На шахматной доске стоят 8 ладей, никакие две из которых не бьют друг друга.
Докажите, что число ладей, стоящих на чёрных полях, чётно.

📜 Листок #ладья

Merry Christmas!

На шахматной доске 4×4 расположена фигура "летучая ладья", которая ходит так же, как обычная ладья, но не может за один ход встать на поле, соседнее с предыдущим.
Может ли она за 16 ходов обойти всю доску, побывав в каждой клетке по разу, и вернувшись на исходное поле?

📜 Листок #ладья

На полях a1, a2 и b1 шахматной доски стоят соответственно белая, чёрная и красная ладьи. Разрешается делать ходы по обычным правилам, однако после любого хода каждая ладья должна быть под защитой какой-нибудь другой ладьи (т.е. в одной горизонтали или вертикали с другой ладьёй).
Сколько ещё других расстановок этих ладей можно получить из исходной расстановки?

📜 Листок #ладья

На шахматную доску по очереди выставляются ладьи так, что каждая нечётная по очереди выставленная ладья никого не бьёт, а каждая чётная бьёт ровно одну выставленную ранее.
Какое наибольшее количество ладей можно поставить на доску по этим правилам?

📜 Листок #ладья

Отрезок, равный 28 см, разделён на три (возможно неравных) отрезка. Расстояние между серединами крайних отрезков равно 16 см.
Найдите длину среднего отрезка.

📜 Листок #длины

На стороне AC треугольника ABC отметили точку E.
Известно, что периметр треугольника ABC равен 25 см, треугольника ABE — 15 см, треугольника BCE — 17 см.
Найдите длину отрезка BE.

📜 Листок #длины

Длина стороны AC треугольника ABC равна 3.8 см, длина стороны AB — 0.6 см. Известно, что длина BC — целое число.
Чему она может быть равна?

📜 Листок #длины

Прямоугольник разбит на 9 меньших прямоугольников. Периметры трёх из них указаны на рисунке. Найдите периметр прямоугольника P4.

📜 Листок #длины

Квадрат ABCD со стороной 2 и квадрат DEFK со стороной 1 стоят рядом на верхней стороне AK квадрата AKLM со стороной 3. Между парами точек A и E, B и F, C и K, D и L натянуты паутинки. Паук поднимается снизу вверх по маршруту AEFB и спускается по маршруту CKDL. Какой маршрут короче?

📜 Листок #длины

Прямоугольник составлен из шести квадратов.
Найдите сторону самого большого квадрата, если сторона самого маленького равна 1.

📜 Листок #длины

В некоторой стране N городов, любые два из которых соединены дорогой.
Докажите, что число дорог равно N(N − 1)/2.

📜 Листок #дороги

В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник заметил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число, составленное из цифр-названий делится на три.
Можно ли добраться из города 1 в город 9?

📜 Листок #дороги

В государстве 100 городов, и из каждого выходит по 4 дороги.
Сколько всего дорог в государстве?

📜 Листок #дороги

В Совершенном городе шесть площадей. Каждая площадь соединена прямыми улицами ровно с тремя другими. Никакие две улицы в городе не пересекаются. Из трёх улиц, отходящих от каждой площади, одна проходит внутри угла, образованного двумя другими.
Начертите возможный план такого города.

📜 Листок #дороги

Любознательный турист хочет прогуляться по улицам Старого города от вокзала (точка A на плане) до своего отеля (точка B). Он хочет, чтобы его маршрут был как можно длиннее, но дважды оказываться на одном и том же перекрёстке ему неинтересно, и он так не делает.
Нарисуйте на плане самый длинный возможный маршрут и докажите, что более длинного нет.

📜 Листок #дороги

В стране 96 городов, из которых 24 — "областные". Некоторые пары городов соединены между собой дорогами (но не более чем одной), причём любой путь по дорогам между двумя обычными городами, если он есть, проходит хотя бы через один "областной" город.
Какое наибольшее количество дорог могло быть в этой стране?

📜 Листок #дороги

В чемпионате по футболу участвуют 16 команд. Любые две команды играют друг с другом два матча: по разу на поле каждого из соперников. В футболе за победу в матче даётся 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков.

1) Какое максимальное и какое минимальное количество очков может набрать команда, участвующая в чемпионате?

2) Какое минимальное и какое максимальное количество очков могут набрать в сумме все команды?

📜 Листок #дороги