پرده‌ی اول: تابع با ضابطه‌ی

f(x)=x² 😊

من یک تابع پیوسته روی اعداد حقیقی هستم. هر عدد حقیقی a و هر عدد مثبت دلخواهی مانند اپسیلون که به من معرفی کنی، من می‌توانم یک همسایگی حول a به تو معرفی کنم که به ازای هر نقطه مانند x در درون آن همسایگی، فاصله‌ی
f(x)
و
f(a)
از اپسیلون کمتر باشد.

پرده‌ی دوم: تابع با ضابطه‌ی

g(x)=1/(1+x²) ☺️

من یک تابع پیوسته‌ی یکنواخت روی اعداد حقیقی هستم. هر عدد مثبت دلخواهی مانند اپسیلون که به من معرفی کنی من می‌توانم عددی مثبت مانند دلتا به تو معرفی کنم که اگر فاصله‌ی دو نقطه‌ی دلخواه در دامنه‌ام از دلتا کمتر بود، خیالت راحت باشد که فاصله‌ی مقادیرم در آن دو نقطه از اپسیلون کوچکتر باشد. واضح است که اگر عددی حقیقی مانند a به من معرفی کنی من در a پیوسته هستم.

پرده‌ی سوم: تابع x² 😔

پیوستگی یکنواخت خاصیتی است که متأسفانه من نمی‌توانم داشته باشم. من نمی‌توانم برای هر اپسیلون مثبتی که به من معرفی می‌کنی، عددی مثبت مانند دلتا به تو معرفی کنم که برای دو نقطه‌ی دلخواه در دامنه‌ام با فاصله‌ی کوچکتر از دلتا، فاصله‌ی مقادیرشان از اپسیلون تو کمتر باشد. این به این خاطر است که رشد من در اعداد مثبتِ خیلی بزرگ یا اعداد منفیِ خیلی کوچک، آن‌قدر زیاد است که حتی نقاط با فاصله‌ی خیلی کم هم اختلاف مقادیرشان بسیار بزرگ می‌شود. خیلی بزرگتر از اپسیلونی که تو در ذهن داری!

دکتر حسین زارع
@harmoniclib

سبک دوم (با استفاده از مفهوم مدول پیوستگی)

حسین و مهدی دو دوست هستند.

حسین: مهدی بیا نگاهی به نمودار این دو تابع بنداز میخوام یه نکته‌ای بگم.

مهدی: حسین باز شروع کردی؟ بی‌خیال بابا. خسته نشدی این‌قدر به این نمودارها زل زدی؟

حسین: مهدی جان من با این نمودارها و فرمول‌ها عشق می‌کنم.

مهدی: دست خوش. حالا چی میخوای بگی؟

حسین: ببین به‌نظرت یه فرقی بین پیوستگی تابع رادیکال x روی اعداد نامنفی و تابع
1/x
روی اعداد حقیقی مثبت نیست؟

مهدی: خب تفاوتی که واضحه اینه که رادیکال x از صفر به بی‌نهایت صعود می‌کنه ولی
1/x
از مثبت بی‌نهایت میاد به سمت صفر.

حسین: آره ولی این اون چیزی نیست که میخوام بگم. ببین اگر یک بازه‌ی بسته در دامنه‌‌ی اینا در نظر بگیریم و اختلاف بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع رو توی این بازه حساب کنیم، با کوچکتر کردن طول بازه این اختلاف یه رفتار دوگانه‌ای از خودش نشون میده.

مهدی: چه رفتار دوگانه‌ای؟

حسین: توی رادیکال x اگر طول بازه‌مون رو به صفر میل بدیم، اون اختلافه هم به صفر میل می‌کنه. در حالی که توی
1/x
اینجوری نیست. هر چی بازه‌ی ما به صفر نزدیک‌تر باشه اختلاف مقادیر تابع در دو سر بازه، بزرگ و بزرگتر میشه.

مهدی: خب این توی رادیکال x اتفاق نمی‌افته؟ آخه اونجا هم وقتی xها رو بزرگ انتخاب می‌کنی اختلاف مقدارهای تابع زیاد میشه.

حسین: نه ببین طول بازه رو که کم کنی اون اختلاف ماکسیمم و مینیمم هم کمتر میشه. مثلاً فرض کن ابتدای بازه‌مون a باشه و انتهاش
a+t.

چون تابع رادیکال صعودیه، اختلاف مورد نظر ما میشه:

√(a+t)-√a=t/(√(a+t)+√a)

وقتی t به صفر میل کنه، a هرچقدر هم بزرگ باشه این اختلاف به صفر میل می‌کنه.

ولی مثلاً توی تابع
1/x

اختلاف مقادیر ماکسیمم و مینیمم تابع در دو نقطه‌ی نزدیک به صفر، به صفر میل نمی‌کنه.

1/a-1/(a+t)=t/(a²+at)

اگر a رو خیلی به صفر نزدیک کنیم، حتی کم کردن طول بازه هم بی‌تأثیره و این کسر به صفر میل نمی‌کنه.

مهدی: چه جالب. این چه خاصیتی‌ه؟

حسین: بهش می‌گیم پیوستگی یکنواخت. البته دقت کن وقتی همین تابع
1/x
رو به یه بازه‌ی بسته محدود کنیم دیگه این اتفاق رخ نمی‌ده. در واقع، کانتور ثابت کرد هر تابع پیوسته روی یک مجموعه‌ی فشرده به طور یکنواخت پیوسته‌ست و بازه‌های بسته در اعداد حقیقی هم نمونه‌هایی از مجموعه‌های فشرده هستن.

دکتر حسین زارع
@harmoniclib

کارگاه حل مساله
👇👇👇
https://t.iss.one/solvingmathematics

فرکتال یا برخال
@harmoniclib

شاید گاهی ندانیم که بعضی چیزها آنطور که باید خوب نیستند، اما آگاهی به آنها و این که می‌توانیم برای بهبودشان به سهم خودمان گامی کوچک برداریم، ما را به انجام کار درست تشویق می‌کند‌.
امید است که آگاهی‌بخشی این ویدئو، موجب حمایت فعالانه از کارزار "تسهیل خدمات بانکی نابینایان و کم‌بینایان" باشد.

https://www.karzar.net/113266

@harmoniclib

گرایش هندسه و کاربردهای آن در کامپیوتر (Geometric Computing یا Computational Geometry) یکی از زمینه‌های مهم و پرکاربرد در علوم کامپیوتر و ریاضیات است. این گرایش به مطالعه و پیاده‌سازی الگوریتم‌ها و ساختارهای داده‌ای می‌پردازد که برای حل مسائل هندسی طراحی شده‌اند. مباحث اصلی این گرایش شامل موارد زیر است:

1. الگوریتم‌های هندسی:
- الگوریتم‌های ترتیبی: الگوریتم‌های پایه‌ای مانند مرتب‌سازی هندسی، پیدا کردن جفت نزدیکترین نقاط (Closest Pair)، و الگوریتم‌های محدب‌سازی (Convex Hull).
- الگوریتم‌های موازی و توزیع‌شده: برای پردازش داده‌های بزرگتر و افزایش کارایی.

2. ساختارهای داده‌ای هندسی:
- درخت‌های جستجوی چندبعدی: مانند درخت‌های کی-دی (k-d trees)، درخت‌های محدوده (Range trees)، و درخت‌های اوکت (Octrees).
- ساختارهای تقسیم‌بندی فضا: مانند دیاگرام ورونوی (Voronoi diagrams) و مثلث‌بندی دلونی (Delaunay triangulation).

3. پردازش هندسه محاسباتی در گرافیک کامپیوتری:
- رندرینگ: تکنیک‌های مختلف رندرینگ و شبیه‌سازی نور.
- مدلسازی سه‌بعدی: ساخت و مدیریت مدل‌های سه‌بعدی و تبدیل‌های هندسی.

4. هندسه محاسباتی در روباتیک:
- برنامه‌ریزی مسیر: الگوریتم‌هایی برای پیدا کردن کوتاه‌ترین یا بهینه‌ترین مسیر.
- نقشه‌برداری و مکان‌یابی: ایجاد و مدیریت نقشه‌های سه‌بعدی و پیدا کردن موقعیت.

5. هندسه محاسباتی در سیستم‌های اطلاعات جغرافیایی (GIS):
- تحلیل داده‌های مکانی: روش‌های مختلف برای پردازش و تحلیل داده‌های جغرافیایی.
- نمایش و تجسم داده‌های جغرافیایی: تکنیک‌های نمایش داده‌های مکانی در نقشه‌ها.

6. تئوری گراف و کاربردهای آن:
- مسیرها و شبکه‌ها: بررسی و تحلیل مسیرهای بهینه و شبکه‌های پیچیده.
- نظریه گراف‌های هندسی: مطالعه ویژگی‌های گراف‌هایی که در فضاهای هندسی تعبیه شده‌اند.

7. پردازش تصاویر و بینایی ماشین:
- تشخیص الگو: شناسایی و تفکیک اشکال و الگوها در تصاویر.
- بازسازی سه‌بعدی: از تصاویر دو‌بعدی به مدل‌های سه‌بعدی.

این گرایش ترکیبی از ریاضیات پیشرفته، الگوریتم‌های کامپیوتری، و کاربردهای عملی در زمینه‌های مختلفی همچون گرافیک کامپیوتری، روباتیک، سیستم‌های اطلاعات جغرافیایی، و پردازش تصاویر است. این ترکیب باعث می‌شود تا متخصصان در این حوزه قادر باشند مسائل پیچیده هندسی را با استفاده از تکنیک‌های کامپیوتری حل کنند.


@harmoniclib

⚡هندسه گسسته که اغلب با هندسه محاسباتی اشتباه گرفته می‌شود، فرق دارد. در ایران متخصص هندسه گسسته نداریم ولی تعداد انگشت شمار در هندسه محاسباتی کار میکنند.



هندسه گسسته و هندسه محاسباتی هر دو شاخه‌هایی از ریاضیات و علوم کامپیوتر هستند که به بررسی و تحلیل اشکال هندسی می‌پردازند، اما تفاوت‌های اساسی در تمرکز، روش‌ها و کاربردهای آن‌ها وجود دارد. در ادامه، به تفاوت‌های اصلی بین این دو شاخه پرداخته می‌شود:

### هندسه گسسته (Discrete Geometry)

1. تمرکز اصلی:
- هندسه گسسته به بررسی و تحلیل اشکال هندسی در فضاهای گسسته و محدود می‌پردازد. این شامل مطالعه چندوجهی‌ها، شبکه‌ها، گراف‌های هندسی، و ساختارهای ترکیبیاتی است.

2. موضوعات و مباحث:
- چندوجهی‌ها و پلی‌توپ‌ها
- مسائل پوشش‌دهی و بسته‌بندی
- شبکه‌های هندسی
- گراف‌های هندسی
- ترکیبات هندسی
- مسائل تیلینگ (Tiling)
- نظریه اعداد هندسی

3. روش‌ها:
- استفاده از تکنیک‌های ترکیبیاتی و نظریه گراف
- شمارش و تحلیل آرایش‌های مختلف اشیاء هندسی
- به کارگیری روش‌های تحلیلی برای مسائل گسسته

4. کاربردها:
- طراحی شبکه‌های کامپیوتری
- تحلیل داده‌های گرافی
- حل مسائل ترکیبیاتی
- کاربردهای در علوم داده و تئوری پیچیدگی

### هندسه محاسباتی (Computational Geometry)

1. تمرکز اصلی:
- هندسه محاسباتی به مطالعه و پیاده‌سازی الگوریتم‌ها و ساختارهای داده‌ای برای حل مسائل هندسی در کامپیوتر می‌پردازد. این شامل طراحی و تحلیل الگوریتم‌های هندسی برای مسائل مختلف است.

2. موضوعات و مباحث:
- الگوریتم‌های هندسی (مثل الگوریتم‌های محدب‌سازی، پیدا کردن نزدیکترین نقاط)
- ساختارهای داده‌ای هندسی (مثل درخت‌های کی-دی، درخت‌های محدوده)
- مسائل برخورد و تقاطع
- محاسبات با داده‌های مکانی
- شبیه‌سازی و رندرینگ در گرافیک کامپیوتری
- برنامه‌ریزی مسیر و تحلیل حرکت در روباتیک

3. روش‌ها:
- طراحی و تحلیل الگوریتم‌ها
- استفاده از ساختارهای داده‌ای کارا برای مدیریت داده‌های هندسی
- پیاده‌سازی و ارزیابی کارایی الگوریتم‌ها در حل مسائل واقعی

4. کاربردها:
- گرافیک کامپیوتری و رندرینگ سه‌بعدی
- روباتیک و برنامه‌ریزی مسیر
- سیستم‌های اطلاعات جغرافیایی (GIS)
- پردازش تصاویر و بینایی ماشین
- واقعیت مجازی و افزوده

### تفاوت‌های کلیدی:

1. تمرکز علمی:
- هندسه گسسته بیشتر بر روی مسائل تئوری و ساختاری تمرکز دارد، در حالی که هندسه محاسباتی بیشتر بر روی طراحی و پیاده‌سازی الگوریتم‌ها و حل مسائل عملی با استفاده از کامپیوتر تمرکز دارد.

2. روش‌ها و ابزارها:
- هندسه گسسته از روش‌های ترکیبیاتی، شمارش و نظریه گراف استفاده می‌کند. هندسه محاسباتی از روش‌های طراحی الگوریتم، تحلیل پیچیدگی، و ساختارهای داده‌ای بهره می‌برد.

3. کاربردها:
- کاربردهای هندسه گسسته بیشتر در زمینه‌های تئوری، ترکیبات و تحلیل داده‌های گرافی است. کاربردهای هندسه محاسباتی بیشتر در زمینه‌های عملی مانند گرافیک کامپیوتری، روباتیک، GIS و بینایی ماشین است.

در نهایت، هر دو شاخه دارای همپوشانی‌هایی هستند و در برخی موارد از تکنیک‌ها و مفاهیم مشترک استفاده می‌کنند، اما تفاوت‌های اساسی در رویکرد و کاربردهای آن‌ها وجود دارد.


@harmoniclib

در جلسه هفتم توپولوژی را وارد میدان می‌کنیم.

پنجشنبه ساعت ۱۶

توپولوژی چه تاثیری در جمع زدن خواهد داشت؟!

🔴شرکت در این جلسات رایگان است .

🆔برای ثبت نام به آیدی @iust_ssc_admin  مراجعه کنید.
@harmoniclib

#کمدی_ریاضی
اگه گفتین چی شد؟!
@harmoniclib

طول دوره دکتری ریاضی در فرانسه معمولاً ۳ سال است. این دوره شامل تحقیق و نگارش پایان‌نامه دکتری می‌شود و ممکن است در برخی موارد تا ۴ سال نیز طول بکشد. دوره دکتری معمولاً پس از اتمام مقطع کارشناسی ارشد شروع می‌شود و شامل فعالیت‌های پژوهشی، شرکت در سمینارها و تدریس به دانشجویان مقطع پایین‌تر نیز می‌باشد.


@harmoniclib