Задача о "счастливых" билетах и комплексные интегралы
Очень люблю решения, в которых пересекаются различные разделы математики и физики. Например, как в публикации выше - квантовая механика и гидродинамика... Хочу привести еще интересный пример: теория вероятностей, точнее комбинаторика и функции комплексного переменного. Эта задача мне особенно нравится, так как в ТФКП я ничего не понимаю и даже тройку в свое время получил на экзамене за этот раздел матанализа.
Постановка задачи:
Билет — шестизначный номер:
𝑛1 𝑛2 𝑛3 𝑛4 𝑛5 𝑛6
Счастливый, если:
𝑛1+𝑛2+𝑛3=𝑛4+𝑛5+𝑛6
Всего билетов: 10^6
Нужно найти количество счастливых: 𝑀 и вероятность появления "счастливого", если вероятности выпадания всех комбинаций цифр одинаковы.
Самое простое решение: перебрать весь миллион вариантов на компьютере и посчитать количество "счастливых".
Решение через комплексный анализ:
Символ Кронекера — это простая функция, которая проверяет, равны ли два целых числа. Обозначается как δ(m, n) и работает так:
Если m = n, то δ(m, n) = 1
Если m ≠ n, то δ(m, n) = 0
То есть это своего рода «включатель»: он даёт 1, только если числа совпадают.
Для числа появлений счастливых билетов можно использовать сумму с символами Кронекера для учёта условия:
𝑛1+𝑛2+𝑛3=𝑛4+𝑛5+𝑛6.
В теории функций комплексного переменного (ТФКП) существует способ записать δ(m, n) как контурный интеграл:
δ(m, n) = (1 / 2πi) × ∮ dz / z^(m - n + 1)
Что это значит:
∮ — это интеграл по замкнутому контуру вокруг точки z = 0 в комплексной плоскости.
dz — это переменная интегрирования.
z^(m - n + 1) — это степень переменной z, зависящая от разности m и n.
Почему это работает
В комплексном анализе есть правило: если ты берёшь интеграл от z в степени –k–1 по контуру вокруг нуля, то результат будет:
1, если k = 0
0, если k ≠ 0
Поэтому, когда m = n, степень становится –1, и интеграл даёт 1. Во всех других случаях — 0. Это и есть аналитическое представление символа Кронекера.
Таким образом, комбинаторная задача сводится к задаче интегрального исчисления ФКП.
Подробный разбор задачи в статье:
https://habr.com/ru/articles/884532/
Очень люблю решения, в которых пересекаются различные разделы математики и физики. Например, как в публикации выше - квантовая механика и гидродинамика... Хочу привести еще интересный пример: теория вероятностей, точнее комбинаторика и функции комплексного переменного. Эта задача мне особенно нравится, так как в ТФКП я ничего не понимаю и даже тройку в свое время получил на экзамене за этот раздел матанализа.
Постановка задачи:
Билет — шестизначный номер:
𝑛1 𝑛2 𝑛3 𝑛4 𝑛5 𝑛6
Счастливый, если:
𝑛1+𝑛2+𝑛3=𝑛4+𝑛5+𝑛6
Всего билетов: 10^6
Нужно найти количество счастливых: 𝑀 и вероятность появления "счастливого", если вероятности выпадания всех комбинаций цифр одинаковы.
Самое простое решение: перебрать весь миллион вариантов на компьютере и посчитать количество "счастливых".
Решение через комплексный анализ:
Символ Кронекера — это простая функция, которая проверяет, равны ли два целых числа. Обозначается как δ(m, n) и работает так:
Если m = n, то δ(m, n) = 1
Если m ≠ n, то δ(m, n) = 0
То есть это своего рода «включатель»: он даёт 1, только если числа совпадают.
Для числа появлений счастливых билетов можно использовать сумму с символами Кронекера для учёта условия:
𝑛1+𝑛2+𝑛3=𝑛4+𝑛5+𝑛6.
В теории функций комплексного переменного (ТФКП) существует способ записать δ(m, n) как контурный интеграл:
δ(m, n) = (1 / 2πi) × ∮ dz / z^(m - n + 1)
Что это значит:
∮ — это интеграл по замкнутому контуру вокруг точки z = 0 в комплексной плоскости.
dz — это переменная интегрирования.
z^(m - n + 1) — это степень переменной z, зависящая от разности m и n.
Почему это работает
В комплексном анализе есть правило: если ты берёшь интеграл от z в степени –k–1 по контуру вокруг нуля, то результат будет:
1, если k = 0
0, если k ≠ 0
Поэтому, когда m = n, степень становится –1, и интеграл даёт 1. Во всех других случаях — 0. Это и есть аналитическое представление символа Кронекера.
Таким образом, комбинаторная задача сводится к задаче интегрального исчисления ФКП.
Подробный разбор задачи в статье:
https://habr.com/ru/articles/884532/
Хабр
Задача про счастливые билетики и ТФКП
Здравствуйте, друзья! Сегодня рассмотрим бородатую задачку про "счастливые" билетики. Наверняка опытные искатели интересных задач уже сталкивались с ней. Но хоть эта задача и не нова, она всё равно...
🤔3😁1