По кругу выписано несколько чисел, каждое из которых равно среднему арифметическому двух соседних с ним. Докажите, что все эти числа равны.

📜 Листок #крайний

8 грибников собрали 37 грибов. Известно, что никакие двое не собрали грибов поровну и каждый нашёл хотя бы один гриб. Докажите, что какие-то двое из них собрали больше, чем какие-то пятеро.

📜 Листок #крайний

В стране есть несколько городов. Сумасшедший путешественник едет из города A в самый далёкий от него город B. Затем едет в самый далёкий от B город C и т.д. Докажите, что если город C не совпадает с городом A, то путешественник никогда не вернётся обратно в город A.

📜 Листок #крайний

В космическом пространстве летают 2023 астероидов, на каждом из которых сидит астроном. Все расстояния между астероидами различны. Каждый астроном наблюдает за ближайшим астероидом. Докажите, что за одним из астероидов никто не наблюдает.

📜 Листок #крайний

Гоша задумал четыре неотрицательных числа и посчитал их всевозможные попарные суммы (всего 6 штук). Какие числа он задумал, если эти суммы — 1, 2, 3, 4, 5, 6?

📜 Листок #крайний

В квадрате 7×7 закрасьте некоторые клетки так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце оказалось ровно по 3 закрашенные клетки.

📜 Листок #раскраска

В клетках шахматной доски расставлены натуральные числа так, что в каждой строке и в каждом столбце сумма чисел чётна.
Докажите, что сумма чисел в чёрных клетках будет чётна.

📜 Листок #раскраска

Можно ли шестиугольный торт разрезать на 23 равных куска по указанным линиям?

📜 Листок #раскраска

Каждая грань куба с ребром 4 см разделена на клетки со стороной 1 см.
Можно ли целиком оклеить 3 его грани, имеющие общую вершину, шестнадцатью бумажными прямоугольными полосками размером 1×3 так, чтобы границы полосок совпадали с границами клеток?

📜 Листок #раскраска

Бумага расчерчена на клеточки со стороной 1.
Ваня вырезал из неё по клеточкам прямоугольник и нашёл его площадь и периметр.
Таня отобрала у него ножницы и со словами "Смотри, фокус!" вырезала с краю прямоугольника по клеточкам квадратик, квадратик выкинула и объявила: "Теперь у оставшейся фигуры периметр такой же, какая была площадь прямоугольника, а площадь — как был периметр!"
Ваня убедился, что Таня права.

1) Квадратик какого размера вырезала и выкинула Таня?
2) Приведите пример такого прямоугольника и такого квадрата.
3) Прямоугольник каких размеров вырезал Ваня?

📜 Листок #раскраска

Приведите контрпример к каждому из следующих утверждений.

1) Все числа, делящиеся на 4 и на 6, делятся на 24.
2) Все прямоугольники являются квадратами.
3) Все четырехугольники, у которых все стороны равны, являются квадратами.

📜 Листок #контрпример

Если утверждение верно всегда, то докажите его, а если хоть в одном случае неверно, то покажите, что это за случай (приведите контрпример).

Выберите 24 клетки в прямоугольнике 5×8 и проведите в каждой выбранной клетке одну из диагоналей так, чтобы никакие две проведенные диагонали не имели общих концов.

📜 Листок #контрпример