Позитивная геометрия — мост между микро- и макромиром - новый математический язык физики
Статья Algebraic and Positive Geometry of the Universe: From Particles to Galaxies (Notices of the AMS, 2025) предлагает революционную концепцию: использовать единый геометрический язык — позитивную геометрию (все координаты, параметры и формы должны быть положительными) для описания как микроскопических взаимодействий элементарных частиц, так и макроскопической структуры Вселенной
Интеграл по траекториям (или интеграл по конфигурациям) — это способ вычисления амплитуды перехода из одного состояния в другое, суммируя вклад всех возможных путей, по которым система может эволюционировать.
Традиционные диаграммы Фейнмана изображают взаимодействия частиц как графы — линии и вершины. Но в позитивной геометрии эти процессы интерпретируются как объёмы многомерных геометрических объектов: Амплитуэдров — фигура, объём которой напрямую даёт амплитуду рассеяния в квантовой теории поля.
Таким образом, интеграл Фейнмана приобретает геометрический смысл: он вычисляет объём фигуры в пространстве параметров, а не просто сумму по диаграммам.
Зачем это нужно?
Упрощение вычислений в квантовой теории поля.
Геометрическая интерпретация физических процессов.
Возможность объединить квантовую механику и космологию.
Стимул к развитию новых математических структур.
https://www.ams.org/journals/notices/202508/noti3220/noti3220.html
Статья Algebraic and Positive Geometry of the Universe: From Particles to Galaxies (Notices of the AMS, 2025) предлагает революционную концепцию: использовать единый геометрический язык — позитивную геометрию (все координаты, параметры и формы должны быть положительными) для описания как микроскопических взаимодействий элементарных частиц, так и макроскопической структуры Вселенной
Интеграл по траекториям (или интеграл по конфигурациям) — это способ вычисления амплитуды перехода из одного состояния в другое, суммируя вклад всех возможных путей, по которым система может эволюционировать.
Традиционные диаграммы Фейнмана изображают взаимодействия частиц как графы — линии и вершины. Но в позитивной геометрии эти процессы интерпретируются как объёмы многомерных геометрических объектов: Амплитуэдров — фигура, объём которой напрямую даёт амплитуду рассеяния в квантовой теории поля.
Таким образом, интеграл Фейнмана приобретает геометрический смысл: он вычисляет объём фигуры в пространстве параметров, а не просто сумму по диаграммам.
Зачем это нужно?
Упрощение вычислений в квантовой теории поля.
Геометрическая интерпретация физических процессов.
Возможность объединить квантовую механику и космологию.
Стимул к развитию новых математических структур.
https://www.ams.org/journals/notices/202508/noti3220/noti3220.html
👍2❤1🤔1
Друзья! К сожалению, хороших новостей у меня сегодня нет.
Вчера в возрасте 73 лет из жизни ушел выдающийся российский ученый в области нейронных сетей и искусственного интеллекта Александр Николаевич Горбань.
Последние 20 лет он работал в Университете Лестера в Великобритании, в 2024 году вернулся в Россию, где возглавил лабораторию ИИ, анализа данных и моделирования Центрального университета и AIRI.
P.S. Александр Николаевич был очень приятным в общении человеком, всегда готовым помочь или дать полезный совет, когда его об этом просили. Последний раз посещал нашу группу 11 месяцев назад.
Статья в Википедии https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%BE%D1%80%D0%B1%D0%B0%D0%BD%D1%8C,_%D0%90%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%80_%D0%9D%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B0%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87
Вчера в возрасте 73 лет из жизни ушел выдающийся российский ученый в области нейронных сетей и искусственного интеллекта Александр Николаевич Горбань.
Последние 20 лет он работал в Университете Лестера в Великобритании, в 2024 году вернулся в Россию, где возглавил лабораторию ИИ, анализа данных и моделирования Центрального университета и AIRI.
P.S. Александр Николаевич был очень приятным в общении человеком, всегда готовым помочь или дать полезный совет, когда его об этом просили. Последний раз посещал нашу группу 11 месяцев назад.
Статья в Википедии https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%BE%D1%80%D0%B1%D0%B0%D0%BD%D1%8C,_%D0%90%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%80_%D0%9D%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B0%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87
😢10
От квантовой механики к гидродинамике: как уравнение Шрёдингера превращается в Навье–Стокса
Уравнение Шрёдингера - это основное уравнение квантовой механики, которое описывает, как изменяется во времени волновая функция — математический объект, содержащий всю информацию о состоянии квантовой системы.
Физический смысл: Уравнение Шрёдингера позволяет предсказать, где с наибольшей вероятностью может находиться частица, например, электрон в атоме. Оно лежит в основе всей квантовой физики — от атомов до квантовых компьютеров.
Уравнение Навье–Стокса - это уравнение из классической механики, описывающее движение жидкостей и газов. Оно учитывает такие эффекты, как давление, вязкость и внешние силы.
Физический смысл: Это уравнение лежит в основе моделирования потоков воздуха, воды, крови, нефти и даже атмосферы планет. Оно используется в инженерии, метеорологии, биомедицине и компьютерной графике.
🧩 Связь между ними
Хотя эти уравнения описывают разные явления — квантовые и классические — при определённых преобразованиях (как в системе Маделунга) уравнение Шрёдингера можно переписать в форме, напоминающей уравнение Навье–Стокса — система Маделунга (1926 год) . Это позволяет использовать методы гидродинамики для моделирования квантовых процессов.
### 🔄 Основная идея
Сходство с Навье–Стоксом
- Квантовый потенциал играет роль давления.
- Вязкость отсутствует — поток идеален.
- Появляется нелинейная квантовая поправка, связанная с кривизной плотности.
Применения
Позволяет визуализировать квантовые процессы как течение жидкости.
Упрощает моделирование квантовых систем, особенно в нанотехнологиях.
Используется в компьютерной графике для симуляции реалистичных жидкостей с вихрями и волнами.
https://habr.com/ru/articles/949498/
Уравнение Шрёдингера - это основное уравнение квантовой механики, которое описывает, как изменяется во времени волновая функция — математический объект, содержащий всю информацию о состоянии квантовой системы.
Физический смысл: Уравнение Шрёдингера позволяет предсказать, где с наибольшей вероятностью может находиться частица, например, электрон в атоме. Оно лежит в основе всей квантовой физики — от атомов до квантовых компьютеров.
Уравнение Навье–Стокса - это уравнение из классической механики, описывающее движение жидкостей и газов. Оно учитывает такие эффекты, как давление, вязкость и внешние силы.
Физический смысл: Это уравнение лежит в основе моделирования потоков воздуха, воды, крови, нефти и даже атмосферы планет. Оно используется в инженерии, метеорологии, биомедицине и компьютерной графике.
🧩 Связь между ними
Хотя эти уравнения описывают разные явления — квантовые и классические — при определённых преобразованиях (как в системе Маделунга) уравнение Шрёдингера можно переписать в форме, напоминающей уравнение Навье–Стокса — система Маделунга (1926 год) . Это позволяет использовать методы гидродинамики для моделирования квантовых процессов.
### 🔄 Основная идея
Сходство с Навье–Стоксом
- Квантовый потенциал играет роль давления.
- Вязкость отсутствует — поток идеален.
- Появляется нелинейная квантовая поправка, связанная с кривизной плотности.
Применения
Позволяет визуализировать квантовые процессы как течение жидкости.
Упрощает моделирование квантовых систем, особенно в нанотехнологиях.
Используется в компьютерной графике для симуляции реалистичных жидкостей с вихрями и волнами.
https://habr.com/ru/articles/949498/
Хабр
Из квантовой механики в гидродинамику
Здравствуйте, дорогие друзья! Иногда в голову приходят интересные идеи. Например, можно ли свести уравнение Шрёдингера к чему‑то другому, уже известному нам? Оказалось — да! И вариантов...
🤔3🔥1🙏1
Задача о "счастливых" билетах и комплексные интегралы
Очень люблю решения, в которых пересекаются различные разделы математики и физики. Например, как в публикации выше - квантовая механика и гидродинамика... Хочу привести еще интересный пример: теория вероятностей, точнее комбинаторика и функции комплексного переменного. Эта задача мне особенно нравится, так как в ТФКП я ничего не понимаю и даже тройку в свое время получил на экзамене за этот раздел матанализа.
Постановка задачи:
Билет — шестизначный номер:
𝑛1 𝑛2 𝑛3 𝑛4 𝑛5 𝑛6
Счастливый, если:
𝑛1+𝑛2+𝑛3=𝑛4+𝑛5+𝑛6
Всего билетов: 10^6
Нужно найти количество счастливых: 𝑀 и вероятность появления "счастливого", если вероятности выпадания всех комбинаций цифр одинаковы.
Самое простое решение: перебрать весь миллион вариантов на компьютере и посчитать количество "счастливых".
Решение через комплексный анализ:
Символ Кронекера — это простая функция, которая проверяет, равны ли два целых числа. Обозначается как δ(m, n) и работает так:
Если m = n, то δ(m, n) = 1
Если m ≠ n, то δ(m, n) = 0
То есть это своего рода «включатель»: он даёт 1, только если числа совпадают.
Для числа появлений счастливых билетов можно использовать сумму с символами Кронекера для учёта условия:
𝑛1+𝑛2+𝑛3=𝑛4+𝑛5+𝑛6.
В теории функций комплексного переменного (ТФКП) существует способ записать δ(m, n) как контурный интеграл:
δ(m, n) = (1 / 2πi) × ∮ dz / z^(m - n + 1)
Что это значит:
∮ — это интеграл по замкнутому контуру вокруг точки z = 0 в комплексной плоскости.
dz — это переменная интегрирования.
z^(m - n + 1) — это степень переменной z, зависящая от разности m и n.
Почему это работает
В комплексном анализе есть правило: если ты берёшь интеграл от z в степени –k–1 по контуру вокруг нуля, то результат будет:
1, если k = 0
0, если k ≠ 0
Поэтому, когда m = n, степень становится –1, и интеграл даёт 1. Во всех других случаях — 0. Это и есть аналитическое представление символа Кронекера.
Таким образом, комбинаторная задача сводится к задаче интегрального исчисления ФКП.
Подробный разбор задачи в статье:
https://habr.com/ru/articles/884532/
Очень люблю решения, в которых пересекаются различные разделы математики и физики. Например, как в публикации выше - квантовая механика и гидродинамика... Хочу привести еще интересный пример: теория вероятностей, точнее комбинаторика и функции комплексного переменного. Эта задача мне особенно нравится, так как в ТФКП я ничего не понимаю и даже тройку в свое время получил на экзамене за этот раздел матанализа.
Постановка задачи:
Билет — шестизначный номер:
𝑛1 𝑛2 𝑛3 𝑛4 𝑛5 𝑛6
Счастливый, если:
𝑛1+𝑛2+𝑛3=𝑛4+𝑛5+𝑛6
Всего билетов: 10^6
Нужно найти количество счастливых: 𝑀 и вероятность появления "счастливого", если вероятности выпадания всех комбинаций цифр одинаковы.
Самое простое решение: перебрать весь миллион вариантов на компьютере и посчитать количество "счастливых".
Решение через комплексный анализ:
Символ Кронекера — это простая функция, которая проверяет, равны ли два целых числа. Обозначается как δ(m, n) и работает так:
Если m = n, то δ(m, n) = 1
Если m ≠ n, то δ(m, n) = 0
То есть это своего рода «включатель»: он даёт 1, только если числа совпадают.
Для числа появлений счастливых билетов можно использовать сумму с символами Кронекера для учёта условия:
𝑛1+𝑛2+𝑛3=𝑛4+𝑛5+𝑛6.
В теории функций комплексного переменного (ТФКП) существует способ записать δ(m, n) как контурный интеграл:
δ(m, n) = (1 / 2πi) × ∮ dz / z^(m - n + 1)
Что это значит:
∮ — это интеграл по замкнутому контуру вокруг точки z = 0 в комплексной плоскости.
dz — это переменная интегрирования.
z^(m - n + 1) — это степень переменной z, зависящая от разности m и n.
Почему это работает
В комплексном анализе есть правило: если ты берёшь интеграл от z в степени –k–1 по контуру вокруг нуля, то результат будет:
1, если k = 0
0, если k ≠ 0
Поэтому, когда m = n, степень становится –1, и интеграл даёт 1. Во всех других случаях — 0. Это и есть аналитическое представление символа Кронекера.
Таким образом, комбинаторная задача сводится к задаче интегрального исчисления ФКП.
Подробный разбор задачи в статье:
https://habr.com/ru/articles/884532/
Хабр
Задача про счастливые билетики и ТФКП
Здравствуйте, друзья! Сегодня рассмотрим бородатую задачку про "счастливые" билетики. Наверняка опытные искатели интересных задач уже сталкивались с ней. Но хоть эта задача и не нова, она всё равно...
🤔3😁1
Теория Quantum Memory Matrix (QMM), предложенная международной группой физиков, утверждает, что информация — фундаментальный строительный блок реальности, даже более базовый, чем материя или пространство-время.
Суть теории QMM
Пространство-время состоит из дискретных ячеек, каждая из которых запоминает все взаимодействия, происходящие в ней. Эти ячейки хранят квантовые отпечатки — следы прохождения частиц, полей и даже сил.
Вселенная, по сути, не просто развивается — она помнит.
Решение информационного парадокса черных дыр.
Общая теория относительности говорит: всё, что попадает в черную дыру, исчезает.
Квантовая механика утверждает: информация не может быть уничтожена.
QMM предлагает компромисс: информация записывается в ячейки пространства-времени, даже если черная дыра испаряется — она остаётся в «памяти» Вселенной.
Объяснение тёмной материи и энергии
Кластеры квантовых отпечатков ведут себя как невидимая масса, влияя на вращение галактик — аналог тёмной материи.
Насыщенные ячейки создают остаточную энергию, которая совпадает с космологической постоянной — возможное объяснение тёмной энергии и ускоренного расширения Вселенной.
Вывод
Явление - Объяснение в QMM
Черные дыры - Информация сохраняется в ячейках
Тёмная материя - Кластеры квантовых отпечатков
Тёмная энергия - Остаточная энергия насыщенных ячеек
Пространство-время - Сеть ячеек с квантовой памятью
https://theconversation.com/information-could-be-a-fundamental-part-of-the-universe-and-may-explain-dark-energy-and-dark-matter-265415
https://arxiv.org/abs/2504.00039
Суть теории QMM
Пространство-время состоит из дискретных ячеек, каждая из которых запоминает все взаимодействия, происходящие в ней. Эти ячейки хранят квантовые отпечатки — следы прохождения частиц, полей и даже сил.
Вселенная, по сути, не просто развивается — она помнит.
Решение информационного парадокса черных дыр.
Общая теория относительности говорит: всё, что попадает в черную дыру, исчезает.
Квантовая механика утверждает: информация не может быть уничтожена.
QMM предлагает компромисс: информация записывается в ячейки пространства-времени, даже если черная дыра испаряется — она остаётся в «памяти» Вселенной.
Объяснение тёмной материи и энергии
Кластеры квантовых отпечатков ведут себя как невидимая масса, влияя на вращение галактик — аналог тёмной материи.
Насыщенные ячейки создают остаточную энергию, которая совпадает с космологической постоянной — возможное объяснение тёмной энергии и ускоренного расширения Вселенной.
Вывод
Явление - Объяснение в QMM
Черные дыры - Информация сохраняется в ячейках
Тёмная материя - Кластеры квантовых отпечатков
Тёмная энергия - Остаточная энергия насыщенных ячеек
Пространство-время - Сеть ячеек с квантовой памятью
https://theconversation.com/information-could-be-a-fundamental-part-of-the-universe-and-may-explain-dark-energy-and-dark-matter-265415
https://arxiv.org/abs/2504.00039
The Conversation
Information could be a fundamental part of the universe – and may explain dark energy and dark matter
The true “informational age” of the cosmos may be 62 billion years, not just the 13.8 billion years of our current expansion.
👍2