У короля было три сына. Каждый из его потомков либо умер на дуэли в юности, либо правил королевством и также имел трех сыновей. Известно, что его династия закончилась на 17-ом правителе. Сколько потомков короля умерло на дуэли?

📜 Листок #два_способа

На шахматной доске 9×9 расставлены 9 ладей, не бьющих друг друга. Каждую из этих ладей передвинули ходом коня. Докажите, что теперь какие-то две ладьи бьют друг друга.

📜 Листок #два_способа

Можно ли в прямоугольной таблице 5×10 так расставить числа, чтобы сумма чисел каждой строки равнялась бы 30, а сумма чисел каждого столбца равнялась бы 10?

📜 Листок #два_способа

На бал приехали принцы и принцессы. Не лишённая чувства юмора Королева может расставить всех принцесс в шесть колонн так, чтобы все рыжие принцессы заняли ровно две колонны. Не лишённый военного воспитания Король может расставить всех рыжих гостей в восемь шеренг так, что принцессы займут ровно две шеренги. Кого на балу больше: рыжих или принцесс?

📜 Листок #два_способа

Можно ли расставить в вершины правильного десятиугольника целые числа так, чтобы сумма каких-то трех идущих подряд была равно 1, каких-то трех идущих подряд 2, . . . каких-то трех идущих подряд 10?

📜 Листок #два_способа

Сколько существует четырёхзначных чисел, которые делятся на 4, а также в их записи нет цифр 4, 3, 2, 6?

📜 Листок #комбинаторика

Антон и Артём выписывали пятизначные числа. Антон выписывал только те числа, которые не делятся на 5, а Артём - числа, у которых ни первая, ни вторая цифры не равны 3. Кто выписал больше чисел, Антон или Артём?

📜 Листок #комбинаторика

В каждую клетку квадратного поля 3х3 ставят число 1, 2 или 3. Сколько существует таких расстановок, если одинаковые числа не могут стоять двух клетках, соседних по стороне?

📜 Листок #комбинаторика

Найдите количество решений уравнения x + y + z = 12, где все переменные принимают только целые неотрицательные значения.

📜 Листок #комбинаторика

Число называется палиндромом, если оно читается одинаково справа налево и слева направо. Сколько существует пятизначных палиндромов, которые не делятся на 2?

📜 Листок #комбинаторика

Найдите количество натуральных делителей числа 720.

📜 Листок #комбинаторика

Все натуральные числа красят в 2 цвета. Для каждой раскраски должно выполняться 3 условия:

1. Числа, разность которых равна 8, покрашены в один цвет.
2. Числа 25 и 44 покрашены в красный.
3. Числа 16, 37 и 6 синего цвета.

Сколько раскрасок, удовлетворяющих данному условию, существует?

📜 Листок #комбинаторика

Лягушка прыгает по точкам координатной плоскости с целыми координатам. Из точки (x, y) лягушка за один прыжок может попасть в точку (x + 1, y), (x + 2, y), (x, y + 1) или (x, y + 2). Сколькими способами лягушка может попасть из точки (0, 0) в точку (4, 4)?

📜 Листок #комбинаторика

Сколько существует способов поставить на шахматную доску слона и короля так, чтобы ровно одна фигура била другую?

📜 Листок #комбинаторика

Шпион смог пробраться в офис одного крупного мошенника. Там он нашёл сейф с секретной документацией. Шпион знает, что в пятизначном коде есть числа 45 и 58. Чтобы открыть сейф, нужно правильно набрать код. Какое наименьшее количество кодов необходимо перебрать, чтобы наверняка открыть сейф?

📜 Листок #комбинаторика

У фокусника есть шесть карточек, пронумерованных от 1 до 6. Найдите количество способов выложить эти карточки в ряд так, чтобы при убирании одной карточки все оставшиеся лежали в порядке возрастания или убывания их номеров.

📜 Листок #комбинаторика

12 школьников играют в чехарду: каждую секунду двое из них, стоящие через одного, могут, прыгнув, поменяться местами. Если окажется, что они стоят в обратном порядке по сравнению с исходным, игра заканчивается. Закончится ли игра?

📜 Листок #инвариант

Инвариант - это величина или свойство, которые не меняются в условиях задачи, остаются постоянными.
Полуинвариант - это величина, которая может меняться, но при этом в одну сторону: всегда уменьшается или всегда увеличивается.
В каждой задаче этого листка нужно найти инвариант или полуинвариант.

Петя упражняется в счёте. Мария Ивановна написала на доске число 9 и сказала прибавлять к этому числу сумму его цифр. Можно ли за некоторое количество таких действий получить число 32 407 891?

📜 Листок #инвариант

Изначально на доске написаны числа 3, 14, 15 и 92. Разрешается взять любые два из написанных чисел a и b, стереть их. А на их месте написать числа 5a − 4b − 1 и 5b − 4a + 3. Можно ли такими операциями получить числа 16, 27, 91 и 111?

📜 Листок #инвариант

По кругу расставлены 8 чисел: семь "1" и одна "–1". Разрешается любые подряд идущие 4 числа умножить на – 1. Можно ли таким образом добиться чтобы все числа стали равны 1?

📜 Листок #инвариант