Прямоугольник составлен из шести квадратов.
Найдите сторону самого большого квадрата, если сторона самого маленького равна 1.

📜 Листок #длины

В некоторой стране N городов, любые два из которых соединены дорогой.
Докажите, что число дорог равно N(N − 1)/2.

📜 Листок #дороги

В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник заметил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число, составленное из цифр-названий делится на три.
Можно ли добраться из города 1 в город 9?

📜 Листок #дороги

В государстве 100 городов, и из каждого выходит по 4 дороги.
Сколько всего дорог в государстве?

📜 Листок #дороги

В Совершенном городе шесть площадей. Каждая площадь соединена прямыми улицами ровно с тремя другими. Никакие две улицы в городе не пересекаются. Из трёх улиц, отходящих от каждой площади, одна проходит внутри угла, образованного двумя другими.
Начертите возможный план такого города.

📜 Листок #дороги

Любознательный турист хочет прогуляться по улицам Старого города от вокзала (точка A на плане) до своего отеля (точка B). Он хочет, чтобы его маршрут был как можно длиннее, но дважды оказываться на одном и том же перекрёстке ему неинтересно, и он так не делает.
Нарисуйте на плане самый длинный возможный маршрут и докажите, что более длинного нет.

📜 Листок #дороги

В стране 96 городов, из которых 24 — "областные". Некоторые пары городов соединены между собой дорогами (но не более чем одной), причём любой путь по дорогам между двумя обычными городами, если он есть, проходит хотя бы через один "областной" город.
Какое наибольшее количество дорог могло быть в этой стране?

📜 Листок #дороги

В чемпионате по футболу участвуют 16 команд. Любые две команды играют друг с другом два матча: по разу на поле каждого из соперников. В футболе за победу в матче даётся 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков.

1) Какое максимальное и какое минимальное количество очков может набрать команда, участвующая в чемпионате?

2) Какое минимальное и какое максимальное количество очков могут набрать в сумме все команды?

📜 Листок #дороги

В шахматном турнире приняло участие несколько человек. Каждый сыграл с каждым ровно одну партию. Оказалось, что все, кроме Гоши, набрали одинаковое количество очков.
Докажите, что Гоша либо у всех выиграл, либо всем проиграл. (В шахматах за победу даётся 1 очко, за ничью — 1/2 очка, за поражению — 0 очков.)

📜 Листок #дороги

У одного из трех друзей: Робина, Джона и Тука есть костюм нищего, у другого – принца, а третий изловчился и достал костюм рыцаря. Если у Тука костюм принца, то у Джона костюм нищего, если у Тука костюм нищего, то у Джона есть шлем. Если у Джона не костюм принца, то и у Робина его тоже нет, если у Робина костюм рыцаря, то у Тука – костюм нищего.
У кого какой костюм?

Wikipedia

📜 Листок #от_противного

В рыцарском турнире было 30 участников. У каждого из них было на 4 меча: железный, стальной, серебряный и деревянный. После сражения они обмениваются мечами (одним или несколькими). Могло ли после нескольких боёв получиться так, что у каждого рыцаря все 4 меча будут из одного материала?

📜 Листок #от_противного

На ярмарке было 11 площадок, на которых проходили соревнования. На каждой прошло хотя бы одно. После каждого соревнования составлялся список из 10 лучших участников именно этого тура. После ярмарки оказалось, 1 что если взять по одному любому списку с каждой площадки, то найдётся хотя бы 1 участник, который есть в каждом из 11 списков. Докажите, что есть по крайней мере одна площадка, во всех списках которой записан один и тот же участник.

📜 Листок #от_противного

У шерифа есть 5 сундуков, стоящих в ряд, и 3 килограмма монет, он разложил монеты по сундукам. Не обязательно, что в каждом сундуке есть монеты, и не обязательно он раскладывал поровну. Робин Гуд хочет выкрасть монеты, но действовать надо быстро, поэтому он может взять только 2 сундука, которые стоят рядом. Какую массу монет он может гарантированно унести?

📜 Листок #от_противного

В мешках лежат 2000 монет, за один ход можно либо убрать мешок, либо вытащить из одного мешка несколько монет. Докажите, что за несколько ходов можно сделать так, чтобы во всех оставшихся мешках было одинаковое число монет, а также суммарное число монет быть не меньше 100?

📜 Листок #от_противного

На очередном турнире по стрельбе из лука было 2 команды, по 20 участников в каждой. Одна команда состояла из придворных принца, которые всегда лгут, а другая из доблестных рыцарей, которые всегда говорят правду. После турнира каждого участника спросили: "Сколько твоих стрел попали в цель?". Все дали один из трёх ответов: 1, 3 или 5. И только Хисс ответил, что 2 его стрелы попали в цель. Кем был Хисс, придворным или рыцарем, если известно, что рыцари выиграли со счётом 44:37.

📜 Листок #от_противного

Может ли произведение четырех последовательных натуральных чисел оканчиваться на 252?

📜 Листок #делимость
Wikipedia

Лунтик назвал гусеницам два числа: x и y. Вупсень перемножил x и сумму цифр y и получил 202220222022, а Пупсень перемножил y и сумму цифр x и получил 202320232023. Правильно ли посчитали гусеницы?

📜 Листок #делимость

Может ли число, сумма цифр которого равна 300153, быть квадратом целого числа?

📜 Листок #делимость
Признаки делимости

У Серёжи есть две цифры 2, цифра 4 и цифра 1, а также бесконечно много цифр 0. Он утверждает, что для любого натурального n < 100 он сможет написать число, кратное n, использовав все четыре ненулевые цифры и несколько нулей. Прав ли он?

📜 Листок #делимость