتفاع مشخص نیست و می‌خواهیم بدون پیدا کردن ارتفاع، مساحت را حساب کنیم. راه پیشنهادی (تقریبی) این است که دو ضلع بزرگ‌تر مثلث را با هم جمع کنیم و نصف این جمع را بگیریم. بعد، از ضلع سوم یکی کم می‌کنیم و تقسیم بر ۲ می‌کنیم. حاصل‌ضرب اعداد این دو مرحله مساحت تقریبی مثلث است.

مثلاً در مثلثی که اضلاعش ۱۵، ۱۴ و ۱۳ است:
دو ضلع بزرگ‌تر یعنی ۱۵ و ۱۴ را جمع می‌کنیم: ۲۹
نصفش می‌شود: ۱۴.۵
حالا نصف جمع را در نصفِ یک‌واحد کمتر از ضلع سوم (۶) ضرب می‌کنیم:

۱۴.۵ × ۶ = ۸۷
@harmoniclib

پیام ارسالی:

شوهر من هم لیسانس شیمی از دانشگاه آزاد شهرضا داره. چندین سال کارگری می‌کرد. اینقدر این طرف اون طرف رفتیم و پیگیری کردیم تا یه آشنا پیدا کردیم که یه شغل مناسب رشته‌ش بهش دادند. خداراشکر الان ۷ سال هست سر این کار میره. خودمم کنارش خیاطی می‌کردم. تونستیم یه خونه بخریم. بعدش هم خدا بهمون یه دوقلو داد. الان سه تا بچه داریم و با همون شغل شوهرم و خیاطی من خداراشکر زندگیمون خوب می‌چرخه. باید پشتکار داشته باشید.
@harmoniclib

نمونه‌ای دیگر

محاسبه تعداد آجر به کار رفته در یک دیوار و وزنش
@harmoniclib

با نهایت تاسف مطلع شدیم که
جناب آقای دکتر حیدر زاهد زاهدانی
استاد سابق دانشگاه شیراز
دار فانی را وداع گفتند.
@harmoniclib
روحشان شاد و یادشان گرامی باد

اینجانب (مهدی میسمی) سال ۱۳۹۴ به دکتر زاهدانی پیام دادم و از ایشون درباره مهاجرت و ادامه تحصیل در رشته نظریه اعداد سوال کردم. جوابشون را در زیر به عنوان یادگاری و شاید راهگشا برای دوستان قرار می‌دم:

اگر امكان مالي و نمره قابل قبول در تافل داريد تحصيل دكتري در خارج تجربه بهتري است هر جند در رشته رياضي اساتيد خوبي در ايران هستند كه مي توانند اساتيد راهنما شما باشند

در مورد نظريه اعداد اطلاع زيادي ندارم البته در نزديك ما UCLA خيلي خوب هستند ولي متقاضيان زيادي دارند شايد كانادا بيشترامكان باشد.

حیدر زاهد زاهدانی
@harmoniclib

دکتر حیدر زاهد زاهدانی به دوست و همکارش دکتر کریم صدیقی پیوست.
@harmoniclib

دکتر کریم صدیقی شاگرد جان بی کانوی
نویسنده کتاب معروف آنالیز تابعی بود.
@harmoniclib

دکتر زاهدانی در کنار پروفسور قهرمانی از موفق‌ترین ریاضیدانان ایرانی و جهانی در حوزه پژوهش در زمینه آنالیز هارمونیک
@harmoniclib

از هوش مصنوعی خواستیم این عکس مهم از دو چهره برجسته ریاضی میهنمان را بازسازی کند.
@harmoniclib
زنده‌یادان
دکتر کریم صدیقی و دکتر حیدر زاهد زاهدانی

قشنگ‌ترین "میم" ریاضی که تا حالا دیدید را در قسمت کامنت‌ها بفرستید.
@harmoniclib
👇👇👇