Сколько раз в сутки стрелки часов образуют прямой угол?

📜 Листок #время

Петин будильник испорчен: он спешит на 4 минуты в час. В 7 часов вечера Петя установил на нем точное время и поставил звонок на 7 часов утра. Во сколько Петя проснётся?

📜 Листок #время

У Кости есть 10 палочек длиной 50 см. Он хочет распилить их так, чтобы получилось 50 палочек длиной 10 см. Сколько распилов ему придется сделать?

📜 Листок #разное

Можно ли с помощью десяти купюр номиналом в 1 и 5 долларов собрать сумму в 31 доллар?

📜 Листок #разное

В квадрате 7×7 закрасьте несколько клеток так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце было ровно три закрашенные клетки.

📜 Листок #разное

У скольких трёхзначных чисел средней цифрой является 0?

📜 Листок #разное

На острове рыцарей и лжецов (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут) в некоторой компании каждый заявил остальным: "Среди вас два рыцаря". Сколько рыцарей могло быть в этой компании?

📜 Листок #разное

В магазине продаётся шоколад в виде букв английского алфавита. Одинаковые буквы имеют одинаковую цену, а разные разную. Известно, что слово ONE стоит $6, слово TWO стоит $9, а слово ELEVEN стоит $16. Сколько стоит слово TWELVE?

📜 Листок #разное

Красивое геометрическое доказательство иррациональности квадратного корня из двух.

Возьмем прямоугольный треугольник с катетами 1 и 1. Длина его гипотенузы - корень из двух (по теореме Пифагора). Если это число рационально и равно a/b, то мы можем увеличить треугольник в b раз, и получить таким образом равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого все стороны целые числа (в данном случае: b,b и a).

Но такая ситуация невозможна, и вот почему. Если у нас есть равнобедренный прямоугольный треугольник с целыми сторонами, то можно внутри него построить другой такой же, но поменьше (сейчас объясню, как). Тогда внутри него можно построить еще поменьше, потом еще и так без конца. Но так не может быть: невозможно уменьшать длины сторон без конца, оставляя их целыми (скажем, если сейчас сторона длиной 1000, то больше 1000 раз ее не уменьшить, хоть удавись). Это противоречие доказывает, что такой треугольник не существует, и значит корень из двух не равен никакой дроби a/b.

Как построить внутри такого (равнобедренного прямоугольного с целыми сторонами) треугольника еще один такой же поменьше?

Смотрим внимательно на картинку. Окружность с радиусом в длину катета отсекает кусок от гипотенузы. От места пересечения ведем перпендикуляр вниз на второй катет. Новый треугольник поменьше имеет катеты, обозначенные двумя сечениями.

1. Он прямоугольный по построению (повели перпендикуляр).

2. Он равнобедренный по равенству обозначенных углов. В исходном треугольнике два угла по 45° (т.к. он равнобедренный). В четырехугольнике, к-й образуют два радиуса и два касательных отрезка к окружности, сумма углов 360°, есть два прямых угла и верхний 45°. Значит, оставшийся 135°, а внешний к нему опять 45°, и это наш новый угол.

3. Два касательных отрезка к окружности из одной точки равны друг к другу, и поэтому все три отрезка, обозначенные двумя сечениями, равны между собой (и равны разности гипотенузы и катета старого треугольника). Отсюда видим, что все три стороны нового треугольника получаются вычитаниями из сторон старого.

Сеня взял в долг у Гоши 19 рублей, обязуясь вернуть их в течение 4 месяцев. Причём каждый месяц сумма выплаты должна расти, составлять целое число рублей и нацело делиться на сумму выплаты в предыдущем месяце. Какую сумму выплатит Сеня в последний месяц?

📜 Листок #разное

Найдите наибольшее натуральное число, любые две последовательные цифры которого образуют точный квадрат.

📜 Листок #разное

Винни-Пух и Пятачок вышли из своих домиков навстречу друг другу и встретились через 2 минуты. Через какое время Пятачок придет к дому Пуха, если скорость Винни-Пуха в два раза больше скорости Пятачка?

📜 Листок #идущие_порознь

В тюрьме 100 заключенных, пронумерованных от 1 до 100. Листки бумаги с номерами каждого из них случайным образом помещены в 100 ящиков в закрытой комнате. По очереди каждому заключенному разрешается войти в комнату и открыть любые 50 из 100 ящиков в поисках своего номера. После этого они должны покинуть комнату в том же виде, в котором нашли ее, и не могут общаться с другими заключенными. Если все 100 заключенных найдут свой номер, то все они будут освобождены. Но если хотя бы один из них не найдет свой номер, все они будут казнены. Заключенным разрешается разработать стратегию до того, как кто-то из них войдет в комнату. Какова же их лучшая стратегия?

🎞 В видео Derek Muller описывает стратегию как повысить шансы заключённых на успех.

Винни-Пух вышел из гостей от Кристофера Робина на 1 минуту позже Пятачка. Через какое время он догонит Пятачка, если его скорость в два раза больше скорости Пятачка?

📜 Листок #идущие_порознь

Тигра и Винни-Пух пошли в гости к Кристоферу Робину. Сначала Тигра побежал в два раза быстрее Винни-Пуха, но, пробежав половину дороги, неожиданно утомился и оставшийся путь прополз со скоростью в два раза меньшей скорости Винни-Пуха. Кто раньше встретился с Кристофером Робином Тигра или Винни-Пух?

📜 Листок #идущие_порознь

Тигра умеет бегать со скоростью 30 километров в час и очень хочет научиться тратить на каждый километр на одну минуту меньше. С какой скоростью нужно научиться бегать Тигре?

📜 Листок #идущие_порознь

Autumn colors 🍂

Упрямый Винни-Пух решил дойти пешком до Северного полюса. В 12 часов его нагнал Кристофер Робин на велосипеде и подвёз до того места, откуда до Северного полюса оставалось столько же, сколько Винни уже прошёл пешком. На Северном полюсе Винни-Пух был в 14 часов. Сколько времени потребуется Винни-Пуху на обратный путь пешком, если известно, что на велосипеде его везли со скоростью вдвое большей, чем он ходит пешком?

📜 Листок #идущие_порознь

Юля и Таня делали уроки. Каждая из них начала с математики, затем выучила стихотворение, следом прочитала текст на английском языке и, наконец, выполнила упражнение по русскому языку. На каждый предмет у Юли уходило в два раза меньше времени, чем на предыдущий, а у Тани в 4 раза меньше времени, чем на предыдущий. Начали и закончили они одновременно. Что делала Таня, когда Юля взялась за русский язык?

📜 Листок #идущие_порознь

Двое бегут с разной скоростью вниз по эскалатору метро. Кто из них насчитает больше ступенек кто бежит быстрее, или кто бежит медленнее?

📜 Листок #идущие_порознь