Число называется палиндромом, если оно читается одинаково справа налево и слева направо. Сколько существует пятизначных палиндромов, которые не делятся на 2?

📜 Листок #комбинаторика

Найдите количество натуральных делителей числа 720.

📜 Листок #комбинаторика

Все натуральные числа красят в 2 цвета. Для каждой раскраски должно выполняться 3 условия:

1. Числа, разность которых равна 8, покрашены в один цвет.
2. Числа 25 и 44 покрашены в красный.
3. Числа 16, 37 и 6 синего цвета.

Сколько раскрасок, удовлетворяющих данному условию, существует?

📜 Листок #комбинаторика

Лягушка прыгает по точкам координатной плоскости с целыми координатам. Из точки (x, y) лягушка за один прыжок может попасть в точку (x + 1, y), (x + 2, y), (x, y + 1) или (x, y + 2). Сколькими способами лягушка может попасть из точки (0, 0) в точку (4, 4)?

📜 Листок #комбинаторика

Сколько существует способов поставить на шахматную доску слона и короля так, чтобы ровно одна фигура била другую?

📜 Листок #комбинаторика

Шпион смог пробраться в офис одного крупного мошенника. Там он нашёл сейф с секретной документацией. Шпион знает, что в пятизначном коде есть числа 45 и 58. Чтобы открыть сейф, нужно правильно набрать код. Какое наименьшее количество кодов необходимо перебрать, чтобы наверняка открыть сейф?

📜 Листок #комбинаторика

У фокусника есть шесть карточек, пронумерованных от 1 до 6. Найдите количество способов выложить эти карточки в ряд так, чтобы при убирании одной карточки все оставшиеся лежали в порядке возрастания или убывания их номеров.

📜 Листок #комбинаторика

12 школьников играют в чехарду: каждую секунду двое из них, стоящие через одного, могут, прыгнув, поменяться местами. Если окажется, что они стоят в обратном порядке по сравнению с исходным, игра заканчивается. Закончится ли игра?

📜 Листок #инвариант

Инвариант - это величина или свойство, которые не меняются в условиях задачи, остаются постоянными.
Полуинвариант - это величина, которая может меняться, но при этом в одну сторону: всегда уменьшается или всегда увеличивается.
В каждой задаче этого листка нужно найти инвариант или полуинвариант.

Петя упражняется в счёте. Мария Ивановна написала на доске число 9 и сказала прибавлять к этому числу сумму его цифр. Можно ли за некоторое количество таких действий получить число 32 407 891?

📜 Листок #инвариант

Изначально на доске написаны числа 3, 14, 15 и 92. Разрешается взять любые два из написанных чисел a и b, стереть их. А на их месте написать числа 5a − 4b − 1 и 5b − 4a + 3. Можно ли такими операциями получить числа 16, 27, 91 и 111?

📜 Листок #инвариант

По кругу расставлены 8 чисел: семь "1" и одна "–1". Разрешается любые подряд идущие 4 числа умножить на – 1. Можно ли таким образом добиться чтобы все числа стали равны 1?

📜 Листок #инвариант

Алиса заботится о розовом саде Красной Королевы. Она хочет перекрасить все белые розы в красный цвет. Изначально в саду 1000 роз. У Алисы есть две кисточки - одна кисточка красит за раз 49 роз, а вторая кисть настолько уникальна, что она не только красит за раз 6 роз, но и успевает вырастить ещё 125. Сможет ли Алиса раскрасить все розы в саду?

📜 Листок #инвариант

На экране горит число 1001. Каждую секунду две соседние цифры увеличиваются либо уменьшаются на 1 (если могут). Может ли на экране загореться число 2022?

📜 Листок #инвариант

В компании из 33 гномов у каждого есть колпак зеленого или красного цвета. Каждую минуту какой-то из гномов меняет цвет своего колпака на тот, который чаще всего встречается среди его друзей (у каждого гнома есть хотя бы один друг). Докажите, что через некоторое время цвета колпаков перестанут меняться.

📜 Листок #инвариант

На доске 9×9 центральная клетка покрашена в черный цвет, а все остальные клетки - в белый. За ход разрешается взять любой прямоугольник 1×4 и перекрасить все его клетки в другой цвет (белые - в черный, а черные - в белый). Можно ли за некоторое количество таких операций перекрасить всю доску в белый цвет?

📜 Листок #инвариант

Раскрасьте квадрат 6×6 в 2 цвета так:
1) чтобы в каждой строке и в каждом столбце оказалось ровно по три закрашенных клетки.
2) чтобы у каждой белой клетки был ровно один черный сосед.
3) чтобы в каждом квадратике 2×2 было 3 черных клетки.

📜 Листок #раскраска

Из шахматной доски 8×8 вырезали 2 клетки. Можно ли оставшуюся доску замостить доминошками (1×2), если вырезали:
1) a1 и h8?
2) a1 и a8?

📜 Листок #раскраска

На доске 10×10 для "морского боя" стоит двухпалубный корабль. Какое наименьшее число выстрелов нужно сделать для того, чтобы гарантированно его "убить"?

📜 Листок #раскраска

Какими видами тетрамино (фигурок из 4 клеток) можно замостить доску 10×10?

📜 Листок #раскраска

Можно ли из квадрата 9×9 вырезать 17 квадратов 2×2?

📜 Листок #раскраска

В какое наибольшее количество цветов можно раскрасить клетки шахматной доски 8×8 так, чтобы каждая клетка граничила по стороне хотя бы с двумя клетками того же цвета?

📜 Листок #раскраска