اخبار و کتاب های ریاضی
"For the proof of the boundedness of Fano varieties and for contributions to the minimal model program." عنوان جایزه فیلد بیرکار: "به خاطر اثبات کران دار بودن واریته های فانو و کمک به برنامه مدل مینیمال." فکر می کنم برای شروع باید ببینیم تعریف واریته های…
پست قبلی در ارتباط با کار های بیرکار بهانه ای برای ورود به مفاهیم هندسه جبری بود. ابتدا عبارتی از پست قبل رو اصلاح کنم. در آنجا گفتم "طبقه بندی واریته های birational" که باید به این شکل تصحیح گردد: "طبقه بندی birational واریته های جبری".
خوب، همانگونه که مشخص است فهم دقیق این مفاهیم نیاز به مطالعه کتاب های مذکور دارد. اما از آنجا که در کل ریاضیات محض غریب و مظلوم است مطمئناً در این راه با مشکلات زیادی مواجه می شوید و باید به کمک هم دیگر این مفاهیم رو بهتر یاد بگیریم و نمی توان انتظار تک روی در این عرصه های پر از سنگ لاخ را داشت.
مقدمه ای هم در ارتباط با هندسه جبری: زمانی که دکارت و دیگران، مفاهیم هندسه مسطحه مثل دایره و بیضی و ... را از ترسیمی صرف به سمت جبر کشاندند و برای هر کدام معادلات جبری خلق کردند، اولین قدم ها برای اتصال هندسه با جبر برداشته شد. همین مسیر به مرور تکمیل شد و با پیشرفت جبر و خلق اشیائی چون گروه ها و حلقه ها و ... در جبر از یک سو و خلق اشیائی چون منیفلد و کلاف و ... در هندسه از سویی دیگر، این ارتباط بین هندسه و جبر هم عمیق تر گشت و این شاخه را به یکی از عمیق ترین و جذاب ترین شاخه های ریاضیات مدرن تبدیل کرد که به جادوهای خود ادامه می دهد.
واریته در حقیقت یک مفهومی هست که می توان از تعمیم مفاهیم جبر خطی بدست آورد، همانگونه که ما در جبر خطی به دنبال حل دستگاه معادلات "خطی" هستیم در هندسه جبری این محدودیت خطی بودن را برداشته و به دنبال صفر مشترک دستگاه چند جمله ای های چند متغیره هستیم.
پیشاپیش بگویم که نوع توضیحات کلی و نادقیق من موجب میشه که اساتید هندسه جبری به توضیحاتم ناسزا بگن! ولی اهمیتی ندارد، چون برای یادگیری مفاهیم سختی که در ابر ها هستن مجبوریم اون ها رو یکم زمینی و خاکی کنیم تا حداقل یک کلیتی از آن ها در ذهن ما و مخاطب شکل بگیرند.
می خواهم در این پست و پست های متعدد آینده کم کم وارد مفهوم بحث birational بشم، منتها ابتدا باید کمی در مورد خود واریته ها صحبت شود.
فضایی که واریته های هندسه جبری در آن زیست می کنن معمولاً دو فضای آفینی و تصویری هستند. برای این که فهم شهودی از این دو فضا داشته باشید می توان از کتب هندسه که معرفی شد شروع کرد. منتها یادتان باشد اگر بخواهیم عمیق وارد هر کدام از پیش نیاز های هندسه جبری بشویم ممکنه زمانی که موهایمان سپید گشت به مرز های کنونی علم برسیم!
فضای هندسه تصویری در حقیقت نسبت به فضای اقلیدسی به نوعی کامل تر است، یک مقایسه نادقیق حل معادلات در اعداد حقیقی هست که وقتی آن را به فضای مختلط بسط می دهیم معادلات به طور کامل تر حل می شوند. بنابر این وقتی به شما یک دستگاه چند جمله ای چند متغیره می دهند که در فضای آفینی هست (به طور عادی چند جمله ای ها در این فضا هستند) ابتدا با تغییر متغیر هایی آن را به فضای تصویری می بریم و آنجا ابزار های قدرتمند تری برای حل دستگاه وجود خواهد داشت. اما تفاوت بین فضای آفینی و هندسه اقلیدسی چیست؟ به نوعی می توان گفت فضای آفینی همان اقلیدسی است (حداقل از نظر اعضای داخل مجموعه، ولی از نظر ارتباط بین این اجزا با هم یک تفاوت خاص دارند) با این تفاوت که در فضای آفین اهمیت صفر حذف شده است.
نکته اصلی فضای تصویری این است که وقتی نقطه ای از این فضا را بگیرید و تمام مختصات آن را در یک عدد ناصفر ضرب کنید نقطه ی جدیدی بدست نمی آید، یعنی نقطه جدید با قبلی هم ارز و یکی هستند. لذا چند جمله ای های این فضا هم دارای این خصیصه هستند که هر ترم یا جمله ی آن دارای درجه ای مساوی با بقیه جملات است. اما فضای آفین دارای این محدودیت نیست و تقریباً هر چند جمله ای که می شناختید را می توان بدون تغییر خاصی جزو واریته آفینی در نظر گرفت.
واریته V روی S که به صورت V(S) نشان داده می شود، در حقیقت شامل نقاطی از فضا است (اگه این فضا آفین باشه میشه واریته آفین و اگر تصویری باشه میشه واریته تصویری) که هم زمان تمام چند جمله ای های مجموعه S را صفر می کند. حال، اگر حتی S شامل 1 چند جمله ای باشد می توان با دودوتا چارتای ساده فهمید که واریته بدست آمده چند جمله ای های دیگری را هم صفر خواهد کرد (کافی هست چند جمله ای های مناسبی (بر حسب فضای مورد نظر) را در آن چند جمله ای اولیه ضرب کنیم تا چند جمله ای های جدید بدست آید). بنابر این اگر کمی فکر کنیم متوجه می شویم که یک واریته متناظر با یک ایده آل در جبر می شود، واریته شامل آن نقاط هندسی و ایده ال شامل چند جمله ای های S می باشد. در اینجا سنگ بنای دوگان هندسه-جبر شکل گرفته و از دل آن مباحث خوف انگیزی بیرون خواهد آمد. 👀
پ.ن: بحث های من در این پست ها بیشتر حالت انگیزشی و شهودی دارند، مطمئناً برای یادگیری بیشتر باید به منابع اصلی رجوع کنید.
ادامه دارد...
#MojeeNC
@harmoniclib
خوب، همانگونه که مشخص است فهم دقیق این مفاهیم نیاز به مطالعه کتاب های مذکور دارد. اما از آنجا که در کل ریاضیات محض غریب و مظلوم است مطمئناً در این راه با مشکلات زیادی مواجه می شوید و باید به کمک هم دیگر این مفاهیم رو بهتر یاد بگیریم و نمی توان انتظار تک روی در این عرصه های پر از سنگ لاخ را داشت.
مقدمه ای هم در ارتباط با هندسه جبری: زمانی که دکارت و دیگران، مفاهیم هندسه مسطحه مثل دایره و بیضی و ... را از ترسیمی صرف به سمت جبر کشاندند و برای هر کدام معادلات جبری خلق کردند، اولین قدم ها برای اتصال هندسه با جبر برداشته شد. همین مسیر به مرور تکمیل شد و با پیشرفت جبر و خلق اشیائی چون گروه ها و حلقه ها و ... در جبر از یک سو و خلق اشیائی چون منیفلد و کلاف و ... در هندسه از سویی دیگر، این ارتباط بین هندسه و جبر هم عمیق تر گشت و این شاخه را به یکی از عمیق ترین و جذاب ترین شاخه های ریاضیات مدرن تبدیل کرد که به جادوهای خود ادامه می دهد.
واریته در حقیقت یک مفهومی هست که می توان از تعمیم مفاهیم جبر خطی بدست آورد، همانگونه که ما در جبر خطی به دنبال حل دستگاه معادلات "خطی" هستیم در هندسه جبری این محدودیت خطی بودن را برداشته و به دنبال صفر مشترک دستگاه چند جمله ای های چند متغیره هستیم.
پیشاپیش بگویم که نوع توضیحات کلی و نادقیق من موجب میشه که اساتید هندسه جبری به توضیحاتم ناسزا بگن! ولی اهمیتی ندارد، چون برای یادگیری مفاهیم سختی که در ابر ها هستن مجبوریم اون ها رو یکم زمینی و خاکی کنیم تا حداقل یک کلیتی از آن ها در ذهن ما و مخاطب شکل بگیرند.
می خواهم در این پست و پست های متعدد آینده کم کم وارد مفهوم بحث birational بشم، منتها ابتدا باید کمی در مورد خود واریته ها صحبت شود.
فضایی که واریته های هندسه جبری در آن زیست می کنن معمولاً دو فضای آفینی و تصویری هستند. برای این که فهم شهودی از این دو فضا داشته باشید می توان از کتب هندسه که معرفی شد شروع کرد. منتها یادتان باشد اگر بخواهیم عمیق وارد هر کدام از پیش نیاز های هندسه جبری بشویم ممکنه زمانی که موهایمان سپید گشت به مرز های کنونی علم برسیم!
فضای هندسه تصویری در حقیقت نسبت به فضای اقلیدسی به نوعی کامل تر است، یک مقایسه نادقیق حل معادلات در اعداد حقیقی هست که وقتی آن را به فضای مختلط بسط می دهیم معادلات به طور کامل تر حل می شوند. بنابر این وقتی به شما یک دستگاه چند جمله ای چند متغیره می دهند که در فضای آفینی هست (به طور عادی چند جمله ای ها در این فضا هستند) ابتدا با تغییر متغیر هایی آن را به فضای تصویری می بریم و آنجا ابزار های قدرتمند تری برای حل دستگاه وجود خواهد داشت. اما تفاوت بین فضای آفینی و هندسه اقلیدسی چیست؟ به نوعی می توان گفت فضای آفینی همان اقلیدسی است (حداقل از نظر اعضای داخل مجموعه، ولی از نظر ارتباط بین این اجزا با هم یک تفاوت خاص دارند) با این تفاوت که در فضای آفین اهمیت صفر حذف شده است.
نکته اصلی فضای تصویری این است که وقتی نقطه ای از این فضا را بگیرید و تمام مختصات آن را در یک عدد ناصفر ضرب کنید نقطه ی جدیدی بدست نمی آید، یعنی نقطه جدید با قبلی هم ارز و یکی هستند. لذا چند جمله ای های این فضا هم دارای این خصیصه هستند که هر ترم یا جمله ی آن دارای درجه ای مساوی با بقیه جملات است. اما فضای آفین دارای این محدودیت نیست و تقریباً هر چند جمله ای که می شناختید را می توان بدون تغییر خاصی جزو واریته آفینی در نظر گرفت.
واریته V روی S که به صورت V(S) نشان داده می شود، در حقیقت شامل نقاطی از فضا است (اگه این فضا آفین باشه میشه واریته آفین و اگر تصویری باشه میشه واریته تصویری) که هم زمان تمام چند جمله ای های مجموعه S را صفر می کند. حال، اگر حتی S شامل 1 چند جمله ای باشد می توان با دودوتا چارتای ساده فهمید که واریته بدست آمده چند جمله ای های دیگری را هم صفر خواهد کرد (کافی هست چند جمله ای های مناسبی (بر حسب فضای مورد نظر) را در آن چند جمله ای اولیه ضرب کنیم تا چند جمله ای های جدید بدست آید). بنابر این اگر کمی فکر کنیم متوجه می شویم که یک واریته متناظر با یک ایده آل در جبر می شود، واریته شامل آن نقاط هندسی و ایده ال شامل چند جمله ای های S می باشد. در اینجا سنگ بنای دوگان هندسه-جبر شکل گرفته و از دل آن مباحث خوف انگیزی بیرون خواهد آمد. 👀
پ.ن: بحث های من در این پست ها بیشتر حالت انگیزشی و شهودی دارند، مطمئناً برای یادگیری بیشتر باید به منابع اصلی رجوع کنید.
ادامه دارد...
#MojeeNC
@harmoniclib
به نظر شما علت عدم درک درست مفاهیم ریاضی توسط دانشجویان را در کجا باید جستجو کرد؟!
Anonymous Poll
35%
دبستان
41%
دبیرستان
13%
دانشگاه
3%
خانواده
9%
هوش و استعداد تحصیلی
👍1
اخبار و کتاب های ریاضی pinned «به نظر شما علت عدم درک درست مفاهیم ریاضی توسط دانشجویان را در کجا باید جستجو کرد؟!»
کلم ایتالیایی
Romanesco broccoli
ریاضیاتِ خوردنی
فراکتال ها ما را احاطه کرده اند!
#math_and_life
@harmoniclib
Romanesco broccoli
ریاضیاتِ خوردنی
فراکتال ها ما را احاطه کرده اند!
#math_and_life
@harmoniclib
I find George Dantzig's story particularly impressive and inspiring.
While he was a graduate student at UC Berkeley, near the beginning of a class for which Dantzig was late, professor Jerzy Neyman wrote two examples of famously unsolved statistics problems on the blackboard. When Dantzig arrived, he assumed that the two problems were a homework assignment and wrote them down. According to Dantzig, the problems "seemed to be a little harder than usual", but a few days later he handed in completed solutions for the two problems, still believing that they were an assignment that was overdue.
Six weeks later, Dantzig received a visit from an excited professor Neyman, who was eager to tell him that the homework problems he had solved were two of the most famous unsolved problems in statistics. Neyman told Dantzig to wrap the two problems in a binder and he would accept them as a Ph.D. thesis.
.
@harmoniclib
While he was a graduate student at UC Berkeley, near the beginning of a class for which Dantzig was late, professor Jerzy Neyman wrote two examples of famously unsolved statistics problems on the blackboard. When Dantzig arrived, he assumed that the two problems were a homework assignment and wrote them down. According to Dantzig, the problems "seemed to be a little harder than usual", but a few days later he handed in completed solutions for the two problems, still believing that they were an assignment that was overdue.
Six weeks later, Dantzig received a visit from an excited professor Neyman, who was eager to tell him that the homework problems he had solved were two of the most famous unsolved problems in statistics. Neyman told Dantzig to wrap the two problems in a binder and he would accept them as a Ph.D. thesis.
.
@harmoniclib
اخبار و کتاب های ریاضی
euclid.aoms.1177729695.pdf
این دو مقاله اثبات مسائلی است که حل نشده بودند و دانتزیگ بدون این که به باز بودن آنها آگاه باشد آنها را حل کرد.
@harmoniclib
@harmoniclib
اخبار و کتاب های ریاضی
#رادیو_ریاضی «از نجوم تا آمار» گفتگوی ۴۵ دقیقه ای من با آقای متین جابری @harmoniclib
دوستانی که این ویس را گوش ندادند گوش بدهند جالبه
فردا پس فردا قسمت دومش را میگذارم.
فردا پس فردا قسمت دومش را میگذارم.
Audio
#هر_روز_آنالیز
روز اول
تاریخ آنالیز ریاضی
پنج پرسش اساسی آنالیز
.
کانال اخبار و کتاب های ریاضی
@harmoniclib
روز اول
تاریخ آنالیز ریاضی
پنج پرسش اساسی آنالیز
.
کانال اخبار و کتاب های ریاضی
@harmoniclib
اخبار و کتاب های ریاضی
#هر_روز_آنالیز روز اول تاریخ آنالیز ریاضی پنج پرسش اساسی آنالیز . کانال اخبار و کتاب های ریاضی @harmoniclib
اگر شما دوستان عزیز هم می توانید برای تاریخچه رشته خودتون
هر روز جبر
هر روز هندسه
هر روز نظریه اعداد
ووو
فایل های ده دقیقه ای ضبط کنید برام بفرستید بزارم کانال بقیه استفاده کنند.
نگران کیفیت ضبط و صداتون نباشید، مهم انتقال این مطالب هست.
@harmoniclib
هر روز جبر
هر روز هندسه
هر روز نظریه اعداد
ووو
فایل های ده دقیقه ای ضبط کنید برام بفرستید بزارم کانال بقیه استفاده کنند.
نگران کیفیت ضبط و صداتون نباشید، مهم انتقال این مطالب هست.
@harmoniclib
در این گروه می توانید جزوات ریاضی خود را برای بقیه بفرستید تا استفاده کنند.
@jozriazi
@jozriazi
اخبار و کتاب های ریاضی pinned «در این گروه می توانید جزوات ریاضی خود را برای بقیه بفرستید تا استفاده کنند. @jozriazi»
ادامه هندسه جبری...
برای ملموس تر شدن بحث ابتدا چند نکته از هندسه تصویری را عرض می کنم:
فرض کنید یک مقطع مخروطی ساده داریم (سهمی)، طبق توضیحات قبل به صورت پیش فرض می توان آن را در فضای آفین A^2 در نظر گرفت:
y-x^2 = 0
حال قصد داریم به خاطر مزایای هندسه تصویری که به آن اشاره کردم این معادله را به فضای تصویری منتقل کنم، از یک تغییر متغیر ساده برای این کار استفاده می کنم تا به معادله همگن زیر برسم:
x --> X/Z
y --> Y/Z
YZ - X^2 = 0
این معادله را می توان معادله ای از فضای P^1 در نظر گرفت. چرا توان P در اینجا 1 است؟ با این که نقاط فضای P^1 دارای دو مختصه هستند (چرا که از روی R^2 ساخته شده است) ولی در عین حال به خاطر وابسته بودن این دو مختصه به هم دیگر یک بعدی است.
نقاط P^1 را به صورت (x:y) نشان می دهند تا به اهمیت نسبت آن ها به هم دیگر تأکید کنند، چرا که در فضای تصویری نسبت مختصات اهمیت دارد نه مقدار محض آن ها... (به تعریف فضای تصویری برای یادگیری بیشتر رجوع کنید).
حال بر روی میدان اسکالر مورد نظر (معمولاً اسکالر ها را از فضای اعداد مختلط انتخاب می کنند) یک حلقه به صورت زیر می سازیم:
k[X, Y, Z]/<YZ - X^2>
که میدان کا را در اینجا اعداد مختلط در نظر گرفتم. این حلقه در حقیقت شامل تمام چند جمله ای های سه متغیره ای هست که در معادله ی مذکور صدق می کنند، مخرج شامل ایده آل تولید شده توسط آن معادله است.
به این حلقه، حلقه ی مختصاتی واریته می گویند. واریته ما همان صفر های چند جمله ای مذکور است که به کمک ایده آل آن مخرج را ساختیم. این یک واریته ساده است که تنها از یک معادله تشکیل شده است. می توان یک واریته را به کمک چند معادله ساخت.
همانطور که در پست قبل اشاره کردم، وقتی واریته ای را با یک چند جمله ای تعریف می کنیم، به راحتی می توان به کمک آن چند جمله ای ایده آلی تولید کرد، بنابر این هر واریته ای را می توان با یک ایده آل مشخص کرد. حال می توان معنای این دو نماد را فهمید:
V(J)
I(X)
به عنوان مثال در کتاب Hulek این دو نماد در صفحه 17 تعریف شده اند. V(J) یعنی واریته ای که توسط ایده آل J تعریف می گردد. این واریته شامل نقاطی است که تمام اعضای ایده آل J را همزمان صفر می کند. همچنین I(X) تقریباً برعکس عمل می کند، یعنی زیر مجموعه ای از نقاط فضا به نام X را به آن می دهیم و خروجی ایده آلی است که روی X صفر می شود.
نکته مهم این است که این دو تابع لزوماً معکوس یک دیگر نیستند، یعنی ترکیب آن ها لزوماً تابع همانی را تولید نمی کند. روابط بین این دو و لم ها و قضایای آن در کتاب هولک موجود است.
پ. ن: برای شروع کتاب Hulek را برای مطالعه پیشنهاد می کنم.
#MojeeNC
@harmoniclib
برای ملموس تر شدن بحث ابتدا چند نکته از هندسه تصویری را عرض می کنم:
فرض کنید یک مقطع مخروطی ساده داریم (سهمی)، طبق توضیحات قبل به صورت پیش فرض می توان آن را در فضای آفین A^2 در نظر گرفت:
y-x^2 = 0
حال قصد داریم به خاطر مزایای هندسه تصویری که به آن اشاره کردم این معادله را به فضای تصویری منتقل کنم، از یک تغییر متغیر ساده برای این کار استفاده می کنم تا به معادله همگن زیر برسم:
x --> X/Z
y --> Y/Z
YZ - X^2 = 0
این معادله را می توان معادله ای از فضای P^1 در نظر گرفت. چرا توان P در اینجا 1 است؟ با این که نقاط فضای P^1 دارای دو مختصه هستند (چرا که از روی R^2 ساخته شده است) ولی در عین حال به خاطر وابسته بودن این دو مختصه به هم دیگر یک بعدی است.
نقاط P^1 را به صورت (x:y) نشان می دهند تا به اهمیت نسبت آن ها به هم دیگر تأکید کنند، چرا که در فضای تصویری نسبت مختصات اهمیت دارد نه مقدار محض آن ها... (به تعریف فضای تصویری برای یادگیری بیشتر رجوع کنید).
حال بر روی میدان اسکالر مورد نظر (معمولاً اسکالر ها را از فضای اعداد مختلط انتخاب می کنند) یک حلقه به صورت زیر می سازیم:
k[X, Y, Z]/<YZ - X^2>
که میدان کا را در اینجا اعداد مختلط در نظر گرفتم. این حلقه در حقیقت شامل تمام چند جمله ای های سه متغیره ای هست که در معادله ی مذکور صدق می کنند، مخرج شامل ایده آل تولید شده توسط آن معادله است.
به این حلقه، حلقه ی مختصاتی واریته می گویند. واریته ما همان صفر های چند جمله ای مذکور است که به کمک ایده آل آن مخرج را ساختیم. این یک واریته ساده است که تنها از یک معادله تشکیل شده است. می توان یک واریته را به کمک چند معادله ساخت.
همانطور که در پست قبل اشاره کردم، وقتی واریته ای را با یک چند جمله ای تعریف می کنیم، به راحتی می توان به کمک آن چند جمله ای ایده آلی تولید کرد، بنابر این هر واریته ای را می توان با یک ایده آل مشخص کرد. حال می توان معنای این دو نماد را فهمید:
V(J)
I(X)
به عنوان مثال در کتاب Hulek این دو نماد در صفحه 17 تعریف شده اند. V(J) یعنی واریته ای که توسط ایده آل J تعریف می گردد. این واریته شامل نقاطی است که تمام اعضای ایده آل J را همزمان صفر می کند. همچنین I(X) تقریباً برعکس عمل می کند، یعنی زیر مجموعه ای از نقاط فضا به نام X را به آن می دهیم و خروجی ایده آلی است که روی X صفر می شود.
نکته مهم این است که این دو تابع لزوماً معکوس یک دیگر نیستند، یعنی ترکیب آن ها لزوماً تابع همانی را تولید نمی کند. روابط بین این دو و لم ها و قضایای آن در کتاب هولک موجود است.
پ. ن: برای شروع کتاب Hulek را برای مطالعه پیشنهاد می کنم.
#MojeeNC
@harmoniclib