تقویم تاریخ

حل معادلات لاگرانژ و لژاندر
آیا لاگرانژ بزرگترین ریاضیدان تمام اعصار است؟!

از ریاضیدانان ایرانی چه می‌دانید؟!
غیاث الدین جمشيد کاشانی، خوارزمی، خیام و ...

آیا ابوجعفر خازن خراسانی معادله درجه سوم را به کمک مقاطع مخروطی حل کرده‌است؟!
@harmoniclib

پادکست رادیو ریاضی برای قسمت‌های جدید خود که در دست ساخت است، اسپانسر (حمایت کننده‌ی مالی) می‌پذیرد.

نام حمایت کننده دو بار در اول و آخر اپیزود عنوان خواهد شد.

جهت هماهنگی پیام دهید.
👇👇👇
@meisami_mah

#معرفی_کتاب

حل مسائل ریاضی:
یک دیدگاه شخصی

تری تائو
@harmoniclib

خوابِ تکراری شما چیست؟!
@harmoniclib
خوابی که هر چند وقت یک‌بار می‌بینیدش...
👇👇👇

دکتر محسن موسوی
@harmoniclib

#فروش_کتاب
کاملا نو و نایاب

اصول آنالیز حقیقی
علی پرانتز

250 تومان

جهت سفارش به آی‌دی
👇👇👇
@meisami_mah
پیام دهید.

احیای کتاب
@harmoniclib

میرزا محمد طاهر تنکابنی (متوفی14 آذر 1320شمسی)؛ دانشمند زمان قاجار و پهلوی. ریاضیدان- فیلسوف- قاضی- طبیب- ادیب و وکیل و ...
@harmoniclib

پرسش و پاسخهای ابوریحان بیرونی و ابن سینا درباره ریاضیات و حرکت در افلاک بر اساس کتب ارسطو! موجود در کتاب المسائل الحکمیة ابن سینا به کتابت مرحوم میرزا محمد طاهر تنکابنی! ص19-36 کتاب
@harmoniclib

🎁 تخفیف ویژه جهت تبلیغات در
کانال
اخبار و کتابهای ریاضی
@harmoniclib
و یا
گروه
ارشد و دکتری ریاضی
@arshadoct
به آی دی زیر پیام دهید.
👇👇👇👇👇👇
@meisami_mah

"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning."

@harmoniclib
Werner Heisenberg (1901-1976)

جبرهای *C به چه کار می‌آیند؟!

می‌خواهم کمی درباره اهمیت جبرهای *C در فیزیک صحبت کنم. سعی می‌کنم از وارد شدن به جزئیات ریاضی پرهیز کنم و بیشتر بر ایده‌های پایه‌ای فیزیکی تمرکز داشته باشم. همه چیز در این نوشته غیر دقیق است. حتی تعریف یک جبر *C را هم نمی‌گویم! برای جزئیات بیشتر می‌توانید به منابع پایانی مراجعه کنید.

در مکانیک کوانتومی اغلب از اینجا شروع می‌کنیم که کمیت‌های کلاسیک (observableها) را گرفته و روابطی می‌نویسیم که نشان می‌دهند این کمیت‌ها در واقع با هم جابجا‌یی‌پذیر نیستند. مثال مشهورش این است:
pq - qp = ih
اما نمونه‌های دیگری هم وجود دارند.

وقتی این کار را می‌کنیم، در واقع داریم یک جبر تعریف می‌کنیم. فیزیک‌دان‌ها معمولاً آن را «جبر کمیت‌های قابل مشاهده» می‌نامند. جبرهای *C راهی برای دقیق کردن همین ایده‌اند. آن‌ها را اروینگ سیگال در سال ۱۹۴۷ معرفی کرد. البته کار او بر پایه پژوهش‌های دیگران بود، به‌ویژه مقاله‌های فون نویمان و مورای درباره بنیان‌های مکانیک کوانتومی، و همچنین ایده‌های گلفاند و نایمارک.

اما کمیت‌های قابل مشاهده بدون «حالت‌ها» چندان به درد نمی‌خورند. یک راه به دست آوردن حالت‌ها این است که جبر observables را به‌صورت جبری از عملگرها روی یک فضای هیلبرت نمایش دهیم. در این صورت بردارهای واحد در فضای هیلبرت حالت‌ها را نشان می‌دهند.

با این حال، همان جبر observables می‌تواند نمایش‌های متفاوتی به صورت عملگر روی فضاهای هیلبرت داشته باشد. در مثال بالا، هایزنبرگ توانست p و q را به صورت ماتریس‌های بی‌نهایت‌بعدی نمایش دهد، در حالی که شرودینگر آن‌ها را به صورت عملگرهای دیفرانسیلی نمایش داد. در این مورد خاص، این دو نمایش «معادل» هستند، بنابراین تعارض جدی میان مکانیک ماتریسی هایزنبرگ و مکانیک موجی شرودینگر وجود ندارد: این‌ها دو دیدگاه مختلف بر همان نظریه‌اند.

در سال ۱۹۳۱ فون نویمان قضیه معروفی که اکنون قضیه استون–فون نویمان نام دارد را اثبات کرد که توضیح می‌دهد چرا در این مورد لازم نیست نگران نمایش‌های مختلف باشیم. اما بعدها نمونه‌هایی پیدا شدند که در آن‌ها یک جبر observables می‌تواند نمایش‌های کاملاً متفاوت و ناسازگار داشته باشد!

ساده‌ترین نمونه، نظریه میدان کوانتومی ذره‌ای بدون برهم‌کنش و با اسپین صفر است. در این نظریه observables مشابه ‌pها و ‌qها داریم و بنابراین یک جبر *C از این‌ها ساخته می‌شود. این جبر به جرم ذره وابسته نیست. اما نمایش آن به‌صورت عملگر روی فضای هیلبرت، به شکلی اساسی به جرم ذره بستگی دارد. جرم‌های متفاوت معادل نمایش‌های نامعادلی هستند!

از نظر عملی یعنی چه؟ یعنی اگر نمایشی متناظر با ذره‌ای با جرم m بگیریم و بخواهیم عملگر همیلتونی ذره‌ای با جرم 'm را در آن بنویسیم، به یک انتگرال واگرا و بی‌معنی می‌رسیم، مگر اینکه 'm=m .

مشکل مشابهی وقتی رخ می‌دهد که بخواهیم حالت خلأ برای نظریه با جرم 'm را به صورت یک بردار واحد در فضای هیلبرت نظریه با جرم m تعبیر کنیم. باز هم فرمولی نوشته می‌شود، اما شامل یک انتگرال واگراست مگر اینکه m'=m .

در واقع، بسیاری از بی‌نهایت‌ها در نظریه میدان کوانتومی از همین‌جا ناشی می‌شوند: از فرض غلط اینکه همه نمایش‌های یک جبر observables معادل هستند. برای اجتناب از این بی‌نهایت‌ها باید این فرض را کنار گذاشت. این کار علاج همه مشکلات نیست، اما شروع ضروری‌ای است.

نمونه عالی دیگر، شکست خودبه‌خودی تقارن (spontaneous symmetry breaking) است. برخی نظریه‌های میدان کوانتومی اجازه وجود چندین حالت خلأ متفاوت را می‌دهند. هر خلأ متفاوت، نمایش متفاوتی از جبر *C به صورت عملگر روی فضای هیلبرت ایجاد می‌کند. به‌طور ساده، هر حالت خلأ در یک فضای هیلبرت متفاوت «زندگی می‌کند»؛ رفتن از یکی به دیگری نیازمند ایجاد یا نابودی بی‌نهایت ذره است، پس نمی‌توان آن‌ها را در یک فضای هیلبرت مشترک دید.

از آنجا که نظریه میدان کوانتومی ارتباط نزدیکی با مکانیک آماری دارد، تعجبی ندارد که همه این پدیده‌ها در مکانیک آماری هم نظایری دارند. به همین دلیل جبرهای *C در مکانیک آماری نیز مفیدند. در واقع، یک چرخه بازخوردی جالب هم وجود دارد: ایده‌های مکانیک آماری بر نظریه جبرهای *C نیز تأثیر گذاشته‌اند. مشهورترین نمونه، کار کوبو، مارتین و شوینگر بر تعادل گرمایی است که به چیزی به نام نظریه تومیتا–تاکه‌ساکی انجامید.
@harmoniclib

پیش‌تر اشاره کردم که میان «حالت‌های خلأ» و نمایش‌های جبرهای *C رابطه نزدیکی وجود دارد. در واقع قضیه‌ای به نام ساختار GNS این را دقیق می‌کند. اما از نظر فیزیکی چه خبر است؟ برای تعریف مفهوم «خلأ» در یک نظریه میدان کوانتومی، فقط داشتن جبر C* observables کافی نیست: باید نمایش خاصی هم مشخص شود. این موضوع در نظریه میدان کوانتومی روی فضا–زمان خمیده بسیار برجسته‌تر می‌شود. مقدمه‌ای برای گرانش کوانتومی کامل. در این بستر، توافق ناظران درباره اینکه چه چیزی «خلأ» محسوب می‌شود بسیار دشوارتر از حالت فضا–زمان تخت است. مشهورترین مثال، تابش هاوکینگ است که از سیاه‌چاله گسیل می‌شود. شاید توضیح‌های عمومی آن را به صورت جفت‌ذرات مجازی شنیده باشید، اما اگر سراغ ریاضی بروید، می‌بینید موضوع ظریف‌تر است. به‌طور ساده، دلیلش این است که در فضا–زمان خمیده، ناظران مختلف می‌توانند برداشت‌های متفاوتی از «خلأ» داشته باشند! و برای فهم درست این موضوع، جبرهای *C ابزار بسیار خوبی هستند.

ریاضیات جبرهای *C تمام این حرف‌های مبهم را کاملاً دقیق و روشن بیان می‌کند! برای جزئیات بیشتر، این کتاب‌ها را ببینید:

Gerard G. Emch, Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory, Wiley-Interscience, New York, 1972.

Rudolf Haag, Local Quantum Physics: Fields, Particles, Algebras, Springer, Berlin, 1992.

Ola Bratteli and Derek W. Robinson, Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics, 2 volumes, Springer, Berlin, 1987–1997.


برای کتاب‌هایی که بیشتر به ریاضیات می‌پردازند تا فیزیک، این‌ها را ببینید (تقریباً به ترتیب سختی):

William Arveson, An Invitation to C-Algebras*, Springer, New York, 1976.

Masamichi Takesaki, Theory of Operator Algebras I, Springer, Berlin, 1979.

Richard V. Kadison and John R. Ringrose, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, 4 volumes, Academic Press, New York, 1983–1992.

Shoichiro Sakai, C-Algebras and W*-Algebras*, Springer, Berlin, 1971.

@harmoniclib
برگرفته از مقاله جان بائز

ریاضی به عنوان یک تجلی از ذهن انسان، بازتاب اراده فعال، استدلال متفکرانه و میل به کمال زیبایی است. عناصر اساسی آن منطق و شهود، تجزیه و ساخت، اصل کلی و تک‌بعدی است.
@harmoniclib
ریچارد کورانت

زنده‌یاد ابراهیم اسرافیلیان تحصیلات رسمی خود را از سن ۱۰ سالگی شروع کرد و تحصیلات ابتدایی و متوسطه را در نجف آباد اصفهان و دانشسرای مقدماتی را در دانشسرای مقدماتی اصفهان در سال ۱۳۳۵ گذرانید. دیپلم ریاضی را از دبیرستان ادب اصفهان در سال ۱۳۳۶ دریافت کرد. پس از آن در کنکور شرکت کرد و در دو رشته کارشناسی ریاضی و کارشناسی ادبیات فارسی و فلسفه به تحصیل پرداخت و در سال ۱۳۳۹ به پایان رسانید. وی از سال ۱۳۴۵ تا ۱۳۴۷ دوره مدرسی عالی را به پایان رسانید. او دارای دکتری ریاضی گرایش هندسه دیفرانسیل از دانشگاه ساوتامپتون انگلستان به راهنمایی استاد «استیوارت رابرتسون» با عنوان «ساختارهای نرمال بر منیفلدها» بود.
@harmoniclib