اخبار و کتاب های ریاضی

نگاهي به يكي از شاهكارهاي فكر بشري در ٩ گام موضوع يادداشت حاضر، نگاهي گام به گام به يكي از مهمترين و عجيب ترين دانسته هاي ما در باب بی نهایت ها و این که چه طور می شود یک بی نهایت از بی نهایتی دیگر، بزرگتر باشد؛ خواهد بود. این امر که توسط کانتور، ریاضیدان…

گام ششم) برای این بخواهیم نشان دهیم که دو مجموعه نامتناهی اعداد طبیعی و اعداد حقیقی، هم اندازه نیستند؛ باید اثبات کنیم هیچ تناظر 1-1 میان این دو مجموعه ممکن نیست تعریف شود. برای این کار از روشی به نام برهان خلف اثبات می کنیم. برهان خلف یعنی فرض می کنیم خلاف چیزی که مدنظر است درست است و نشان می دهیم که اگر این طور باشد تناقضی بروز می کند و در نتیجه فرض خلافی که داشته ایم نادرست است. از این روش در زندگی روزمره هم استفاده می کنیم. مثلا فرض کنید می خواهید بگویید باران نیامده است و طرف مقابل شما قبول نمی کند. به او می گویید خب فرض کنیم باران آمده بود در این صورت زمین خیس می شد، اما ببین، زمین ها خشک است پس باران نباریده است!

گام هفتم) حالا می خواهیم با روش برهان خلف نشان دهیم که هیچ تناظر 1-1 میان اعداد طبیعی و اعداد حقیقی وجود ندارد. براساس روشی که در گام ششم گفتیم، فرض می کنیم چنین تناظری وجود دارد (فرض خلف) یعنی توانسته ایم اعداد حقیقی و اعداد طبیعی را به نحوه ای، در تناظر 1-1 قرار دهیم. (اصلا مهم نیست چه عددی با چه عددی فقط کافیست تناظر 1-1 باشد)؛ این تناظر به این معناست که توانسته ایم اعداد اعشاری را به نحوی ( هر نحوی که اصلا در این جا مهم نیست) لیست کنیم و بگوییم عدد اعشاری اول (عددی که با یک در تناظر است)، عدد اعشاری دوم (عددی که با دو متناظر است و ...) نکته مهم این گام این است که چون فرض کرده ایم تناظر 1-1 برقرار شده بدین معناست که تمام اعداد حقیقی یا اعشاری، در لیست بالا گنجانده می شوند و هیچ عددی از لیست نباید بیرون بماند.

گام هشتم) (لب کار کانتور): بنا به نتیجه گیری پایان گام هفتم، اگر تنها یک عدد از لیست بیرون بماند، یعنی فرض خلف ما اشتباه بوده و تناظر 1-1 امکان ندارد (لطفا روی معنای این امر خوب دقت کنید) حالا کانتور به نحوه ای جادویی و ساده این عدد خارج از لیست را می سازد. این عدد اعشاری بیرون مانده از لیست( که از الان به آن "ق" می گوییم، را این طور می سازیم: رقم اول اعشار ق برابر است با رقم اول اعشار عددی که در لیستی که در گام هفتم ساختیم بعلاوه یک. مثلا فرض کنید عدد اعشاری که با عدد طبیعی 1 تناظر پیدا کرده باشد: 0.357 در این صورت رقم اول اعشار عدد ق برابر می شود با 4 (3+1) به همین ترتیب رقم دوم اعشار عدد ق برابر است با رقم دوم اعشار عدد دوم لیست+ 1 و به همین ترتیب تمامی ارقام اعشاری این عدد قابل ساختن است، کافیست به مرتبه آن رقم نگاه کنیم و نظیرش را در لیستی که در تناظر 1-1 میان اعداد طبیعی و حقیقی داریم؛ بیابیم. بعد از ساختن عدد ق، به این امر توجه می کنیم که این عدد در عین حال که یک عدد حقیقی است اما نمی تواند در لیست تناظر با اعداد طبیعی باشد. چرا؟ چون عدد ق نمی تواند عددی باشد که با 1 در تناظر است چون رقم اول اعشارش با عددی که با 1 در تناظر است فرق دارد (دو عدد اعشاری وقتی با هم برابرند که تمامی ارقامشان با هم برابر باشند.)؛ عددم دوم هم نمی تواند باشد چون رقم دومش با آن فرق دارد و به همین ترتیب ق عددی است که با هیچ کدام از اعداد حاضر در لیست برابر نیست و این یعنی فرض خلف ما باطل است و هیچ تناظر 1-1 نمی تواند بین اعداد طبیعی و اعداد حقیقی برقرار باشد.

گام نهم: برگردیم به ابتدای کار، ما نشان دادیم که هیچ تناظری نمی تواند بین اعداد طبیعی و حقیقی برقرار شود و بخشی از اعداد حقیقی همیشه از هر نوع تناظری که بخواهیم برقرار کنیم بیرون می مانند و این یعنی بی نهایت آن ها با هم فرق دارد. بی نهایت اعداد حقیقی که به آن الف یک می گوییم، از بی نهایت اعداد طبیعی که الف صفر می گوییم، بزرگ تر است!!!

پ.ن: جالب است بدانیم که کانتور ثابت کرد، از بی نهایت اعداد حقیقی بزرگتر هم داریم. در واقع، سلسه بی نهایت ها، تمامی ندارد. از هر مجموعه بی نهایتی که در نظر بگیریم، باز هم می شود بی نهایت بزرگتری تولید کرد....

در وصف شاهكار كانتور، بهترين عبارتي كه به نظرم مي رسد همان است كه بیش از صد سال قبل، هيلبرت، رياضي دان بزرگ گفته بود: هيچ كس نمي تواند ما را از بهشتي كه كانتور برايمان خلق كرده، بيرون كند.

م.ج. سميعي
@harmoniclib

3.67K views09:12